《高等数学》课程试卷习题（无答案）第6章 空间解析几何与向量代数习题

S1向量及其线性运算一、是非题1.自点P(x,o,=)作P,DIxoy平面，垂足D的坐标为(xo,yo,0)())2.自点P(x,%,=)作P.FIzox平面，垂足D的坐标为(0,,=）()3．P(xo,Jo,z)作平行于≥轴的直线，直线上的点有相同的横坐标x。和相同的纵坐标%（)4.过P(g,Jo,=)作平行于xoy面的平面，该平面元上的点有相同的纵坐标y.(5. 已知a=(3,5,-1),b=(2,2,3),=(4,-1,-3),则a+b-c=(1,8,5)()()6.设点A(4,-7,1)和B(6,2,=)，且|AB=11，则==7或-5.二、填空题1.已知点P(2.-3.1)，则点P关于x轴的对称点为2.已知点P(2,-3,1)，则点P关于xOz平面的对称点为3.已知点P(2.-3.1)，则点P与=轴的距离是4.在AABC中，BA+AC+CB=5.在口ABCD中，AB-AD-CB=AB6.设a=(1-1,2)，b=(2,-2,4)，则a与b7.设α=(-2,6,-3)，则α—8.设α,β,是向量α的三个方向角，则(cosα,cosβ,cos)是与α9.在yo=平面上，与三点A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点为三、选择题)1.下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（(4）元元2元2元元元(B)-元#元(C) 元,元,(D) :34'334'36n63'332.已知梯形ABCD，AB//CD，且IAB-2|CDL若AB=a,AD=b,则BC=（)1h2a-6(C) 6-la2b-a(B)(D)(A) a-223.设向量a=(a,ay,a.)，=(b,b,b.)，则下列结论错误的是（）(A)a=b-a=br,a,=b,,a=b..(B)若a=0，blla，则b=0(C)blla=存在唯一的实数k，使b=ka．(D)Prj,a=a,Prj,a=a,,Prj.a=a.)4.设α,β,为向量α的三个方向角，则下列结论错误的是（(A)若cosα=0，则向量与x轴的夹角为元/2，则向量与x轴垂直或平行于yo=平面；(B)若cosβ=1，则向量与y轴的夹角为0，则向量与y轴同向；(C)若cosα=cosβ=0，则向量既垂直于x轴，又垂直于y轴，即向量垂直于xoy面.(D) sin'α+sin’β+sin"=1

§1 向量及其线性运算 一、是非题 1．自点 0 0 0 0  P (x , y ,z ) 作 P0D ^ xoy 平面，垂足 D 的坐标为 0 0  (x , y ,0) ． ( ) 2．自点 0 0 0 0  P (x , y ,z ) 作 P0F ^ zox 平面，垂足 D 的坐标为 0 0  (0, y ,z ) ． ( ) 3． 0 0 0 0  P (x , y ,z ) 作平行于 z 轴的直线，直线上的点有相同的横坐标 0 x 和相同的纵坐标 0 y ． ( ) 4．过 0 0 0 0  P (x , y ,z ) 作平行于 xoy 面的平面，该平面p 上的点有相同的纵坐标 0 y ． ( ) 5．已知a = (3,5,- 1) r ，b = (2,2,3) r ，c = (4,-1,- 3) r ，则 a + b - c = (1,8,5) r r r ． ( ) 6．设点 A(4， - 7,1 ) 和 B(6, 2,z) ，且| AB |= 11 uuur ，则 z = 7 或-5 ． ( ) 二、填空题 1．已知点 P(2,- 3,1) ，则点 P 关于 x 轴的对称点为 ． 2．已知点 P(2,- 3,1) ，则点 P 关于 xOz 平面的对称点为 ． 3．已知点 P(2,- 3,1) ，则点 P 与 z 轴的距离是 ． 4．在D ABC 中， BA+ AC +CB = uuur uuur uuur ． 5．在ð ABCD 中， AB - AD -CB = uuur uuur uuur AB  uuur ． 6．设a = (1,- 1, 2) r ，b = (2,-2, 4) r ，则 a r 与b  r ． 7．设a = (-2,6,- 3) r ，则|a |= r ． 8．设a,b,g 是向量a r 的三个方向角，则(cosa,cosb,cosg ) 是与a r ． 9．在 yoz 平面上，与三点 A(3,1, 2)、 B(4,-2,- 2) 和C (0,5,1) 等距离的点为 ． 三、选择题 1．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ） (A) 2 , ,  3 4 3 p p p (B) , ,  3 4 3 p p p - (C) , ,  6 6 p p p (D) 2 , ,  3 3 3 p p p 2．已知梯形 ABCD ， AB / /CD uuur uuur ，且| AB |= 2 |CD |, uuur uuur 若 AB = a, AD = b, uuur uuur r r 则 BC = uuur （ ） (A) 1 2 a - b r r (B) 1 1 2 2 a - b r r (C) 1 2 b - a r r (D) 1 2 b - a r r 3．设向量 ( , , ) x y z  a = a a a r ， ( , , ) x y z  b = b b b r ，则下列结论错误的是（ ） (A) a = b ¤ r r x x  a = b ， y y  a = b ， z z  a = b ． (B)若 x  a = 0 ，b || a r r ，则 x  b = 0 ． (C) b //a ¤ r r 存在唯一的实数k ，使b = k a r r ． (D) P x x  rj a = a r ， P y y  rj a = a r ， P z z  rj a = a r ． 4．设a,b,g 为向量a r 的三个方向角，则下列结论错误的是（ ） (A)若cosa = 0 ，则向量与 x 轴的夹角为p 2，则向量与 x 轴垂直或平行于 yoz 平面； (B)若cos b = 1，则向量与 y 轴的夹角为0 ，则向量与 y 轴同向； (C ) 若cosa = cos b = 0 ，则向量既垂直于 x 轴，又垂直于 y 轴，即向量垂直于 xoy 面． (D) 2 2 2  sin a + sin b + sin g =1

四、计算题1.设向量a的两个方向余弦为cosα=又la=6，求a的坐标，cosβ32.设直线与三个坐标平面的交角分别为入、μ、，求cos+cosμ+cos3.设m=3i+5i+8k，=27=4i-7k和p=5i+i-4k，求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量，4.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(1,2,1)，C(2,4,0)，求ZB.五、证明题1.设a，b和是互不共线的三向量，证明：将它们的终点与始点顺次相连而成一个三角形的充要条件是它们的和为零向量，2.设AB=2a+10b，BC=-2a+8b，CD=3(a-b)，证明A、B、D三点共线3.设一直线上三点4、B、P满足P=APB(A*-1)，0是空间任意一点，求证：OP-4+A01+元4．如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.82向量的乘法运算一、是非题l. a.a.a=a.(O(2. axa=-a.O3. a(a.b)=ab.PL4. (a+b)x(a-b)=axa-bxb()5.若a+0，且a.b=a.c，则b=c.()6.若a+0，且axb=axc，则b=c())7.-7xj不是单位向量.(二、填空题1.设=2i-3i+5k与B=3i+i-2k则α-B=:(α+B)-(α-B)=2.与向量α=[3,0,4)平行的单位向量是3.若2-3j+5k与3+mj-2k互相垂直.则m=4.在x0z坐标面上与已知向量（-2,3,4)垂直的向量为三、选择题);1.设axb=axc.a.b.c均为非零向量，则（(A)b=c(D) [bH)(B)a//(b-c)(C)al(b-))2.向量α=(axa,a）与x轴垂直，则有（(A) a, =0(B) a, =0(C) a, =0(D) a,=a,=03.已知向量a=-i+3j，b=3i+，向量的模r，则满足关系式a=bxc时，r的最小值为

四、计算题 1．设向量a r 的两个方向余弦为 1 cos 3 a = ， 2 cos 3 b = ，又| a |= 6 r ，求 a r 的坐标． 2．设直线与三个坐标平面的交角分别为l 、m 、g ，求 2 2 2  cos l + cos m + cos g ． 3．设m = 3i + 5 j + 8k r r r r ，n = 2i - 4 j - 7k r r r r 和 p = 5i + j - 4k r r r r ，求向量a = 4m + 3n - p r r r r 在 x 轴上的投影及 在 y 轴上的分向量． 4．已知D ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ， B(1, 2,1) ，C (2, 4,0) ，求–B ． 五、证明题 1．设a r ，b  r 和c  r 是互不共线的三向量，证明：将它们的终点与始点顺次相连而成一个三角形的充 要条件是它们的和为零向量． 2．设 AB = 2a + 10b uuur r r ， BC = -2a + 8b uuur r r ，CD = 3(a - b) uuur r r ，证明 A 、 B 、 D 三点共线． 3． 设一直线上三点 A 、B 、P 满足 AP = lPB uuur uuur ( l ¹ -1)，O 是空间任意一点， 求证： 1 OA OB  OP l l + = + uuur uuur uuur ． 4．如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形． §2 向量的乘法运算 一、是非题 1． 3 a × a ×a = a r r r r ． ( ) 2． 2 a ¥ a = a r r r ． ( ) 3． 2  a(a ×b) = a b r r r r r ． ( ) 4．(a + b)¥(a - b) = a ¥ a - b¥b r r r r r r r r ． ( ) 5．若a ¹ 0 r r ，且 a ×b = a × c r r r r ，则b = c r r ． ( ) 6．若 a ¹ 0 r r ，且a ¥b = a ¥ c r r r r ，则b = c r r ． ( ) 7．-i ¥ j r r 不是单位向量． ( ) 二、填空题 1．设a = 2i - 3 j + 5k r r r r 与 b = 3i + j - 2k r r r r ,  则 a × b = r r ； (a + b )×(a - b ) = r r r r ． 2．与向量a = {3,0, 4} r 平行的单位向量是 ． 3．若2i - 3 j + 5k r r r 与3i + mj - 2k r r r 互相垂直.  则m = ． 4．在 xoz 坐标面上与已知向量(- 2,3, 4) 垂直的向量为 ． 三、选择题 1．设a ¥b = a ¥c, a,b, c r r r r r r r 均为非零向量，则（ ）； (A) b = c r r (B) a (b - c) r r r §§ (C) a ^ (b - c) r r r (D) | b |=| c | r r 2．向量 ( , , ) x y z a = a a a r 与 x 轴垂直，则有（ ） (A) 0 x a = (B) 0 y a = (C) 0 z a = (D) 0 x y a = a = 3．已知向量a = -i + 3 j v v v ，b = 3i + j v v v ，向量c  v 的模| c |= r v ，则c  v 满足关系式a v =b ¥ c v v 时，r 的最小值 为_

(A) V35/5(D) V10/10(B)1(C)2四、计算题1.求以A(1,2,3)，B(3,4,5)，C(-1,-2,7)为顶点的三角形的面积S.2.设a，b，为单位向量，且满足a+b+c=0，求a.b+b.c+c.a.3.求与向量a=(2,0,1)，b=(1,-1,2)都垂直的单位向量五、证明题1. 证明 (axb)=a2.b2-(a-b).2.证明a垂直于(a-b)-(a.c)b.3.已知三点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，且BC=a，CA=b，AB-C，求(a,b)与Prja4试用向量证明直径所对的圆周角是直角5.设a=(3,5,-2)，b=(2,1,4)，问元与μ有怎样的关系，能使a+ub与=轴垂直？6.试用向量证明不等式：a++++ab+a,b,+ab其中a、az、br、b,、b为任意实数，并指出等号成立条件.7.设三向量a,b,c满足axb+bxc+bxa=0，试证三向量a,b,c共面.83空间平面与直线1.求过A(1,1,-1)，B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点的平面方程2.求平面2x-2y+z+5=0与xOy面的夹角3．分别按下列条件求平面方程(1)平行于xOz面且经过点(2,-5,3)；(2)通过=轴和点(-3,1,-2)；(3)平行于x轴，且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)x+2y-z+1=0[2x-y+z=0]平行的平面方程.4.求过点(1,2.1)而与直线x-y+z-l=0[x-y+z=05.求点（-12,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影[x-y+z=]6．用对称式方程及参数式方程表示直线1：[2x+y+z=4'我[2x+2y-=+23=0线[5x-3y+3=-9=0与直线7.求直线，的夹角的余弦[3x-2y+z-1=0[3x+8y+=-18=08.求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程我[x+y+3=0与平面x-y-=+1=0的夹角。9.求直线y-z=0x+3-y+4_2三和平面4x-2y-2z=3间的位置关系.10.确定直线-2-73

(A) 35 5 (B) 1  (C) 2  (D) 10 10 四、计算题 1．求以 A(1, 2,3)， B(3, 4,5) ，C(-1,- 2,7) 为顶点的三角形的面积S ． 2．设a r ，b  r ，c  r 为单位向量，且满足a + b + c = 0 r r r r ，求a ×b + b×c + c × a r r r r r r ． 3．求与向量a = (2,0,1) r ，b = (1, -1,2) r 都垂直的单位向量． 五、证明题 1．证明 2 2 2 2  (a ¥b) = a ×b - (a × b) r r r r r r ． 2．证明a r 垂直于(a ×b)c - (a × c)b r r r r r r ． 3．已知三点 A(1,0,0) ， B(3,1,1)，C (2,0,1) ，且 BC = a uuur r ，CA = b uuur r ， AB = C uuur ur ，求(a,b) r r $ 与Pr cjr a  r ． 4．试用向量证明直径所对的圆周角是直角． 5．设a = (3,5,- 2) r ，b = (2,1, 4) r ，问l 与m 有怎样的关系，能使la + mb r r 与 z 轴垂直？ 6．试用向量证明不等式： 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 a + a + a b + b + b ³ a b + a b + a b ， 其中 1 a 、 2 a  、 3 a  、 1 b 、 2 b  、 3 b  为任意实数，并指出等号成立条件． 7．设三向量a,b, c  r r r 满足a ¥b + b ¥c + b ¥ a = 0 r r r r r r r ，试证三向量a,b, c  r r r 共面． §3 空间平面与直线 1．求过 A(1,1,- 1) ， B(-2,- 2,2) 和C(1,- 1,2) 三点的平面方程． 2．求平面2x - 2y + z + 5 = 0与 xOy 面的夹角． 3．分别按下列条件求平面方程 (1)平行于 xOz 面且经过点(2,- 5,3) ； (2)通过 z 轴和点(-3,1,- 2) ； (3)平行于 x 轴，且经过两点(4,0,- 2) 和(5,1,7) ． 4．求过点(1,2,1) 而与直线 1 2 1 0 :  1 0 x y z  l  x y z Ï + - + = Ì Ó - + - = ， 2 0 :  0 x y z  l  x y z Ï - + = Ì Ó - + = 平行的平面方程． 5．求点(- 1,2,0) 在平面 x + 2y - z +1= 0上的投影． 6．用对称式方程及参数式方程表示直线l ： 1 2 4 x y z  x y z Ï - + = Ì Ó + + = ． 7．求直线 5 3 3 9 0 3 2 1 0 x y z  x y z Ï - + - = Ì Ó - + - = 与直线 2 2 23 0 3 8 18 0 x y z  x y z Ï + - + = Ì Ó + + - = 的夹角的余弦． 8．求过点(0,2,4) 且与两平面 x + 2z =1和 y -3z = 2平行的直线方程． 9．求直线 3 0 0 x y z  x y z Ï + + = Ì Ó - - = 与平面 x - y - z +1= 0 的夹角． 10．确定直线 3 4 2 7 3 x + y + z = = - - 和平面 4x - 2y - 2z = 3间的位置关系．

x+y-z+l=011.求点P(3,-1,2)到直线的距离[2x-y+2-4=0Jx+y+b=0,12.设直线1：在平面元上，而平面元与曲面z=x2+y相切于（1-2.5)，求α，x+ay-=-3=0,b的值.13.求通过点P(1,1,1)且与两直线x-1_y-2_2-3#--号，：:21z314都相交的直线方程.84空间曲面与曲线1.求与坐标原点0及点(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？2.将xOz坐标面上的抛物线=2=5x绕x轴旋转一周，求生成旋转曲面的方程3.画出下面方程所表示的曲面：(2)+三)a)) +y=(9)1)/x(3)z=2-x2,=l;：2）(2944.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？(1)x=2; (2)y=x+1; (3)x2+y2=4: (4)x2-y2=1.5.说明下列旋转曲面是怎样形成的？(1)x2 - y2 /4+22 =1; (2)(z-a) = x2 + y2 .[2x++=16的柱面方程。6.分别求母线平行于x轴及y轴，且通过曲线x2+-2-y2=07.已知椭球面的三轴分别与三坐标轴重合，且通过椭圆+=1，z=0与点M(1,2,V23)，求916这个椭球面的方程，8.求平行于向量(1,1,-1)且与球面x2+y2+2=1相切的直线所生成的柱面方程.9.曲面x+y+=与x2+y2=2ax（a>0）的交线是（).（A）抛物线(B）双曲线（C）椭圆(D)圆z=a'-x-y?10.方程组(a>0）表示怎样的曲线？x+y2-ax=0z=a?-x?-y211.方程组[(-)+-(8)表示怎样的曲线?-212．方程组V4g--～表示怎样的曲线？[(x-a) + y2 = α?13.指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？

11．求点 P(3,- 1,2) 到直线 1 0 2 4 0 x y z  x y z Ï + - + = Ì Ó - + - = 的距离． 12．设直线l ： 0 ,  3 0, x y b x ay z Ï + + = Ì Ó + - - = 在平面p 上，而平面p 与曲面 2 2 z = x + y 相切于(1,- 2,5) ，求a ， b 的值． 13．求通过点 P (1,1,1) 且与两直线 1 l  ： 1 3 x y z  z = = ， 2 l  ： 1 2 3 2 1 4 x - y - z - = = 都相交的直线方程． §4 空间曲面与曲线 1．求与坐标原点O 及点(2,3,4) 的距离之比为 1:2 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的 曲面？ 2．将 xOz 坐标面上的抛物线 2 z = 5x 绕 x 轴旋转一周，求生成旋转曲面的方程． 3．画出下面方程所表示的曲面： (1) 2 2 2 2 2 a a x y Ê ˆ Ê ˆ Á - ˜ + = Á ˜ Ë ¯ Ë ¯ ； (2) 2 2 1 9 4 x z + = ； (3) 2 z = 2 - x ． 4．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？ (1) x = 2 ；(2) y = x + 1；(3) 2 2 x + y = 4 ；(4) 2 2 x - y =1． 5．说明下列旋转曲面是怎样形成的？ (1) 2 2 2 x - y 4 + z =1； (2) 2 2 2 (z - a) = x + y ． 6．分别求母线平行于 x 轴及 y 轴，且通过曲线 2 2 2 2 2 2 2 16 0 x y z  x z y Ï Ô + + = Ì Ô Ó + - = 的柱面方程． 7．已知椭球面的三轴分别与三坐标轴重合，且通过椭圆 2 2 1 9 16 x y + = ， z = 0 与点 M (1,2, 23) ，求 这个椭球面的方程． 8．求平行于向量(1,1,- 1) 且与球面 2 2 2 x + y + z =1 相切的直线所生成的柱面方程． 9．曲面 2 2 2 2 x + y + z = a 与 2 2  x + y = 2ax （ a > 0 ）的交线是（ ）． （A）抛物线 （B）双曲线 （C）椭圆 （D）圆 10.  方程组 ( ) 2 2 2  2 2  0 0 z a x y  a x y ax Ï Ô = - - Ì > Ô Ó + - = 表示怎样的曲线? 11.  方程组 2 2 2  2 2  2  2 2 z a x y  a a x y Ï = - - Ô Ì Ê ˆ Ê ˆ Ô - + = Á ˜ Á ˜ Ó Ë ¯ Ë ¯ 表示怎样的曲线? 12.  方程组 2 2 2  2 2 2  4 ( ) z a x y  x a y a Ï Ô = - - Ì Ô Ó - + = 表示怎样的曲线? 13．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？

[x+y2[y=5x+1=1(1)(2)49[y=2x-3[y=314.求球面x2+y+2=9与平面x+z=1的交线在xOy面上的投影的方程15.求出球面x2+y2+2=8与旋转抛物面+=2=的交线[x2 +y2 +=2 = 916.将曲线的一般方程化为参数方程，ly=xx=acose17.求螺旋线y=asino在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.[z=be18.求上半球0≤z≤a-x-y2，与圆柱体x+y≤ax（a>0）的公共部分在xoy面和xoz面上的投影

(1) 5 1 2 3 y x  y x Ï = + Ì Ó = - ； (2) 2 2 1 4 9 3 x y  y Ï Ô + = Ì Ô Ó = ． 14．求球面 2 2 2 x + y + z = 9 与平面 x + z =1的交线在 xOy 面上的投影的方程． 15．求出球面 2 2 2 x + y + z = 8 与旋转抛物面 2 2 x + y = 2z 的交线． 16．将曲线的一般方程 2 2 2 x y z  9 y x Ï + + = Ì Ó = 化为参数方程． 17．求螺旋线 cos  sin x a y a z b q q q Ï = Ô Ì = Ô = Ó 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程． 18．求上半球 2 2 2 0 £ z £ a - x - y ，与圆柱体 2 2 x + y £ ax ( a > 0 )的公共部分在 xoy 面和 xoz 面上的 投影．