《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第2章 导数与微分

第二章导数与微分教学提示：本章我们主要阐释一元函数微分学中的两个基本概念：导数与微分．由此建立起一整套的微分法公式与法则，从而系统地解决初等函数的求导问题教学要求：理解导数的概念及会利用定义求导数，掌握函数的基本求导法则：熟练应用基本求导公式计算函数的导数：理解高阶导数的定义并能进行计算：掌握一般隐函数及一般含参数方程的函数的求导方法：理解微分概念，并会进行计算教学重点：导数的概念及求导法则；高阶导数的定义；隐函数及含参数方程的函数的求导法则；函数的微分；微分中值定理：洛必达法则泰勒公式；导数的应用教学难点：导数的概念及求导法则：隐函数及含参数方程的函数求高阶导数，第一节导数概念一、问题的提出为了说明导数的概念，我们先来讨论物体作变速直线运动时的瞬时速度和平面曲线切线的斜率的问题，这两个问题在历史上都与导数概念的形成有关系。1.变速直线运动的瞬时速度如图2-1，一物体从原点O开始时（t=0）作变速直线运动，物体所走过的路程s为时间1的位置函数s=f(t)，物体经过一段时间t之后到达M。，求物体在时刻t。的瞬时速度f(to)1(t,+Ar)古SMM图2-1由于物体是沿直线作变速运动，从而物体在运动的不同时间间隔内有不同的速度值，这样用平均速度公式表达物体在不同时刻的速度就不合适了，那么这种非匀速运动的动点在时刻。的瞬时速度应该如何理解而又如何来求呢？首先给t。一个增量A，当时刻t由t.变到t。+A时，物体由点M。到达点M，对应于时间1的增量△1，物体所走路程s有相应增量As=f(to+△)-f(to),从而在t到t。+△t这段时间内的平均速度是= +)-()AtAt如果时间间隔△的值较小，那么π在实践中也可用来说明物体在时刻t。的速度．但对于物体在时刻1。的瞬时速度的精确定义来说，这样做是不够的，更确切地应该这样：令△→0，取上式的极限，如果这个极限存在，设为V，即Asf(tf。 + Ar)- f(o)At

第二章 导数与微分 教学提示: 本章我们主要阐释一元函数微分学中的两个基本概念：导数与微分．由此建立起一 整套的微分法公式与法则，从而系统地解决初等函数的求导问题． 教学要求：理解导数的概念及会利用定义求导数．掌握函数的基本求导法则；熟练应用基本求 导公式计算函数的导数；理解高阶导数的定义并能进行计算；掌握一般隐函数及一般含参数方程的 函数的求导方法；理解微分概念，并会进行计算． 教学重点：导数的概念及求导法则；高阶导数的定义；隐函数及含参数方程的函数的求导法则； 函数的微分；微分中值定理；洛必达法则；泰勒公式；导数的应用． 教学难点: 导数的概念及求导法则；隐函数及含参数方程的函数求高阶导数． 第一节 导数概念 一、问题的提出 为了说明导数的概念，我们先来讨论物体作变速直线运动时的瞬时速度和平面曲线切线的斜率 的问题，这两个问题在历史上都与导数概念的形成有关系． 1.  变速直线运动的瞬时速度 如图 2­1，一物体从原点O 开始时(t = 0 )作变速直线运动， 物体所走过的路程s 为时间t 的位置 函数s = f (t) ，物体经过一段时间 0 t  之后到达M 0 ，求物体在时刻 0 t  的瞬时速度． 图 2­1  由于物体是沿直线作变速运动，从而物体在运动的不同时间间隔内有不同的速度值，这样用平 均速度公式表达物体在不同时刻的速度就不合适了．那么这种非匀速运动的动点在时刻 0 t  的瞬时速 度应该如何理解而又如何来求呢？ 首先给 0 t  一个增量Dt ，当时刻t 由 0 t  变到 0 t + Dt 时，物体由点M 0 到达点M ，对应于时间t 的增 量 Dt ，物体所走路程s 有相应增量 0 0 Ds = f (t + Dt) - f (t )， 从而在 0 t  到 0 t + Dt 这段时间内的平均速度是 v = s  t D D =  0 0 f (t t) f (t  ) t + D - D ． 如果时间间隔Dt 的值较小，那么v 在实践中也可用来说明物体在时刻 0 t  的速度．但对于物体在时刻 0 t  的瞬时速度的精确定义来说，这样做是不够的，更确切地应该这样：令Dt Æ 0 ，取上式的极限， 如果这个极限存在，设为v ，即 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim t t  s  f t t f t  v  t t D Æ D Æ D + D - = = D D ．

53第一节导数概念这时就把这个极限值称为物体在时刻t。的瞬时速度2.平面曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为“与圆只有一个公共点的直线”：但是对于其他曲线，用“与曲线只有一个公共点的直线”作为切线的定义就不一定合适了，例如，抛物线V=与x轴和V轴分别都只有一个公共点（原点O），但实际上，只有x轴才是该抛物线在原点O处的切线：下面给出曲线上切线的定义，设有曲线C及曲线C上的一点M（图2-2（a)），在点M外另取C上一点N，作割线MN当点N沿曲线C无限逼近点M时，如果割线MN绕点M旋转而无限逼近极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.这里极限位置的含义是弦长|MN趋于零时ZNMT也趋于零.F-JNC1(a)(b)图2-2现在就曲线C对应的函数y=f(a)来讨论切线问题.设M(xo,%)=M(xg,f(x）)是曲线C上一点（图2-2（b)），根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了：为此，我们给一个增量Ar，当自变量x由x变到x+Ar时，曲线上点M变到点N，相应的函数增量为Ay= f(x +Ar)-f(x),即曲线C上异于点M的点N(x,y)为N(x+Ar,%+Ay)，于是割线MN的斜率为Ay_f(x +Ax)-f(x0)tanp:AxAx其中?为割线MN的倾角.当点N沿曲线C无限逼近点M时，Ax→0如果当△r→0时，上式的极限存在，设为k，即f(x+Ax)-f(x)Ay=limk=lim tan=limAxAr-0AxAr>0Ax→0存在，注意到当Ar→0时，有→α，即tanp→tanα。从而tanα=limtanp，其中α为切线AT的倾角，于是切线AT的斜率为m f(xo + Ar)-J(x0)tanα =k = lim = lim ArAr-0Ax4r0从上述讨论的两个问题来看，瞬时速度和切线斜率都归结为相同的极限形式。在自然科学和工程技术领域内还有许多概念，如物体温度变化的速度、交流电路中电流强度等也可归结为上述极限形式．我们撒开这些量的具体意义，抽象出它们在数量关系上的共性，就可得到函数导数的概念。二、导数的定义1.函数在一点处的导数定义1设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义，当自变量x在x处取得增量Ax(点x+Ar仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量Ay=f(x。+Ar)-f(x），如果Ay与Ax之比当△x→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x处可导，并称其极限值为函数f(x)在点处的导数，记为(x），即

第一节 导数概念 53  这时就把这个极限值v 称为物体在时刻 0 t  的瞬时速度． 2.  平面曲线的切线斜率 我们知道，圆的切线定义为“与圆只有一个公共点的直线”．但是对于其他曲线，用“与曲线 只有一个公共点的直线”作为切线的定义就不一定合适了．例如，抛物线 2 y = x 与 x 轴和 y 轴分别 都只有一个公共点（原点O ），但实际上，只有 x 轴才是该抛物线在原点O 处的切线．下面给出曲 线上切线的定义． 设有曲线C 及曲线C 上的一点M (图 2­2 (a) )， 在点M 外另取C 上一点 N ， 作割线MN ． 当点 N 沿曲线C 无限逼近点 M 时，如果割线 MN 绕点 M 旋转而无限逼近极限位置 MT ，直线 MT 就称为 曲线C 在点 M 处的切线．这里极限位置的含义是弦长| MN |趋于零时– NMT 也趋于零． 图 2­2  现在就曲线C 对应的函数 y = f (x) 来讨论切线问题． 设 0 0 0 0 M (x , y ) = M (x , f (x )) 是曲线C 上一点 (图 2­2 (b) )，根据上述定义要定出曲线C 在点M 处的切线，只要定出切线的斜率就行了．为此，我 们给 0 x  一个增量Dx ，当自变量 x 由 0 x  变到 0 x + Dx 时，曲线上点M 变到点 N ，相应的函数增量为 0 0 Dy = f (x + Dx) - f (x ) ， 即曲线C 上异于点M 的点 N(x, y) 为 0 0 N(x + Dx, y + Dy) ，于是割线MN 的斜率为 0 0 ( ) ( ) tan y f x x f x  x x j D + D - = = D D ， 其中j 为割线 MN 的倾角．当点 N 沿曲线C 无限逼近点 M 时， Dx Æ 0 ．如果当 Dx Æ 0 时，上式 的极限存在，设为k ，即 0 lim tan x  k j D Æ = 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x  y f x x f x  D Æ x D Æ x D + D - = = D D 存在，注意到当Dx Æ 0 时，有j Æa ，即tanj Æ tana ．从而 0 tan lim tan x a j D Æ = ，其中a 为切线 AT 的 倾角．于是切线 AT 的斜率为 tana = k 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x  y f x x f x  D Æ x D Æ x D + D - = = D D ． 从上述讨论的两个问题来看，瞬时速度和切线斜率都归结为相同的极限形式．在自然科学和工 程技术领域内还有许多概念，如物体温度变化的速度、交流电路中电流强度等也可归结为上述极限 形式．我们撇开这些量的具体意义，抽象出它们在数量关系上的共性，就可得到函数导数的概念． 二、导数的定义 1.  函数在一点处的导数 定义 1  设函数 y = f (x) 在点 0 x  的某一邻域内有定义， 当自变量 x 在 0 x  处取得增量Dx (点 0 x + Dx 仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量 0 0 Dy = f (x + Dx) - f (x ) ，如果 D y 与Dx 之比当 Dx Æ 0 时的极 限存在， 则称函数 y = f (x) 在点 0 x  处可导， 并称其极限值为函数 f (x) 在点 0 x  处的导数， 记为 0 f ¢(x ) ， 即

54第2章导数与微分= lim(+Ax)-(x0)f(x)= lim Arr→0 AxAr-0dy，或也可记作lrardx业不存在，函数f(x）在点x处可导有时也说成是f(x）在点x具有导数或导数存在.如果lim90AX那么称函数(s)在点处不可导。如果函数(s)在点。处不可导的原因是由Ar→0时兴+00Ar为了方便起见，也往往说函数f(x）在点x处的导数为无穷大导数的定义式也可取不同形式，常见的有：()=lm(=()和 ()=m(+h)=().h+0X-X式中的h即自变量的增量Axr.在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述它撇开了自变量与因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹在数量方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量的比是因变量在以和x+Ax为端点的区间上的平均变化率，而导数F(x）则是因变量y在点Ar处的变化率，它反映的是因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.2.函数在区间内的导数上面讲的是函数在一点处的导数，现在讨论函数在区间内的导数定义2若函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，则称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.定义3设函数y=f(αx)在开区间(a,b)内可导，则对任意的xe(a,b)都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数y=f(x)的导函数，记为(x)，，，或dxdx把函数f(x)在点x处的导数中x换成x，即得导函数的定义式1(0)= lmx+2-()， 或 F(n)=m α+h)-(),Arh+0注意导函数定义式中，虽然x取（a.b)内的任意值，但在极限过程中x是常数，Ax或h是变量显然，函数f(x)在点x处的导数(x）是导函数f(x)点x。处的函数值，即f(xo)= f(x) lx=导函数f(x)简称导数，而f(x）是f(x)点处的导数或导数f(x)点x处的值3.利用导数定义求函数的导数现在利用导数定义，求一些初等函数的导数，例1求f(x)=C(C为常数)的导数.mC-C=0.即(C)=0.这就是说，常数的导数等于零。解f(x)=lin0h例2求函数f(x)=x"(neZ+)在x=a处的导数.x"-a"解f(a)=lim-= lim( + ax*-? +.+ a.) = na"- .ax-a

54  第 2 章 导数与微分 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x  y f x x f x  f x  D Æ x D Æ x D + D - ¢ = = D D ． 也可记作 0 x x  y = ¢ | ， 0 x x  dy dx = | 或 0  ( ) x x  df x  dx = | ． 函数 f (x) 在点 0 x  处可导有时也说成是 f (x) 在点 0 x  具有导数或导数存在．如果 0 limx  y  D Æ x D D 不存在， 那么称函数 f (x) 在点 0 x  处不可导．如果函数 f (x) 在点 0 x  处不可导的原因是由Dx Æ 0 时 y  x D Æ • D ， 为了方便起见，也往往说函数 f (x) 在点 0 x  处的导数为无穷大． 导数的定义式也可取不同形式，常见的有： 0  0 0 0 ( ) ( ) ( ) limx x  f x f x  f x  Æ x x - ¢ = - 和 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) limh f x h f x  f x  Æ h + - ¢ = ． 式中的h 即自变量的增量Dx ． 在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的 变化率问题．导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述．它撇开了自变量与因变量所代表的 几何或物理等方面的特殊意义，纯粹在数量方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量的 比 y  x D D 是因变量 y 在以 0 x  和 0 x + Dx 为端点的区间上的平均变化率，而导数 0 f ¢(x ) 则是因变量 y 在点 0 x  处的变化率，它反映的是因变量随自变量的变化而变化的快慢程度． 2.  函数在区间内的导数 上面讲的是函数在一点处的导数，现在讨论函数在区间内的导数． 定义 2  若函数 y = f (x) 在开区间(a,b ) 内每一点处可导，则称函数 y = f (x) 在开区间(a,b ) 内可 导． 定义 3  设函数 y = f (x) 在开区间(a,b ) 内可导，则对任意的 xŒ(a,b) 都对应着 f (x) 的一个确定 的导数值．这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数 y = f (x) 的导函数，记为 f ¢ (x) ， x  y¢ ， dy dx  ，或 df  dx ． 把函数 f (x) 在点 0 x  处的导数中 0 x  换成 x ，即得导函数的定义式 0 ( ) ( ) ( ) limx  f x x f x  f x  D Æ x + D - ¢ = D ，或 0 ( ) ( ) ( ) limh f x h f x  f x  Æ h + - ¢ = ． 注意 导函数定义式中，虽然 x 取(a,b ) 内的任意值，但在极限过程中 x 是常数，Dx 或 h 是变量． 显然，函数 f (x) 在点 0 x  处的导数 0 f ¢(x ) 是导函数 f ¢ (x) 点 0 x  处的函数值，即 0  0 ( ) ( ) x x  f x f x = ¢ = ¢ | ． 导函数 f ¢ (x) 简称导数，而 0 f ¢(x ) 是 f (x) 点 0 x  处的导数或导数 f ¢ (x) 点 0 x  处的值． 3.  利用导数定义求函数的导数 现在利用导数定义，求一些初等函数的导数． 例 1  求 f (x) = C (C 为常数)的导数． 解 0 ( ) lim 0. h C C f x  Æ h - ¢ = = 即(C)¢ = 0 ．这就是说，常数的导数等于零． 例 2  求函数 ( ) n f x = x ( n + Œ Z )在 x = a 处的导数． 解 1 2 1 1 ( ) lim lim( ) n n n n n n x a x a x a f a x ax a na x a - - - - Æ Æ - ¢ = = + + ×××+ = - ．

第一节导数概念55把以上结果中的a换成x，得(x)=nx-l，即(x")=nx"-1更一般地，对于幂函数y=x（μER），有（x"）=ux-这就是幂函数的求导公式，这个公式的证明将在以后来讨论：特别取U=-1.1/2时，有1(x")=-x?, (Nx) -2Vx例3求函数f(αx)=α的导数(a>0,a±l).ah-1a*+h -α*=a*lim解f(x)=limhh→0h令a-1=t，则ah=1+t，h-ln(1+1)，又h-→0，有t→0，因而aInad111tf'(x)=a"linalim=a*Ina-lim=aIna=a'Ina,h0 In(1 + t)t-0 In(1 + t)-→0In[lim(1+t))]Ina即（a)=aIna这就是指数函数的导数公式．特别地，取a=e时，由上式得（e）=e*，这表明，以e为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e为底的指数函数的一个重要的特性，例4求函数f(x)=sinx的导数 sin(x+h)-sinx = liml解f'(x)=lim-.2 cos(x+h/2)sin(h/2)hh->0"h= lim[cos(x+h/2). sin(h/2)]1 = limcos(x + h/2) lim sin(h/2)=cOS.xh/2→0h/2即(sinx)=cosx.这就是说，正弦函数的导数是余弦函数，用类似的方法，容易求得（cosx）=一sinx，这就是说余弦函数的导数是负的正弦函数，例5求函数f(x)=log。x(a>0,a±1)的导数 log,(x+ h)-1og,× = limllogax+h(三1og,(1+ h/ x)=lim[-解了(x)=limhh-0hh-0xhx1mog.+/og+ /xinaXhAx1即(log,x)'-xlna这就是对数函数的导数公式.特别地，取a=e时，由上式得自然对数函数的导数(lnx)=1/x.三、导数的几何意义函数f(x)在点x处的导数f(x)在几何上表示曲线f(x)在点(x,f(x)处的切线的斜率，即k=tanα=f(x),其中α(0≤α<元）是过曲线上点(xo,f(x）)的切线的倾斜角(图2-3).y=r(x)/AX

第一节 导数概念 55  把以上结果中的a 换成 x ，得 1 ( ) n f x nx - ¢ = ，即 1 ( ) n n x nx - ¢ = ． 更一般地，对于幂函数 y x ( ) m = m Œ R ，有 1 (x ) x m m m - ¢ = ． 这就是幂函数的求导公式．这个公式的证明将在以后来讨论．特别取m = -1,1 2 时，有 1 2 (x ) x - - ¢ = - ， 1 ( ) 2 x  x ¢ = ． 例 3  求函数 ( ) x  f x = a 的导数 (a > 0,a ¹ 1) ． 解 0 0 1 ( ) lim lim x h x h x  h h a a a f x a h h + Æ Æ - - ¢ = = ． 令 1 h a - = t ，则 1 h a = + t ， 1 ln(1 ) ln h t  a = + ，又h Æ 0 ，有t Æ 0 ， 因而 0 1 ( ) lim h x  h a f x a Æ h - ¢ = 0 lim ln(1 ) ln x  t  t  a t a Æ = + 0 1 ln lim ln(1 ) x  t  t  a a Æ t = × + 0 1 ln ln[lim(1 ) ] x  t  t  a a t Æ = × + ln x  = a a ， 即( ) ln x x  a ¢ = a a ． 这就是指数函数的导数公式．特别地，取a = e 时，由上式得( ) x x  e ¢ = e ，这表明，以e为底的指 数函数的导数就是它自己，这是以e为底的指数函数的一个重要的特性． 例 4  求函数 f (x) = sin x 的导数． 解 0 sin( ) sin ( ) limh x h x  f x  Æ h + - ¢ = 0 1 lim[ 2cos( 2)sin( 2)] h x h h Æ h = × + 0 sin( 2) lim[cos( 2) ] h 2 h x h Æ h = + × 0 0 sin( 2) limcos( 2) lim h h 2 h x h Æ Æ h = + × = cos x ， 即 (sin x)¢ = cos x ． 这就是说，正弦函数的导数是余弦函数．用类似的方法，容易求得(cos x)¢ = - sin x ，这就是说， 余弦函数的导数是负的正弦函数． 例 5  求函数 ( ) loga f x = x (a > 0,a ¹ 1) 的导数． 解 0 log ( ) log ( ) lim a a h x h x  f x  Æ h + - ¢ = 0 1 lim[ log ] a h x h Æ h x + = 0 1 lim[ log (1 )] a h x  h x  Æ x h = × + 0 1 limlog (1 ) x  h a h h x  x Æ = × + 0 1 log [ lim (1 ) ] x h a h x  h x  x Æ = × + loga e  x = 1 x ln a = ， 即 1 (log ) ln a x  x a ¢ = ． 这就是对数函数的导数公式．特别地，取a = e 时，由上式得自然对数函数的导数(ln x)¢ =1 x ． 三、导数的几何意义 函数 f (x) 在点 0 x  处的导数 0 f ¢(x ) 在几何上表示曲线 f (x) 在点 0 0 (x , f (x )) 处的切线的斜率，即 0 k = tana = f ¢(x ) ， 其中a (0 £a < p ) 是过曲线上点 0 0 (x , f (x )) 的切线的倾斜角(图 2­3)．

56第2章导数与微分图2-3如果函数f(x）在点x处的导数为无穷大，这时曲线f(x）的割线以垂直于x轴的直线x=x为极限位置，即曲线f(x)在点(x,f(x）处具有垂直于x轴的切线x=x：根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线f(x)在点M(ro,f(xo))处的切线方程为y-f(x)=f'(x(x-x).过切点M(xg,f(x）且与切线垂直的直线，称为曲线y=f(x)在点M处的法线．如果1f(x）*0，法线的斜率为-从而法线方程为f(xo)1y-f(x)=(x-x) .f'(xo)例6求曲线y=x3/2与直线y=3x-1平行的切线方程和法线方程，解由于直线y=3x-1的斜率为3，设曲线y=x/2上的点（x,f(x）)的切线斜率为3，即有3.31V%=3,yl==(x/)l=x /0=22V62于是得x=4，从而f(xo)=J(4)=8，故所求切线方程为y-8=3(x-4)，即y=3x-4，所求法线方程为y-8=-(x-4)/3.例7求曲线y=x3的通过点(1,4)的切线方程，解设切点为(xo,f(o))，则切线的斜率为k=f(o)=(x）lk=,=3x，于是所求切线方程可设为y-J(x)=3x(x-xo），又切线通过点(1,4)，故有4-x=3x(1-x），即4=3x-2x，由此解得x=2，J(x）=8，故所求切线方程为y=12x-162四、函数可导与连续的关系连续与可导是函数的两个重要概念．虽然在导数的定义中未明确要求函数在x连续，但却蕴涵可导必然连续这一关系，1.可导必连续定理1若函数f(x)在点x处可导，则函数f(x)在点x处必连续证设函数J(x)在点处可导，即im兴=f(x)，则有0Ax%.imAx=0.limAy=lim50Ax所以函数f(x)在点处连续2.连续未必可导函数f(x)在点x处连续的函数未必在点x处可导.例8函数f(x)=/x在(-0,+o0)内连续，但在x=0处不可导，因为在x=0处，有x-0-m11(x)-f(0) = limlim=limlim=+80X-0x-00×#x-0Vxx-0即导数为无穷大（导数不存在）从几何直观上看，它的图像在x=0处有垂直于x轴的切线x=0（图2-4）

56  第 2 章 导数与微分 图 2­3  如果函数 f (x) 在点 0 x  处的导数为无穷大， 这时曲线 f (x) 的割线以垂直于 x 轴的直线 0 x = x 为极 限位置，即曲线 f (x) 在点 0 0 (x , f (x )) 处具有垂直于 x 轴的切线 0 x = x ． 根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线 f (x) 在点 0 0 M (x , f (x )) 处的切线方程为 0 0 0 y - f (x ) = f ¢(x )(x - x ) ． 过切点 0 0 M (x , f (x )) 且与切线垂直的直线，称为曲线 y = f (x) 在点 M  处的法线． 如果 0 f ¢(x ) ¹ 0 ，法线的斜率为 0 1 f (x ) - ¢ ，从而法线方程为 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) y f x x x  f x - = - - ¢ ． 例 6  求曲线 3 2 y = x 与直线 y = 3x - 1平行的切线方程和法线方程． 解 由于直线 y = 3x - 1的斜率为 3  ，设曲线 3 2 y = x 上的点 0 0 (x , f (x )) 的切线斜率为 3  ，即有 0 0 0  1 3 2 2 0 3 3 ( ) 3 2 2 x x x x x x  y x x x = = = ¢ | = ¢ | = | = = ， 于是得 0 x = 4 ，从而 0 f (x ) = f (4) = 8，故所求切线方程为 y -8 = 3(x - 4) ，即 y = 3x - 4 ，所求法线方 程为 y - 8 = -(x - 4) 3． 例 7  求曲线 3 y = x 的通过点(1,4) 的切线方程． 解 设切点为 0 0 (x , f (x )) ，则切线的斜率为 0  3 2 0 0 k f (x ) (x ) x x  3x = = ¢ = ¢ | = ，于是所求切线方程可设为 2 0 0 0 y - f (x ) = 3x (x - x ) ，又切线通过点 (1,4) ，故有 3 2 0 0 0 4 - x = 3x (1- x ) ，即 2 3 0 0 4 = 3x - 2x ，由此解得 0 0 x = 2, f (x ) = 8 ，故所求切线方程为 y =12x - 16 ． 四、函数可导与连续的关系 连续与可导是函数的两个重要概念．虽然在导数的定义中未明确要求函数在 0 x  连续，但却蕴涵 可导必然连续这一关系． 1.  可导必连续 定理 1  若函数 f (x) 在点 0 x  处可导，则函数 f (x) 在点 0 x  处必连续． 证 设函数 f (x) 在点 0 x  处可导，即 0 0 lim ( ) x  y  f x  D Æ x D = ¢ D ，则有 0 0 0 0 lim lim( ) lim lim 0 x x x x  y y  y x x  D Æ D Æ x D Æ x D Æ D D D = ×D = × D = D D ． 所以函数 f (x) 在点 0 x  处连续． 2.  连续未必可导 函数 f (x) 在点 0 x  处连续的函数未必在点 0 x  处可导． 例 8  函数 3 f (x) = x 在(-•,+•) 内连续，但在 x = 0 处不可导，因为在 x = 0 处，有 3 3 3 2 0 0 0 0 ( ) (0) 0 1 lim lim lim lim x 0 x 0 x x  f x f x x  Æ x Æ x Æ x Æ x - - = = = = +• - - 即导数为无穷大(导数不存在)． 从几何直观上看，它的图像在 x = 0 处有垂直于 x 轴的切线 x = 0 （图 2­4）．

第一节导数概念57/0.图 2-4图2-5五、单侧导数(xg+Ar)-()存在，定义4若函数y=J(x)在x的某左邻域(x-8,x)内有定义，且limAx则称(x)在点x处左可导，其极限值称为(x)在点x的左导数，记作F(x），即f(x +Ar)- (xo)J(x)= lim AxAr-→0(x+Ar)-(x）存在，则称若函数y=f(x)在点的某右邻域(x,+)内有定义，且limArf(x)在点x处右可导，其极限值称为f(x)在点x的右导数，记作J(x).即f(xo +Ax)-f(x)f(x)= lim Ax由函数f(x)在点x处的导数F(x）是一个极限，又极限存在的充要条件是左右极限存在并且相等。由此得到定理2函数f(x)在点x处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等.左导数与右导数统称为单侧导数，主要用于讨论区间端点或分段函数分段点的导数存在问题例9函数x+0xsin-f(x)=to,x=0在（-0.+0）内连续，但在x=0处不可导，因为在x=0处，有1Ar·sin01f(Ax)-f(0)Ar*(0) = lim= lim= lim sin-AxArAxr不存在，所以f(x）在x=0不可导例10设sinx,x0时，J(x)=(x)=l，当x=0时，由于x-0sinx-0'(0)= limf^(0) = lim1.xx于是f(0)=1，所以fcosx,x<0f'(x)=11.x≥0

第一节 导数概念 57  图 2­4  图 2­5  五、单侧导数 定义 4  若函数 y = f (x) 在 0 x  的某左邻域 0 0 (x -d , x ) 内有定义，且 0 0 0 ( ) ( ) lim x  f x x f x  x - D Æ + D - D 存在， 则称 f (x) 在点 0 x  处左可导，其极限值称为 f (x) 在点 0 x  的左导数，记作 0 f (x ) - ¢ ，即 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x  f x x f x  f x  x - - D Æ + D - ¢ = D ． 若函数 y = f (x) 在点 0 x  的某右邻域 0 0 (x , x + d ) 内有定义，且 0 0 0 ( ) ( ) lim x  f x x f x  x + D Æ + D - D 存在，则称 f (x) 在点 0 x  处右可导，其极限值称为 f (x) 在点 0 x  的右导数，记作 0 f (x ) + ¢ ．即 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x  f x x f x  f x  x + + D Æ + D - ¢ = D ． 由函数 f (x) 在点 0 x  处的导数 0 f ¢(x ) 是一个极限， 又极限存在的充要条件是左右极限存在并且相 等．由此得到 定理 2  函数 f (x) 在点 0 x  处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等． 左导数与右导数统称为单侧导数．主要用于讨论区间端点或分段函数分段点的导数存在问题． 例 9  函数 1 sin , 0 ( ) 0,            0 x x  f x  x  x Ï Ô ¹ = Ì Ô Ó = 在(-•,+•) 内连续，但在 x = 0 处不可导，因为在 x = 0 处，有 0 ( ) (0) (0) lim x  f x f  f  x + + D Æ D - ¢ = D 0 0 1 in 0 1 lim lim in x x  x s  x  s  x x + + D Æ D Æ D × - D = = D D 不存在，所以 f (x) 在 x = 0 不可导． 例 10  设 sin , 0 ( ) ,     0 x x  f x  x x Ï 0 时， f ¢(x) = (x)¢ =1，当 x = 0 时，由于 0 sin 0 (0) lim 1 x  x  f  x - Æ - - ¢ = = ， 0 0 (0) lim 1 x  x  f  x + Æ + - ¢ = = 于是 f ¢ (0) = 1，所以 cos , 0 ( ) 1,        0 x x  f x  x Ï < ¢ = Ì Ó ³ ．

58第2章导数与微分定义5若函数f(x)在(a,b)内可导，且"(a)及f(b)都存在，则称f(x)在[a,b)上可导.例11函数f(x)=x在(-00,+o)内连续，但在x=0处不可导，因为在x=0处，有=-1, J(0)= lim ±-0 -x-0alJ'(0) = lim -xx即f(0)f(0)，所以f(x）在x=0不可导，注意函数f(x)连续，如果f(x)在点x的左右导数都存在，但f"(x)+f"(x)，则称点x为函数f(x)的角点，它是f(x)的不可导点（图2-5).例12函数f(x)=/在(-8,+o)内连续，但在x=0处不可导，因为在x=0处，有1-0f(0) = limlim=limx-0X→0x派-01f'(0)= limlimlimx-0xVx即f(0）=80，所以f(x）在x=0不可导注意如果f(x)=0，且在x的两个单侧导数符号相反，则x称为函数f(x)的尖点，函数的尖点是不可导点（图2-6）1JR0图2-6例13证明函数x'sin-x±0f(x)=(o.x=0在x=0处可导，因为在x=0处，有11-0(Ar).sinsin-1f(Ar)-f(O)ArAr=l,J(0)= lim = lim=limAxsin= limAxAx1Ar→0*Ar0*AxAr→0*Ar0*Ar11(Ax).sin0sinIf(Ar)- f(O)AxrAr=l,f(0)= lim=lim=lim Axsin= lim1AxAxAr>0Ar0Ar-→0ArAx-→0Ax所以f(x)在x=0可导

58  第 2 章 导数与微分 定义 5  若函数 f (x) 在(a,b ) 内可导，且 f (a) + ¢ 及 f (b) - ¢ 都存在，则称 f (x) 在[a,b ]上可导． 例 11  函数 f (x) = x 在(-•,+•) 内连续，但在 x = 0 处不可导，因为在 x = 0 处，有 0 0 (0) lim 1, x  x  f  x - Æ - - - ¢ = = - 0 0 (0) lim 1 x  x  f  x + Æ + - ¢ = = 即 f (0) f (0) - + ¢ ¹ ¢ ，所以 f (x) 在 x = 0 不可导． 注意 函数 f (x) 连续，如果 f (x) 在点 0 x  的左右导数都存在，但 0 0 f (x ) f (x ) - + ¢ ¹ ¢ ，则称点 0 x  为函 数 f (x) 的角点，它是 f (x) 的不可导点（图 2­5） ． 例 12  函数 3 2 f (x) = x 在(-•,+•) 内连续，但在 x = 0 处不可导，因为在 x = 0 处，有 3 2 3 2 3 0 0 0 0 1 (0) lim lim lim x 0 x x  x x  f  x x x - Æ - Æ - Æ - - ¢ = = = = -• - ， 3 2 3 2 3 0 0 0 0 1 (0) lim lim lim x 0 x x  x x  f  x x x + Æ + Æ + Æ + - ¢ = = = = +• - ， 即 f ¢ (0) = • ，所以 f (x) 在 x = 0 不可导． 注意 如果 0 f ¢(x ) = • ，且在 0 x  的两个单侧导数符号相反，则 0 x  称为函数 f (x) 的尖点，函数的 尖点是不可导点（图 2­6） ． 图 2­6  例 13  证明函数 1 sin , 0 ( ) 0,           0 x x  f x  x  x Ï Ô ¹ = Ì Ô Ó = 2 在 x = 0 处可导． 因为在 x = 0 处，有 0 ( ) (0) (0) lim x  f x f  f  x + + D Æ D - ¢ = D 2 0 0 1 ( ) sin 0 1 lim lim sin x x  x  x  x  x x + + D Æ D Æ D × - D = = D D D 0 1 sin lim 1 x  1 x  x + D Æ D = = D ;  0 ( ) (0) (0) lim x  f x f  f  x - - D Æ D - ¢ = D 2 0 0 1 ( ) sin 0 1 lim lim sin x x  x  x  x  x x - - D Æ D Æ D × - D = = D D D 0 1 sin lim 1 x  1 x  x - D Æ D = = D ， 所以 f (x) 在 x = 0 可导．

59第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则从导数定义出发，我们已经推出了几个基本初等函数的导数公式对于一般函数来说，当然也可以从导数定义出发求出它的导数，但这样既麻烦又困难，本节我们再根据导数定义，推出几个主要的求导法则（导数的四则运算、反函数的导数与复合函数的导数）借助于这些法则和上节导出的基本初等函数的导数公式，可以较快的解决其它一些基本初等函数的导数公式，在此基础上解决初等函数的求导问题。一、函数四则运算的求导法则定理1设函数u=u(x)与v=v(x)都在点x处可导，则它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都点x处可导，且有I)(utv)'=u'+';2)(uv)=uv+uw';uy-'3v2证1)令y=u+v，则Ay=[u(x+Ax)+v(x+Ar)]-[u(x)+v(x)]=△u+△v：从而有limm+lim=u(x)+v(x) .Ar-0 AxAr-0 ArAr→0 Ax所以y=u+v在点x处也可导，且(u+)=u+。类似可证(u-)=u-.2）令y=w，则Ay=u(x+Ar)v(x+△x)-u(x)v(x)=[u(x+Ax)-u(x)v(x+Axr)+u(x)[v(x+Ax)-v(x)]=u-(x+Ar)+u(x)-v.由于可导必连续，故有lim(x+Ax）=v(x)，从而推出mm(+)+（)m）AyAy=limlim-=u(x)(x)+u(x)v(x) .Ar-0AxAr-0ArAr->0Ar-0Ar所以y=uw在点x处也可导，且有（uw）=uv+.，则令y=-117V11(x+Ax)-V(x)Ay:(x+Ax) v(x)v(x+Ar)v(x)lim(x+△x)=v(x)±0，故有由于v(x)在点x处可导，1Ay -v(a)y所以y=-在点x处可导，从而由2)推出12

第二节 函数的求导法则 59  第二节 函数的求导法则 从导数定义出发，我们已经推出了几个基本初等函数的导数公式．对于一般函数来说，当然 也可以从导数定义出发求出它的导数，但这样既麻烦又困难．本节我们再根据导数定义，推出几个 主要的求导法则（导数的四则运算、反函数的导数与复合函数的导数）．借助于这些法则和上节导 出的基本初等函数的导数公式，可以较快的解决其它一些基本初等函数的导数公式，在此基础上解 决初等函数的求导问题． 一、函数四则运算的求导法则 定理 1  设函数u = u(x) 与v = v(x) 都在点 x 处可导，则它们的和、差、积、商(除分母为零的点 外)都点 x 处可导，且有 1) (u ±n ) ¢ = u¢ ± v¢ ； 2) (uv) ¢ = u¢v + uv¢； 3) 2 u u v uv  v v ¢ Ê ˆ ¢ - ¢ Á ˜ = Ë ¯ ． 证 1) 令 y = u + v ，则 Dy =[u(x + Dx) + v(x + Dx)]-[u(x) + v(x)] = Du + Dv ．从而有 0 0 0 lim lim lim ( ) ( ) x x x  y u v  u x v x  D Æ x D Æ x D Æ x D D D = + = ¢ + ¢ D D D ． 所以 y = u + v 在点 x 处也可导，且(u +n ) ¢ = u¢ + v¢ ． 类似可证(u -n ) ¢ = u¢ - v¢． 2) 令 y = uv ，则 Dy = u(x + Dx)v(x + Dx) -u(x)v(x) =[u(x + Dx) -u(x)]v(x + Dx) + u(x)[v(x + Dx) - v(x)] = Du × v(x + Dx) + u(x)×D v ． 由于可导必连续，故有 0 lim ( ) ( ) x  v x x v x D Æ + D = ，从而推出 0 0 0 0 lim lim lim ( ) ( ) lim x x x x  y u v  v x x u x  D Æ x D Æ x D Æ D Æ x D D D = × + D + × D D D = u¢(x)v(x) + u(x)v¢ (x) ． 所以 y = uv 在点 x 处也可导，且有(uv) ¢ = u¢v + uv¢． 3) 先证 2 1 v  v v ¢ Ê ˆ ¢ Á ˜ = - Ë ¯ ． 令 1 y  v = ，则 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x x v x  y  v x x v x v x x v x + D - D = - = - + D + D ． 由于v(x) 在点 x 处可导， 0 lim ( ) ( ) 0 x  v x x v x D Æ + D = ¹ ，故有 2 0 ( ) lim ( ) x  y v x  D Æ x v x D ¢ = - D ． 所以 1 y  v = 在点 x 处可导，且 2 1 v  v v ¢ Ê ˆ ¢ Á ˜ = - Ë ¯ ．从而由2) 推出

60第2章导数与微分=--=-(v)推论1若u(x)在点x处可导，k是常数，则ku(x)在点x处可导，且[ku(x)"=ku(x)推论2乘积求导公式可以推广到有限多个导函数的乘积.例如，若u,v,w都是区间I内的可导函数，则（uww）=uvw+uww+uw例1求y=secx的导数(cosx)sinx解(secx)secxtanxcos"xcosxcosx同理（cscx)=-cscxcotx例2求y=tanx的导数sinx1cosxcosx-sin x(-sinx)解(tanx)=secxcos"xcos"xcosx同理(cotx)=-cscx.二、反函数的导数三角函数与反三角函数、对数函数和指数函数都是互为反函数，本段先讨论互为反函数的两个函数的导数之间的关系，然后利用这个关系导出反三角函数和对数函数的导数，定理2设函数x=f(y)在某区间1,内单调、可导且f(y)±0，则它的反函数y=f-(x)在对应的区间1、内也可导，且有11或鸟[F-(x)]} =df'(y)dy即反函数的导数等于直接函数导数的倒数证由于函数x=f(y)在I,内单调、可导(从而连续)，x=f(y)的反函数y=-(x)存在，且(x)在区间！内也单调、连续.任取xeI，给x以增量(Ax±O，x+AxeI），由y=f-(x)的单调性可知，因此Ay= f-(x+Ar)- f-'(x)+0 .A1于是有Ax"AxAy因y=f-(x)连续，故limAy=0，所以11[F-(x)] = lim _Axf'(y)Ar-0AxlimAy-0 Ay例3求反正弦函数y=arcsinx的导数解设函数x=siny（-元/2≤y≤元/2)为直接函数，则其反函数为y=arcsinx，而函数x=siny在开区间1,=(一元/2,元/2)内单调，可导，且(siny)=cosy>0.因此，由公式(1),在对应的区间1,=(-1,1)内有

60  第 2 章 导数与微分 u 1 1 u u v v v ¢ ¢ Ê ˆ Ê ˆ Á ˜ = ¢ × + Á ˜ Ë ¯ Ë ¯ 2 1 v  u u v v ¢ = ¢ - 2 u v uv  v ¢ - ¢ = ． 推论 1  若u(x) 在点 x 处可导，k 是常数，则ku(x) 在点 x 处可导，且[ku(x)]¢ = ku¢(x) ． 推论 2  乘积求导公式可以推广到有限多个导函数的乘积． 例如，若u,v,w 都是区间 I 内的可导函数，则(uvw)¢ = u¢vw+ uv¢w + uvw¢ ． 例 1  求 y = sec x 的导数． 解 2 2 1 (cos ) sin (sec ) sec tan cos cos cos x x  x x x  x x x ¢ ¢ Ê ˆ ¢ = Á ˜ = - = = Ë ¯ ． 同理(csc x)¢ = -csc x cot x ． 例 2  求 y = tan x 的导数． 解 2 2 2 sin cos cos sin ( sin ) 1 (tan ) sec  cos cos cos x x x x x  x x  x x x ¢ Ê ˆ - - ¢ = Á ˜ = = = Ë ¯ ． 同理 2 (cot x)¢ = -csc x ． 二、反函数的导数 三角函数与反三角函数、对数函数和指数函数都是互为反函数，本段先讨论互为反函数的两个 函数的导数之间的关系，然后利用这个关系导出反三角函数和对数函数的导数． 定理 2  设函数 x = f ( y) 在某区间 y  I 内单调、可导且 f ¢ ( y) ¹ 0，则它的反函数 1 y f (x) - = 在对应 的区间 x  I 内也可导，且有 1 1 [ ( )] ( ) f x  f y - ¢ = ¢ ，或 dy  1 dx  dx  dy = ， 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数． 证 由于函数 x = f ( y) 在 y  I 内单调、 可导(从而连续)，x = f ( y) 的反函数 1 y f (x) - = 存在， 且 1 f (x) - 在区间 x  I 内也单调、连续． 任取 x  xŒ I ，给 x 以增量( Dx ¹ 0 ， x  x + DxŒ I ) ，由 1 y f (x) - = 的单调性可知，因此 1 1 y f (x x) f (x) 0 - - D = + D - ¹ ． 于是有 y  1 x  x  y D = D D D ． 因 1 y f (x) - = 连续，故 0 lim 0 x  y D Æ D = ，所以 1 0 0 1 1 [ ( )] lim ( ) lim x  y  y  f x  x x  f y  y - D Æ D Æ D ¢ = = = D D ¢ D ． 例 3  求反正弦函数 y = arcsin x 的导数． 解 设函数 x = sin y (-p 2 £ y £ p 2) 为直接函数，则其反函数为 y = arcsin x ．而函数 x = sin y 在 开区间 ( 2, 2) y  I = -p p 内单调， 可导， 且(sin y)¢ = cos y > 0 ． 因此， 由公式(1)， 在对应的区间 ( 1,1) x  I = - 内有

第二节函数的求导法则611/(arcsinx)'=(siny)cosy但cosy=yl-siny=Vl-x2，所以反正弦函数的导数公式为1(arcsin x)Vi-x?用类似的方法可得反余弦函数的导数公式为：-(arccosx)=Vi-x2例4求反正切函数y=arctanx的导数解设函数x=tany（-元/2<y<元/2)为直接函数，则其反函数为y=arctanx。而函数x=tany在开区间1,=(-元/2,元/2)内单调，可导，且（tany）=sec2y±0．因此，由公式(1)，在对应的区间I,=(00,+00)内有11(arctan x)'=(tany)secy但secy=1+tany=l+x2，所以反正切函数的导数公式为(arctanx)'1 + x2用类似的方法可得反余切函数的导数公式为：(arccotx)"=1+ x2至此，除幂函数外，我们求出了所有基本初等函数的导数．与讨论幂函数的连续性类似，求幂函数的导数需要用到复合函数的相关性质，三、复合函数的求导法则利用几个基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，虽然能解决一些函数的求导问题，但像sinx，Intanx，e"这样的复合函数，我们还不知道它们是否可导，若可导如何求它们的导数，这些问题借助于下面的重要法则可以得到解决，从而使可以求导的函数范围得到很大的扩充，现在将复合函数的这个求导公式加以推广，就得到如下复合函数导数的链式法则：定理3如果u=p(x)在点x可导，而y=f(u)在点u=p(x)可导，则复合函数y=[p(x)在点x可导，且其导数为y'=y'-u..即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导，岁=1(a)）存在，于是根据极限与无穷小的关系有证由于y=f(u)在点u可导，因此，lim-0Au=(u)+α，其中α是Au→0时的无穷小，上式中Au0，用Au乘上式两边，得AuAy=f'(u)Au+a·Au当△u=0时，规定α=0，这时因Ay=f(u+△u)-f(u)=0，上式右端也为零，故上式对Au=0也成立用Ar±0除上式两端，得AuAuA=f(u)+α(u)ArArAx

第二节 函数的求导法则 61  1 1 (arcsin ) cos  (sin ) x  y y  ¢ = = ¢ ． 但 2 2 cos y = 1- sin y = 1- x ，所以反正弦函数的导数公式为 2 1 (arcsin ) 1 x  x ¢ = - ． 用类似的方法可得反余弦函数的导数公式为： 2 1 (arccos ) 1 x  x ¢ = - - ． 例 4  求反正切函数 y = arctan x 的导数． 解 设函数 x = tan y (-p 2 < y < p 2) 为直接函数，则其反函数为 y = arctan x ．而函数 x = tan y 在 开区间 ( 2, 2) y  I = -p p 内单调，可导，且 ( ) 2 tan y sec y 0 ¢ = ¹ ．因此，由公式(1)，在对应的区间 ( , ) x  I = -• +• 内有 2 1 1 (arctan ) sec  (tan ) x  y y  ¢ = = ¢ ． 但 2 2 2 sec y =1+ tan y =1+ x ，所以反正切函数的导数公式为 2 1 (arctan ) 1 x  x ¢ = + ． 用类似的方法可得反余切函数的导数公式为： 2 1 (arccot ) 1 x  x ¢ = - + ． 至此，除幂函数外，我们求出了所有基本初等函数的导数．与讨论幂函数的连续性类似，求幂 函数的导数需要用到复合函数的相关性质． 三、复合函数的求导法则 利用几个基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，虽然能解决一些函数的求导问题， 但像sin x ，ln tan x ， 1 sin x  e  这样的复合函数，我们还不知道它们是否可导，若可导如何求它们的导 数．这些问题借助于下面的重要法则可以得到解决，从而使可以求导的函数范围得到很大的扩充． 现在将复合函数的这个求导公式加以推广，就得到如下复合函数导数的链式法则： 定理 3  如果u = j(x) 在点 x 可导，而 y = f (u) 在点u = j(x) 可导，则复合函数 y = f[j(x)] 在点 x 可导，且其导数为 x u x  y¢ = y¢ × u¢ ． 即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导． 证 由于 y = f (u) 在点u 可导，因此， 0 lim ( ) u y  f u D Æ u D = ¢ D 存在，于是根据极限与无穷小的关系有 ( ) y  f u u a D = ¢ + D ，其中a 是 Du Æ 0 时的无穷小．上式中Du ¹ 0，用Du 乘上式两边，得 Dy = f ¢ (u)Du +a ×D u ． 当 Du = 0 时，规定a = 0 ，这时因Dy = f (u + Du) - f (u) = 0 ，上式右端也为零，故上式对Du = 0 也成 立．用Dx ¹ 0 除上式两端，得 ( ) ( ) y u u f u u x x x a D D D = ¢ + D × D D D