《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第6章 向量代数与空间解析几何

第六章向量代数与空间解析几何教学提示：解析几何就是用代数的方法来研究几何问题，代数研究的对象是数的运算和关系，几何研究的对象是点的轨迹和性质．在直角坐标系下引入点的坐标就把二者有机地联系起来，从而使我们能够用代数的方法去研究几何问题．在空间解析几何中，我们也可以先通过建立空间直角坐标系使空间上的点与一个三元有序数组一一对应，将空间几何问题转化为代数问题来解决，并且空间解析几何还能给二元函数提供直观的几何解释．因此在介绍多元函数的微积分之前先介绍一点空间解析几何的知识.教学要求：理解向量的概念及其表示：理解理解空间直角坐标系，会求空间两点的距离：理解向量坐标的概念；掌握向量的方向余弦及向量的坐标表达式；掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积)：了解两个向量垂直、平行的条件；掌握平面方程和直线方程及其求法：会求点到平面和点到直线的距离；会将直线一般方程化为标准方程；会求平面与平面、直线与直线、直线与平面之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关题；了解曲面方程和空间曲线方程的概念；了解空间曲线的参数方程和一般方程：了解常用二次曲面的方程和图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程：了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程教学重点：向量的概念：向量的坐标：向量的运算；建立平面与直线方程；平面与平面、直线与直线、直线与平面之间的位置关系；旋转曲面及柱面方程：空间曲线在坐标平面上的投影教学难点：向量的运算：平面与平面、直线与直线、直线与平面之间的位置关系；空间曲线在坐标平面上的投影第一节向量及其线性运算一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系的概念在空间中任意取定一个点O，通过点O作三条长度单位相同，且两两垂直的数轴x轴、y轴、=轴，并规定这三条数轴的方向成右手系，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O称为坐标原点，x轴、y轴、轴统称为坐标轴，又分别叫做横轴、纵轴和竖轴空间直角坐标系Oxy=的习惯画法是横轴方向超前、纵轴方向朝右和竖轴方向朝上（图6-1)：这里Oxyz满足的右手系又叫做右手法则，即右手并拢的四指的指向x轴正向，然后沿逆时针方向弯曲90°指向轴正向，此时大拇指所指的方向即为≥轴的正向（图6-2)-1图 6-1图6-2图6-3

第六章 向量代数与空间解析几何 教学提示: 解析几何就是用代数的方法来研究几何问题．代数研究的对象是数的运算和关系，几 何研究的对象是点的轨迹和性质．在直角坐标系下引入点的坐标就把二者有机地联系起来，从而使我 们能够用代数的方法去研究几何问题．在空间解析几何中，我们也可以先通过建立空间直角坐标系， 使空间上的点与一个三元有序数组一一对应，将空间几何问题转化为代数问题来解决，并且空间解析 几何还能给二元函数提供直观的几何解释．因此在介绍多元函数的微积分之前先介绍一点空间解析几 何的知识． 教学要求：理解向量的概念及其表示；理解理解空间直角坐标系，会求空间两点的距离；理解向 量坐标的概念；掌握向量的方向余弦及向量的坐标表达式；掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量 积、混合积)；了解两个向量垂直、平行的条件；掌握平面方程和直线方程及其求法；会求点到平面和 点到直线的距离；会将直线一般方程化为标准方程；会求平面与平面、直线与直线、直线与平面之间 的夹角,并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关题；了解曲面方程和空间曲线 方程的概念；了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解常用二次曲面的方程和图形，会求以坐标轴 为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其 方程． 教学重点：向量的概念；向量的坐标；向量的运算； 建立平面与直线方程；平面与平面、直线与 直线、直线与平面之间的位置关系；旋转曲面及柱面方程；空间曲线在坐标平面上的投影． 教学难点: 向量的运算；平面与平面、直线与直线、直线与平面之间的位置关系；空间曲线在坐 标平面上的投影． 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 1.  空间直角坐标系的概念 在空间中任意取定一个点O ， 通过点O 作三条长度单位相同， 且两两垂直的数轴 x 轴、y 轴、z 轴， 并规定这三条数轴的方向成右手系，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，O 称为坐标原点，x 轴、 y 轴、 z 轴统称为坐标轴，又分别叫做横轴、纵轴和竖轴． 空间直角坐标系Oxyz 的习惯画法是横轴方向超前、纵轴方向朝右和竖轴方向朝上(图 6­1)．这里 Oxyz 满足的右手系又叫做右手法则， 即右手并拢的四指的指向 x 轴正向， 然后沿逆时针方向弯曲90 o 指 向 y 轴正向，此时大拇指所指的方向即为 z 轴的正向(图 6­2)． 图 6­1  图 6­2  图 6­3

174第6向量代数与空间解析几何三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面xOy,yOz,zOx统称为坐标面三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z>0)中，从含有x轴、J轴、二轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做I，IⅡI，IⅢI，IV卦限，下半空间（=<O)中，与I，IⅡ，IⅢI，IV四个卦限依次对应地叫做V，VI，VI，VI卦限（图6-3)2.空间点的坐标在空间建立了直角坐标系后，就可以建立空间的点与三个有序数组之间的一一对应关系，设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、=轴的交点依次为P,9,R.点P,O,R叫做点M在三个坐标轴上的投影(图6-4)，它们在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x,J,z这样点M就确定了一个有序数组(x,J,=)，称为点M的直角坐标，依次叫做横坐标，纵坐标和竖坐标，坐标为(x,y,=)的点M通常记为M(x,y,=)反过来，给定了有序数组(x,y,=)，我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为=的点R，然后通过P,O,R分别作x轴，y轴与=轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标(x,J,2)的点(图6-4)。从而对应于有序数组(x,y,2)，必有空间的一个确定的点M .显然，原点O的坐标为(0,0,0)；x轴，y轴与=轴上点的坐标分别是(x,0,0)，(0,y,0)，(0,0,=)。坐标平面xOy，yO=，2Ox上点的坐标分别是(x,y,0)，(0,y,=)，(x,0,=)若连接P,Q两点的线段PQ垂直坐标平面，且被该坐标平面平分，则称点P与Q关于该坐标平面对称.若连接P,Q两点的线段PQ与某坐标轴垂直相交，且被该坐标轴平分，则称点P与Q关于该轴对称.显然，点P(x,y,=)关于xOy平面对称的点为(x,y,-z).点P(x,y,z)关于x轴对称的点为(x,-y,-2)1M2(x2.2.2-241M132312J图6-4图6-53.空间两点之间的距离设M(,Ji,z)与M,(2,2,z2)是空间两点，为将它们之间的距离|M,M,1用这两点的坐标表示，分别过点M，与M，作三个平行于三条坐标面的平面，这六个平面围成一个长方体（图6-5)，长方体的三条边的棱长分别是|x2-x1，12-1，1=2-2,，M,M,是长方形的一条对角线由勾股定理得[M,M,P=M,AP+IAB +BM,P.所以点M与M，间的距离公式为[M,M, (x -x) +(y - y2) +(, -=2),二、向量的基本概念1.向量及其表示在工程技术的问题中，有一种量如时间、长度、质量等，他们只有大小、没有方向，在取定一个单位后，可以用数来表示，这种量叫做数量，另外还有一种量，如物理学中的力、位移、速度等，它们除有大小外还有方向，这种既有大小又有方向的量叫做向量

174 第 6 向量代数与空间解析几何 三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面 xOy, yOz,zOx 统称为坐标 面．三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间(z > 0) 中，从含有 x 轴、 y 轴、z 轴正 半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间(z < 0) 中，与Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限(图 6­3)． 2.  空间点的坐标 在空间建立了直角坐标系后，就可以建立空间的点与三个有序数组之间的一一对应关系． 设 M 为空间的一点，过点M 作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与 x 轴、 y 轴、 z 轴的交点 依次为 P,Q, R ．点 P,Q, R 叫做点M 在三个坐标轴上的投影(图 6­4)，它们在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的坐标 依次为 x, y,z ．这样点M 就确定了一个有序数组(x, y,z) ，称为点M 的直角坐标，依次叫做横坐标，纵 坐标和竖坐标，坐标为(x, y,z) 的点 M 通常记为M (x, y,z) ． 反过来，给定了有序数组(x, y,z) ，我们可以在 x 轴上取坐标为 x 的点 P ，在 y 轴上取坐标为 y 的 点Q ，在 z 轴上取坐标为 z 的点 R ，然后通过 P,Q, R 分别作 x 轴， y 轴与 z 轴的垂直平面，这三个平面 的交点M 就是具有坐标(x, y,z) 的点(图 6­4)．从而对应于有序数组(x, y,z) ，必有空间的一个确定的点 M ． 显然，原点O 的坐标为(0,0,0)；x 轴，y 轴与 z 轴上点的坐标分别是(x,0,0) ，(0, y,0)，(0,0,z)．坐 标平面 xOy ， yOz ， zOx 上点的坐标分别是(x, y,0) ，(0, y,z)，(x,0,z) ． 若连接 P,Q 两点的线段 PQ 垂直坐标平面，且被该坐标平面平分，则称点 P 与Q 关于该坐标平面 对称．若连接 P,Q 两点的线段 PQ 与某坐标轴垂直相交，且被该坐标轴平分，则称点 P 与Q 关于该轴 对称． 显然，点 P(x, y,z) 关于 xOy 平面对称的点为(x, y,- z)．点 P(x, y,z) 关于 x 轴对称的点为(x,-y,- z) ． 图 6­4  图 6­5 3.  空间两点之间的距离 设 1 1 1 1  M (x , y ,z ) 与 2 2 2 2  M (x , y ,z ) 是空间两点， 为将它们之间的距离 1 2  | M M  | 用这两点的坐标表示，分 别过点M 1与 M 2作三个平行于三条坐标面的平面，这六个平面围成一个长方体(图 6­5)，长方体的三条 边的棱长分别是 2 1  | x - x | ， 2 1  | y - y | ， 2 1  | z - z |，M1M 2 是长方形的一条对角线．由勾股定理得 2 2 2 2  1 2 1 2  | M M | =| M A | + | AB | + | BM | ． 所以点M 1与 M 2间的距离公式为 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 | M M |= (x - x ) + ( y - y ) + (z - z ) ． 二、向量的基本概念 1.  向量及其表示 在工程技术的问题中，有一种量如时间、长度、质量等，他们只有大小、没有方向，在取定一个 单位后，可以用数来表示，这种量叫做数量． 另外还有一种量，如物理学中的力、位移、速度等，它 们除有大小外还有方向，这种既有大小又有方向的量叫做向量．

第一节向量及其线性运算175在数学上，向量既可以用几何图形形象地来表示，又可以用字母来表示．向量在几何图形上常用一条有方向的线段（即有向线段）来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向：以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB（图6-6）.向量也用小写的黑体字母来表示，如a，b，c，i，u等，为书写方便起见，也用小写字母上面加箭头来表示，如，6，，等bA00a图6-6图6-72.自由向量与向量的相等在实际问题中，有些向量与起点有关，而有些向量与起点无关．由于向量的共性是大小和方向，因此数学上只研究与起点无关的向量我们把只考虑大小与方向而不考虑起点在什么地方的向量叫做自由向量，简称向量，这样就可以把向量的起点放在空间中任何一点，给讨论向量带来方便，当遇到与起点有关的向量时，可在一般原则下作特别处理，由于我们只讨论自由向量，因此，如果两个向量与6的大小相等且方向相同，那么称向量与相等，记作a=b。也就是说，经过平移以后能完全重合的向量是相等的，3.向量的模、单位向量和零向量向量的大小叫做向量的模，记作，如果=，那么向量叫做单位向量如果=0，那么向量叫做零向量单位向量常记作，零向量常记作0零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的.4.向量的夹角、平行与垂直设有两个非零向量a与6，任取空间一点O，作OA=a，OB-b，规定不超过元的LAOB（设0=LAOB，0≤0≤元）为两向量a与b的夹角(图6-7)，记作(a,b)，即(a,b)=0如果=0或元，就称向量a与6平行，记作ab.如果=元/2，就称向量a与垂直，记作a1b，如果向量与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0到元之间取任意值，因此，可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直，5.向量的共线与共面当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上：因此，两向量平行又称两向量共线．类似地，我们有向量共面的概念：设a,az，",a,是k(>3)个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果它们的终点和公共起点在一个平面上，则称这k个向量共面三、向量的线性运算向量的加法、数与向量的乘法统称向量的线性运算，其中数与向量的乘法又叫做向量的数乘1.向量的加法向量的加法运算可按下述平行四边形法则来规定：设向量与不共线，如果任取一点A，作AB=a，AD-b为邻边的一个平行四边形ABCD，连接对角线AC（图6-8)，则规定向量AC=为向量a与向量6的和，记为a+b，即z=a+b

第一节 向量及其线性运算 175 在数学上，向量既可以用几何图形形象地来表示，又可以用字母来表示．向量在几何图形上常用一条 有方向的线段(即有向线段)来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方 向．以 A 为起点、 B 为终点的有向线段所表示的向量记作 AB uuur (图 6­6)．向量也用小写的黑体字母来表 示，如a ，b ，c ，i ，u等．为书写方便起见，也用小写字母上面加箭头来表示，如 aÆ ，bÆ ，cÆ ，iÆ 等． 图 6­6  图 6­7 2.  自由向量与向量的相等 在实际问题中，有些向量与起点有关，而有些向量与起点无关．由于向量的共性是大小和方向， 因此数学上只研究与起点无关的向量．我们把只考虑大小与方向而不考虑起点在什么地方的向量叫做 自由向量，简称向量．这样就可以把向量的起点放在空间中任何一点，给讨论向量带来方便．当遇到 与起点有关的向量时，可在一般原则下作特别处理． 由于我们只讨论自由向量，因此，如果两个向量 aÆ 与 bÆ 的大小相等且方向相同，那么称向量a r 与 bÆ 相等，记作a = b r r ．也就是说，经过平移以后能完全重合的向量是相等的． 3.  向量的模、单位向量和零向量 向量 aÆ 的大小叫做向量 aÆ 的模，记作| a | Æ ．如果| a | =1 Æ ，那么向量 aÆ 叫做单位向量．如果| a | =0 Æ ， 那么向量 aÆ 叫做零向量．单位向量常记作e  r ，零向量常记作 0Æ ． 零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的． 4.向量的夹角、平行与垂直 设有两个非零向量a r 与b r ，任取空间一点O ，作OA = a uur r ，OB = b uuur r ，规定不超过p 的–AOB (设 q = –AOB ，0 £ q £ p )为两向量a r 与b r 的夹角(图 6­7)，记作(a ,b ) r r $ ，即(a ,b) = q r r $ ． 如果q = 0 或p ， 就称向量a r 与 bÆ 平行， 记作a || b r r ． 如果q = p 2， 就称向量a r 与 bÆ 垂直， 记作a ^ b r r ． 如果向量a r 与b r 中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0 到p 之间取任意值．因此，可以认为 零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直． 5.向量的共线与共面 当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上．因此，两向量平 行又称两向量共线．类似地，我们有向量共面的概念：设 1 2  , k a a ,×××, a r r r 是k(³ 3)个向量，当把它们的起点 放在同一点时，如果它们的终点和公共起点在一个平面上，则称这k 个向量共面． 三、向量的线性运算 向量的加法、数与向量的乘法统称向量的线性运算，其中数与向量的乘法又叫做向量的数乘． 1.  向量的加法 向量的加法运算可按下述平行四边形法则来规定： 设向量 aÆ 与 bÆ 不共线，如果任取一点 A ，作 AB = a uuur r ， AD = b uuur r 为邻边的一个平行四边形 ABCD ，连 接对角线 AC (图 6­8)，则规定向量 AC = c uuur r 为向量 aÆ 与向量 bÆ 的和，记为 a b Æ + r ，即c = a + b r r r ．

176第6向量代数与空间解析几何a图6-8图6-9当两个向量与b共线时，定义它们的和向量为：当与b同向时，和向量的方向与这两个向量的方向相同，长度等于这两个向量的长度之和；当与b反向时，和向量的方向与它们模大向量的方向相同，其长度等于这两个向量的长度之差的绝对值，向量的加法运算也可按下述三角形法则来规定：设有两个向量与，任取一点A，作AB=a，再以B为起点，作BC=b，连接AC（图6-9)，那么规定向量AC=c为向量与6的和，记为a+b，即=a+b.也就是说，把向量6的起点与向量a的终点重合，则以的起点为起点，以6的终点为终点的向量规定为6与的差b-a三角形法则比平行四边形法则有更一般的意义，它适合与6共线时两向量的和，便于将向量和的定义推广到任意有限个向量，2.向量的减法利用向量的加法运算，规定向量的减法运算：设a为一个向量，与a的模相等而方向相反的向量称为a的负向量，记为-a.由此，规定向量6与a的差为b-a=b+(-a),即把负向量-a加到向量6上，便得向量与的差b+(-a)(图6-10)：特别地，当-b时，有-=0n图6-10图 6-11向量相减法的三角形法则：设有两个向量与6，任取一点A，作AB=a，AC=b连接BC（图6-11)那么规定向量BC为向量与的差-a，即=-也就是说，把向量a与的起点放在同一点处，则由的终点到的终点的向量就是与的差-由三角形两边之和大于第三边的原理，有a+b≤a+b及-b≤a+b，其中等号在6与a同向或互为反方向时成立，3.向量的数乘运算数与向量的乘法运算规定如下：向量与实数的乘积规定为向量，它的模为a，它的方向当>0时与相同，当<0时与相反当=0时，a0，即为零向量，这时它的方向可以是任意的．特别地，当入=±1时，有la=a，（-)a=-a4.向量的线性运算的运算规律()交换律：a+b=b+a；(i)结合律：(a+b)+=a+(b+)，μa)=μ(aa)=(aμ)a.(ii)分配律：(a+μ)a=aa+μa：a(a+b)=a+ab.证（i）这是因为，按向量相加的三角形法则，从图6-12可见

176 第 6 向量代数与空间解析几何 图 6­8  图 6­9  当两个向量 a r 与b r 共线时，定义它们的和向量为：当 a r 与b r 同向时，和向量的方向与这两个向量 的方向相同，长度等于这两个向量的长度之和；当 a r 与b r 反向时，和向量的方向与它们模大向量的方 向相同，其长度等于这两个向量的长度之差的绝对值． 向量的加法运算也可按下述三角形法则来规定： 设有两个向量 aÆ 与 bÆ ，任取一点 A ，作 AB = a uuur r ，再以 B 为起点，作 BC = b uuur r ，连接 AC (图 6­9)，那 么规定向量 AC = c uuur r 为向量 aÆ 与 bÆ 的和，记为 a b Æ + r ，即c = a + b r r r ．也就是说，把向量 bÆ 的起点与向量aÆ 的 终点重合，则以 aÆ 的起点为起点，以 bÆ 的终点为终点的向量规定为 bÆ 与 aÆ 的差b - a r r ． 三角形法则比平行四边形法则有更一般的意义，它适合 a r 与b r 共线时两向量的和，便于将向量和 的定义推广到任意有限个向量． 2.  向量的减法 利用向量的加法运算，规定向量的减法运算：设a r 为一个向量，与a r 的模相等而方向相反的向量 称为a r 的负向量， 记为-a r ． 由此， 规定向量 bÆ 与 aÆ 的差为b - a = b + (-a), r r r r 即把负向量 aÆ - 加到向量 bÆ 上， 便得向量 bÆ 与 aÆ 的差b + (-a) r r (图 6­10)． 特别地，当 a b Æ = r 时，有 a a 0. Æ Æ - = 图 6­10  图 6­11  向量相减法的三角形法则： 设有两个向量 aÆ 与 bÆ ， 任取一点 A ， 作 AB = a uuur r ，AC = b uuur r 连接 BC (图 6­11)， 那么规定向量 BC uuur 为向量 bÆ 与 aÆ 的差b - a r r ， 即c = a - b r r r ． 也就是说， 把向量 aÆ 与 bÆ 的起点放在同一点处， 则由 aÆ 的终点到 bÆ 的终点的向量就是 bÆ 与 aÆ 的差b - a r r ． 由三角形两边之和大于第三边的原理，有| a b | | a | | b | Æ + £ + r r r 及| a b | | a | | b | Æ - £ + r r r ，其中等号在 bÆ 与 aÆ 同向或互为反方向时成立． 3.  向量的数乘运算 数与向量的乘法运算规定如下：向量 aÆ 与实数l 的乘积la r 规定为向量，它的模为| l a |= | l || a | r r ， 它的方向当l > 0 时与 aÆ 相同，当l < 0 时与 aÆ 相反．当l = 0 时，| l a |= 0 r ，即la r 为零向量，这时它的 方向可以是任意的．特别地，当l = ±1时，有1a = a r r ，(-1)a = - a r r ． 4.  向量的线性运算的运算规律 (i)  交换律： a b b a Æ Æ + = + r r ； (ii) 结合律：(a + b) + c = a + (b + c ) r r r r r r ，l(m a) = m(l a) = (lm)a r r r ． (iii)  分配律：(l + m)a = l a + m a r r r ； l(a + b ) = la + lb r r r r ． 证 (i)  这是因为，按向量相加的三角形法则，从图 6­12 可见

第一节向量及其线性运算177a+b=AB+BC=AC-,b+a=BC+CD=BD=c所以交换律成立。(i）对于向量加法运算满足的结合律，由如图6-13所示，先作+b，再加上，即(a+b)+=(AB+BC)+CD=AD.先作，再加上b+，即a+(b+)=AB+(BC+CD)=AB+BD=AD所以结合律成立.图6-12图6-13对于数乘运算满足的结合律，由数与向量的乘法运算规定，向量(ua）、u(a）、（Λu)a都是平行向量，它们的指向相同，且a(ua)H(aa)H(u)aμla，所以结合律成立.(ii）对于数乘运算满足的分配律，也可以用数与向量的乘法运算规定来证明，这里从略由于向量满足交换律和结合律，因此向量a,a,,a,（n≥3)相加可写成a,+a,+.+a，并按向量相加的三角形法则，可得它们的加法法则：使前一向量的终点作为下一个向量的起点，相继作向量a.a,，",a,(n≥3)，再以第一向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一个向量，这个向量即为所求的和.如图6-14所示，3=+a,+a,+a,+a,图6-14图6-15例1在平行四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，试用，B表示向量MA、MB、MC、MD，其中M是平行四边形对角线的交点.解按要求作平行四边形ABCD，如图6-15所示。根据平行四边形的对角线互相平分，得a+b=AC=2AM，即-(a+b)=2MA，于是MA=-(a+b)/2.因为MC=-AM，所以MC=(a+b)/2.又因为-a+b=BD=2MD，所以MD=(6-a)/2由于MB=-MD，所以MB=(a-b)/2前面已经讲过，模等于1的向量叫做单位向量，现在设a为非零向量，令向量é=a，由数与向量的乘法运算规定可知，向量与向量方向相同，且leHa/lal=la/a=l,即向量e是单位向量，因此，称向量e=aa为与a同向的单位向量，由此可将向量a用同向的单位向量e可表示为a=ae。且e与-é是与a平行的两个单位向量由于向量a与a平行，因此我们常用数与向量的乘积来说明向量的平行关系，即有定理设a为非零向量，则blla的充分必要条件是存在唯一的实数k，使b=ka，证明条件的充分性是显然的，下面证明必要性设blla，取=b/a，当b与a同向时，取

第一节 向量及其线性运算 177 a b AB BC AC c Æ + = + = = r uuur uuur uuur r ，b a BC CD BD c Æ + = + = = r uuur uuur uuur r ． 所以交换律成立． (ii) 对于向量加法运算满足的结合律，由如图 6­13 所示，先作 a b Æ + r ，再加上c  r ，即 (a + b ) + c = (AB + BC) +CD = AD r uuur uuur uuur uuur r r ． 先作 aÆ ，再加上b + c r r ，即 a + (b + c) = AB + (BC + CD) = AB + BD = AD r uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r ． 所以结合律成立． 图 6­12  图 6­13  对于数乘运算满足的结合律，由数与向量的乘法运算规定，向量l(m a) r 、m(l a) r 、(lm )a r 都是平行 向量，它们的指向相同，且| l(m a) |=| m(l a) |=| (lm)a |=| lm | × | a | r r r r ，所以结合律成立． (iii)  对于数乘运算满足的分配律，也可以用数与向量的乘法运算规定来证明，这里从略． 由于向量满足交换律和结合律，因此向量 1 2  , ( 3) n  a ,a ×××, a n ³ r r r 相加可写成 1 2 n  a + a + ×××+ a r r r ，并按向量 相加的三角形法则，可得它们的加法法则：使前一向量的终点作为下一个向量的起点，相继作向量 1 2  , ( 3) n  a ,a ×××, a n ³ r r r ，再以第一向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一个向量，这个向量即 为所求的和．如图 6­14 所示， 1 2 3 4 5 s = a + a + a + a + a r r r r r r ． 图 6­14  图 6­15  例 1  在平行四边形 ABCD 中，设 AB = a uuur r ， AD = b uuuv r ，试用 aÆ ， bÆ 表示向量MA  uuuv 、MB  uuuv 、MC  uuuv 、 MD uuuv ， 其中M 是平行四边形对角线的交点． 解 按要求作平行四边形 ABCD ，如图 6­15 所示．根据平行四边形的对角线互相平分，得 a b AC 2AM Æ + = = r uuuv uuuv ，即 (a b) 2MA Æ - + = r uuuv ，于是MA (a b) 2 Æ = - + uuuv r ．因为MC = -AM uuuv uuur ，所以MC (a b) 2 Æ = + uuuv r ．又 因为 a b BD 2MD Æ - + = = r uuuv uuuv ，所以 MD (b a) 2 Æ = - uuuv r ．由于MB = -MD uuuv uuuv ，所以MB (a b ) 2 Æ = - uuuv r ． 前面已经讲过，模等于 1 的向量叫做单位向量．现在设 a r 为非零向量，令向量e = a | a | r r r ，由数与 向量的乘法运算规定可知，向量e  r 与向量 a r 方向相同，且 | e |=| a | a | |= | a | | a | = 1 r r r r r ， 即向量e  r 是单位向量．因此，称向量e = a | a | r r r 为与 a r 同向的单位向量． 由此可将向量a r 用同向的单位向量e  r 可表示为a = | a | e r r r ．且e  r 与 -e r 是与a r 平行的两个单位向量． 由于向量a r 与la r 平行，因此我们常用数与向量的乘积来说明向量的平行关系．即有 定理 设a r 为非零向量，则b //a r r 的充分必要条件是存在唯一的实数k ，使b = k a r r ． 证明 条件的充分性是显然的，下面证明必要性．设b //a r r ，取| l |= | b | | a | r r ，当b r 与 a r 同向时，l 取

178第6向量代数与空间解析几何正值，当与a反向时，取负值，即有=，这是因为此时与a同向，且aa再证明数的唯一性。设=a，又设=a，两式相减，便得(-)a-，即-lo因，故，即=定理是建立数轴的理论依据.我们知道，给定一个点、一个方向和长度单位，就确定了一条数轴.由于一个单位向量既确定了方向又确定了单位长度，因此，给定一个点和一个单位向量就确定了一条数轴.设点0及单位向量确定了数轴Ox(图6-16)，对于轴上任意一点P，对应一个向量OP，由于OPIli，根据定理1，必有唯一的实数x，使得OP=xi，并且OP与实数x一一对应.于是点P向量OP=xi实数x，从而轴上的点P与实数x一一对应.据此，定义实数x为轴上点P的坐标.由此可知，轴上点P的坐标为x的充分必要条件是OP=x7.Y40PxI图6-16四、利用坐标作向量的线性运算1.向量的坐标表示上面我们是用几何方法讨论了向量的线性运算，这个方法虽然较直观，但计算不方便，而且有些问题仅靠几何方法是很难解决的。现在我们来引进向量的坐标表示，用代数方法讨论向量的线性运算，在空间直角坐标系OxVz中，我们称与x轴、v轴、=轴正向同向的单位向量为基本单位向量，依次记为7.7k.而向量7=OM称为点M关于原点O的向径(图6-17(a)。任给向径产，有对应点M，使得OM=F，以OM为对角线、三个坐标轴为邻边作一个长方体，依次交于P,Q,R点（图6-17(b))，根据向量的加法，则向径可表示为F=OM=OP+PM'+MM=OP+OR+OQ=OP+OQ+OR4+1(b)(a)图6-17由定理知，向量OP、O、OR可用基本单位向量表示为OP=xi，OQ=y］，OR==k，所以，向径可进一步表示为P-OM- xi+yj+-k.上式称为向径OM的分解式，xi,yj=k称为向径OM沿三个坐标轴方向的分向量.显然，给定了点M，就确定了向径产=OM，也就确定了OP，OQ,OR三个分向量，进而确定了x、y、2三个有序数；反之，给定三个有序数x,y,=也就确定了向径=OM与点M.于是点M、向径OM与三个有序x,J,=之间有一一对应的关系MAr=OM=x7+yj+=kα(x, y,=).有序数x,y,=称为向径=OM的坐标，记作F=OM=(x,y,)，并称该式为向径=OM的坐标表示式定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标.记号（x，y,2)既表示点M，又表示向径OM．显

178 第 6 向量代数与空间解析几何 正值, 当b r 与 a r 反向时，l 取负值，即有b =la r r ．这是因为此时b r 与la r 同向，且| la |=| l || a |=| b | r r r ． 再证明数l 的唯一性．设b = l a r r ，又设b = m a r r ，两式相减，便得(l - m)a = 0 r r ，即| l - m || a |= 0 r |， 因| a |¹ 0 r ，故| l - m |= 0，即l = m ． 定理是建立数轴的理论依据． 我们知道， 给定一个点、 一个方向和长度单位， 就确定了一条数轴． 由 于一个单位向量既确定了方向又确定了单位长度．因此，给定一个点和一个单位向量就确定了一条数 轴． 设点O 及单位向量ir 确定了数轴Ox (图 6­16)， 对于轴上任意一点 P ， 对应一个向量OP  uuur ， 由于OP// i uuur r ， 根据定理 1，必有唯一的实数 x ，使得OP = x i uuur r ，并且OP  uuur 与实数 x 一一对应．于是 点 P ´向量OP = x i uuur r ´实数 x ， 从而轴上的点 P 与实数 x 一一对应．据此，定义实数 x 为轴上点 P 的坐标．由此可知，轴上点 P 的坐 标为 x 的充分必要条件是OP = x i uuur r ． 图 6­16  四、利用坐标作向量的线性运算 1.  向量的坐标表示 上面我们是用几何方法讨论了向量的线性运算，这个方法虽然较直观，但计算不方便，而且有些 问题仅靠几何方法是很难解决的．现在我们来引进向量的坐标表示，用代数方法讨论向量的线性运算． 在空间直角坐标系Oxyz 中，我们称与 x 轴、 y 轴、 z 轴正向同向的单位向量为基本单位向量，依 次记为i , j, k  r r r ．而向量r = OM uuur r 称为点M 关于原点O 的向径(图 6­17(a))． 任给向径r r ，有对应点M ，使得OM = r uuur r ，以OM 为对角线、三个坐标轴为邻边作一个长方体，依 次交于 P,Q, R 点(图 6­17(b))，根据向量的加法，则向径可表示为 r = OM = OP + PM ¢ + M ¢ M uuur uuur uuuur uuuur r = OP + OR + OQ = OP + OQ + OR uuur uuur uuur uuur uuur uuur ． 图 6­17  由定理知，向量OP  uuur 、OQ uuur 、OR  uuur 可用基本单位向量表示为OP = x i uuur r ， OQ = y j uuur r ，OR = z k uuur r ，所以，向 径可进一步表示为 r = OM = x i + y j + z k uuur r r r r ． 上式称为向径OM  uuur 的分解式， x i , y j,z k  r r r 称为向径OM  uuur 沿三个坐标轴方向的分向量． 显然，给定了点M ，就确定了向径r = OM uuur r ，也就确定了OP,OQ,OR  uuur uuur uuur 三个分向量， 进而确定了 x 、 y 、z 三个有序数；反之，给定三个有序数 x, y,z 也就确定了向径r = OM uuur r 与点M ．于是点M 、向径OM  uuur 与三个有序 x, y,z 之间有一一对应的关系 M ´ r = OM = x i + y j + z k ´ (x, y, z) uuur r r r r ． 有序数 x, y,z 称为向径r = OM uuur r 的坐标，记作r = OM = (x, y, z) uuur r ，并称该式为向径r = OM uuur r 的坐标表示式． 定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标．记号(x, y, z) 既表示点M ，又表示向径OM  uuuv ．显

第一节向量及其线性运算179然，基本单位向量的坐标表示式是7=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)，零向量的坐标表示式为0=(0,0,0).2.向量线性运算的坐标表示设两个向量的坐标表示式分别为a=(a,,a,a.)，b=(b,b,b.)，则a+b=(a,+br,a,+by,a.+b.),a-b=(a-br,a,-by,a.-b.),aa=(aar,ay,na.).由此可见，对向量进行加、减及数乘运算，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。利用向量的坐标表示，容易得到：向量a=(ax,a,a.）与b=(b,b,,b.）相等的充分必要条件是它们对应的坐标分别相等，即a=ba,=b,，a,=b,，a,=b..利用向量的坐标表示，我们也可以得到：向量b=(bb,,b.）与非零向量a=(ax,a,,a.）平行的充分必要条件是它们对应的坐标成比例，即ba-h-_axa,a.事实上，由本节定理知，当a+0时，b//ab=a(b,b,b.)=(ar,aya,)(b,b,b)=(ar,a,,a,)- b,=ia,b,=a,b=ia, -b--b-b,araa.注意当a,4,a,至少有一个为零时，如只有α,=0时，比例式应理解为b,=0,≤=.只有aya.a,=a,=0时，比例式应理解为b,=0,b,=0..例2已知两点M,(x,J,=)和M(x,J2,=2)，求M,M,在三个坐标轴上的投影及分解表达式.解如图6-18所示，由两点M和M,确定的向量M,M，可表示为向径OM，与OM之差，即M,M, =OM,-OM,=(x, -X,J2 -J,22 -=)于是M,M，的分解表达式为M,M, =(x2 -x)7 +(y2 -Ji)+(=2 -2)h/x图6-18图6-19例3已知两点A(x,J,=)和B(x,J2,=)以及实数入1，在直线AB上求一点M，使AM=aMB.解如图6-19所示，由于AM-OM-OA，MB-OB-OM，因此OM-OA=a(OB-OM)，从而（+++）1OM-(OA + 1OB) =1+元（1+元1+元1+这就是点M的坐标点M叫做有向线段AB的定比分点.当=1，点M的有向线段AB的中点，其坐标为X=3+x-y+y2，==3+22=222

第一节 向量及其线性运算 179 然，基本单位向量的坐标表示式是i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) r r r ，零向量的坐标表示式为0 = (0,0,0) r ． 2.  向量线性运算的坐标表示 设两个向量的坐标表示式分别为 ( , , ) x y z a = a a a r ， ( , , ) x y z b = b b b r ，则 ( , , ) x x y y z z a + b = a + b a + b a + b r r ， ( , , ) x x y y z z a - b = a - b a - b a -b r r ， ( , , ) x y z la = la la la r ． 由此可见，对向量进行加、减及数乘运算，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了． 利用向量的坐标表示，容易得到：向量 ( , , ) x y z a = a a a r 与 ( , , ) x y z b = b b b r 相等的充分必要条件是它们对 应的坐标分别相等，即a = b ¤ r r x x a = b ， y y a = b ， z z a = b ． 利用向量的坐标表示，我们也可以得到：向量 ( , , ) x y z b = b b b r 与非零向量 ( , , ) x y z a = a a a r 平行的充分必 要条件是它们对应的坐标成比例，即 b || a ¤ r r x y z x y z b b b a a a = = ． 事实上，由本节定理知，当a ¹ 0 r r 时， b || a r r ¤ b = la r r ¤ ( , , ) ( , , ) x y z x y z b b b = l a a a ¤ ( , , ) ( , , ) x y z x y z b b b = la la la ¤ , , x x y y z z b = la b = la b = la ¤ x y z x y z b b b a a a = = ． 注意 当 , , x y z a a a 至少有一个为零时，如只有 0 x a = 时，比例式应理解为 0, . y z x y z b b b a a = = 只有 0 x y a = a = 时，比例式应理解为 0, 0. x y b = b = ． 例 2  已知两点 1 1 1 1  M (x , y ,z ) 和 2 2 2 2  M (x , y ,z ) ，求 M1M 2 uuuuuuv 在三个坐标轴上的投影及分解表达式． 解 如图 6­18 所示，由两点M 1和 M 2确定的向量M1M 2 uuuuuuv 可表示为向径OM 2 uuuur 与OM 1 uuuur 之差，即 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1  M M = OM - OM = (x - x , y - y ,z - z ) uuuuuuv uuuur uuuur ． 于是M1M 2 uuuuuuv 的分解表达式为 1 2 2 1 2 1 2 1  M M = (x - x )i + ( y - y ) j + (z - z )k uuuuuuv r r r ． 图 6­18  图 6­19  例 3  已知两点 1 1 1  A(x , y ,z ) 和 2 2 2  B(x , y ,z ) 以及实数l ¹ 1 ，在直线 AB 上求一点M ，使 AM = lMB uuur uuur ． 解 如图 6­19 所示，由于 AM = OM -OA uuur uuur uur ， MB = OB - OM uuur uuur uuur ，因此OM - OA = l(OB - OM ) uuur uur uuur uuur ．从而 1 ( ) 1 OM OA lOB l = + + uuur uur uuur 1 2 1 2 1 2  , ,  1 1 1 x lx x lx x lx l l l Ê + + + ˆ = Á ˜ Ë + + + ¯ ， 这就是点M 的坐标． 点 M 叫做有向线段 AB uuur 的定比分点．当l = 1，点 M 的有向线段 AB uuur 的中点，其坐标为 1 2  2 x x  x + = ， 1 2  2 y y  y + = ， 1 2  2 z z  z + = ．

180第6向量代数与空间解析几何[5x-3y=a[3x-2 -。 其中 -(2,1,2), (-1, -2),.例4求解以向量为未知元的线性方程组解解方程组，可得x=2a-3b，J=3a-5b.以a，b的坐标表示式代入，即得x = 2(2,1, 2)3(-1,1,-2)=(7,1,10) , y = 3(2, 1, 2)5(-1,1, 2) =(11, 2, 16) .五、向量的模、方向角、投影1.向量的模设向量a=(x,=)，作OM=a，图6-17(b)，则a=OM=OP+O+OR，按勾股定理可得IaHOMFyOPP+OOP+ORP由OP=xi,O0=yOR==，有OPHxOHyORHz，于是得向量模的坐标表示式为[a=/x2 +y2 +22.由此，可得到空间中点M(,1,2)到点M(r,J2,22)的距离公式为d=M,M,F /(x -x)+(y, -) +( -z).例5已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3)，求与AB方向相同的单位向量解因为AB=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2)，1AB/32 +1 +(-2)=V14。所以3(3,1, -2) ([ABV14例6求证以M,(4,3,1)、M,(7,1,2)、M,(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形解因为[M,M, I= (7- 4) +(1-3) +(2 -1)2 = 14 ,M,M, F= (5 - 7) +(2-1) + (3- 2)° = 6 ,IM,M, P=(5-4) +(2-3) +(3-1) = 6 所以M,M,I=MMI，即MM,M,为等腰三角形例7在=轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点解设所求的点为M(O,0,)，依题意有|MA=IMB，即(0 + 4)2 +(0 -1)2 +(z- 7)2 = (0- 3)2 +(0 -5) +(=+2),解之得z=14/9，所以，所求的点为M(0,0,14/9)，2.方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角α、β、称为向量的方向角（图6-2O)，cosα,cosβcos称为向量a的方向余弦，其中0≤α≤元，0≤β≤元、0≤≤元.如图6-20，设非零向量=OM=（xy,2），由于x是有向线段OP的值，又MP1OP，则JOPI-xxcosα[OM17x+y+2?类似地可知，ycosβ=cOsyF+y+2[ /x?+y2+22

180 第 6 向量代数与空间解析几何 例 4  求解以向量为未知元的线性方程组 5 3 3 2 x y a x y b Ï Ô - = Ì Ô Ó - = r r ，其中a = (2, 1, 2) r ，b = (-1,1, - 2) r ． 解 解方程组，可得 x = 2 a - 3b r r ， y = 3a - 5b r r ．以a r ， b r 的坐标表示式代入， 即得 x = 2(2, 1, 2) - 3(-1,1,-2) = (7,- 1,10) ， y = 3(2, 1, 2) -5(-1,1, - 2) = (11, - 2 , 16) ． 五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模 设向量a = (x, y, z) r ，作OM = a uuur r ，图 6­17(b)，则a = OM = OP + OQ + OR uuur uuur uuur uuur r ，按勾股定理可得 2 2 2 | a |=| OM |= | OP | + | OQ | + | OR | uuur uuur uuur uuur r ， 由OP = x i , OQ = y j,OR = z k uuur r uuur r uuur r ，有| OP |=| x |,| OQ |=| y |,| OR |=| z | uuur uuur uuur ，于是得向量模的坐标表示式为 2 2 2  | a |= x + y + z r ． 由此，可得到空间中点 1 1 1 1  M (x , y ,z ) 到点 2 2 2 2  M (x , y ,z ) 的距离公式为 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 d =| M M |= (x - x ) + (y - y ) + (z - z ) uuuuuur ． 例 5  已知两点 A(4, 0, 5)和 B(7, 1, 3) ，求与 AB uuur 方向相同的单位向量e  r ． 解 因为 AB = (7, 1, 3) - (4, 0, 5) = (3,1, -2) uuur ， 2 2 2  | AB |= 3 +1 + (-2) = 14 uuur ．所以 1 (3,1, 2) | | 14 AB  e  AB = = - uuur r uuur ． 例 6  求证以 1  M  (4, 3, 1)、 2  M  (7, 1, 2) 、 3  M  (5, 2, 3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形． 解 因为 2 2 2 2  1 2  | M M | = (7 - 4) + (1- 3) + (2 -1) = 14 ， 2 2 2 2  2 3  | M M | = (5 - 7) + (2 -1) + (3- 2) = 6 ， 2 2 2 2  1 3  | M M | = (5 - 4) + (2 - 3) + (3 -1) = 6 ． 所以 2 3 1 3  | M M |= | M M | ，即 M1M2M 3为等腰三角形． 例 7 在 z 轴上求与两点 A(- 4, 1, 7) 和 B(3, 5, - 2) 等距离的点． 解 设所求的点为M (0,0,z) ，依题意有 2 2  | MA | =| MB | ，即 2 2 2 2 2 2  (0 + 4) + (0 -1) + (z - 7) = (0 - 3) + (0 - 5) + (z + 2) ． 解之得 z = 14 9 ，所以，所求的点为M (0, 0,14 9) ． 2.方向角 非零向量r r 与三条坐标轴的正向的夹角a 、b 、g 称为向量r r 的方向角 （图 6­20） ，cosa, cos b, cos g 称为向量a r 的方向余弦，其中0 £ a £ p ，0 £ b £ p 、0 £ g £ p ． 如图 6­20，设非零向量r = OM = (x, y,z) uuur r ，由于 x 是有向线段OP  uuur 的值，又MP ^ OP ，则 2 2 2  | |  cos | |  | | OP x x  OM  r  x y z a = = = + + uuur uuur r ． 类似地可知， 2 2 2  cos | | y y  r  x y z b = = + + r ， 2 2 2  cos | | z z  r  x y z g = = + + r ．

181第一节向量及其线性运算Z图6-20上述方向余弦的计算公式表明，非零向量的方向余弦cosα,cosβ,cos依次是的对应坐标与其模的比值．因此，我们有产(xyz-e(cosα,cos,cos)=(x,y,=)(该式进一步表明，以非零向量产的方向余弦为坐标的向量(cosα,cosβ,cos")就是与r同方向的单位向量é，所以cos?α+cosβ+cos"=1,即任意非零向量的方向余弦的平方和等于1例8设已知两点A(2,2,V2)和B(1,3,0)，计算向量AB的模、方向余弦和方向角解因为AB=(1.3.0)-(2.2.V2)=(1-2.3-2,0-V2)=(-1.1.-V2)，从而向量AB的模为[AB (-1) +1 +(-/2) = 2 .所以向量AB的方向余弦为cOsα=-1/2,cosβ=1/2，cos=-V2/2故向量AB的方向角为α=2元3，β=元3，=3元4.例9如果某向量的方向余弦分别满足下列条件，问该向量与坐标轴或坐标面的关系如何？(1)cosα=0;(2)cosβ=l;(3) cosα=cosβ=0.解（1）cosα=0，该向量与x轴夹角为元/2，即与x轴垂直，平行于yOz平面；（2）cosβ=1，该向量与y轴夹角为0，即与y轴平行，且方向与y轴正向一致，垂直于xOz平面；（3）cosα=cosβ=0，该向量与x轴夹角为元/2，与y轴夹角为元/2，即平行于=轴，垂直于xOz平面.3.向量在轴上的投影在图6-20中，如果撒开y轴和=轴，单独考虑x轴与向量产=OM的关系，那么过点M作垂直与x轴的平面，该平面与x轴的交点为P点，OP就是向量=OM在x轴上的分量，进而由OP=xi，便得向量=OM在x轴上的坐标x，且x=cosα一般地，设点O及单位向量e确定u轴（图6-21)，任给向量，作OM=7，再过点M作垂直与u轴的平面，该平面与u轴的交点为M'（点M'叫做点M在u轴上的投影）.则向量OM称为向量在u轴上的分量。设OM=ae，则数叫做向量在u轴上的投影，记作PrjF或(r)

第一节 向量及其线性运算 181 图 6­20  上述方向余弦的计算公式表明， 非零向量r r 的方向余弦cosa, cos b, cos g 依次是r r 的对应坐标与其模 的比值．因此，我们有 1 (cos , cos , cos ) , , ( , , ) | | | | | | | | | | x y z r  x y z e  r r r r r a b g Ê ˆ = Á ˜ = = = Ë ¯ r r r r r r r ． 该式进一步表明，以非零向量r r 的方向余弦为坐标的向量(cosa,cosb,cosg ) 就是与r r 同方向的单位向量 e  r ，所以 2 2 2  cos a + cos b + cos g = 1 ， 即任意非零向量的方向余弦的平方和等于 1． 例 8  设已知两点 A (2, 2, 2) 和 B(1, 3, 0)，计算向量 AB uuur 的模、方向余弦和方向角． 解 因为 AB = (1, 3, 0) - (2, 2, 2) = (1- 2 , 3- 2 , 0 - 2) = (-1 ,1, - 2) uuur ，从而向量 AB uuur 的模为 2 2 2 | AB |= (-1) +1 + (- 2) = 2 uuur ． 所以向量 AB uuur 的方向余弦为 cosa = - 1 2，cos b = 1 2 ，cos g = - 2 2 ． 故向量 AB uuur 的方向角为a = 2p 3 ， b = p 3，g = 3p 4 ． 例 9  如果某向量的方向余弦分别满足下列条件，问该向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ （1）cosa = 0 ； （2）cos b = 1； （3）cosa = cos b = 0 ． 解 （1）cosa = 0 ，该向量与 x 轴夹角为p 2，即与 x 轴垂直，平行于 yOz 平面； （2）cos b = 1，该向量与 y 轴夹角为0 ，即与 y 轴平行，且方向与 y 轴正向一致，垂直于 xOz 平 面； （3）cosa = cos b = 0 ，该向量与 x 轴夹角为p 2，与 y 轴夹角为p 2，即平行于 z 轴，垂直于 xOz  平面． 3.  向量在轴上的投影 在图 6­20 中，如果撇开 y 轴和 z 轴，单独考虑 x 轴与向量r = OM uuur r 的关系，那么过点M 作垂直与 x 轴的平面，该平面与 x 轴的交点为 P 点，OP  uuur 就是向量r = OM uuur r 在 x 轴上的分量，进而由OP = xi uuur r ，便得 向量r = OM uuur r 在 x 轴上的坐标 x ，且 x =| r | cosa r ． 一般地，设点O 及单位向量e  r 确定u 轴（图 6­21） ，任给向量r r ，作OM = r uuur r ，再过点M 作垂直与u  轴的平面，该平面与u 轴的交点为M ¢(点M ¢叫做点 M 在u 轴上的投影)．则向量OM ¢ uuuur 称为向量r r 在u 轴 上的分量．设OM ¢ = le uuuur r ，则数l 叫做向量r r 在u 轴上的投影，记作 P u  rj rr 或( ) u  rr ．

182第6向量代数与空间解析几何图6-21按这个定义，直角坐标系Oxyz中的向量a=(a,a,a.)在三条坐标轴上的投影为Prj,a=a,Prj,a=a,,Prja=a,.或记作(a)，=a,，(a),=a,，(a)。=a：由此可见，向量的投影具有与坐标相同的性质：性质1Prj.a=lalcosp，其中β是向量a与u轴的夹角，性质2Prj, (a+b)=Prj.a+Prib.性质3Pri.(aa)=Prj,a

182 第 6 向量代数与空间解析几何 图 6­21  按这个定义，直角坐标系Oxyz 中的向量 ( , , ) x y z a = a a a r 在三条坐标轴上的投影为 Pr x x j a = a r ， Pr y y j a = a r ， Pr z z j a = a r ． 或记作( ) x x a = a r ，( ) y y a = a r ，( ) z z a = a r ．由此可见，向量的投影具有与坐标相同的性质： 性质 1 P u  rj a = r | a | cosj r ，其中j 是向量a r 与u 轴的夹角． 性质 2 ( ) Pr u u u  j a + b = Prj a + Prj b r r r r ． 性质 3 ( ) P u u  rj l a = lPrj a r r ．