《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第1章 函数、极限与连续 第三节 函数极限

第三节函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限一、二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质

二、自变量趋向有限值时函数的极限 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 三、函数极限的性质 第三节 函数的极限

、自变量趋于无穷大时函数的极限、1.x→80时的函数f(x）的极限定义设函数fx）当xl大于某一正数时有定义若存在常数A，对于任意给定正数℃（不论它多么小）总存在一个正数X，使得当x满足不等式|x>X时对应的函数值f（x）都满足不等式If(x)-A8)lim f(x) = A,X-→00上页目录下页返回结束机动

一、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义 设函数 f x( ) 当 | | x 大于某一正数时有定义. 对于任意给定正数 ε | ( ) | x X 时， 对应的函数值 f x( ) 都满足不等式 或 f x A x ( ) ( ) → →  . 1. x →  时的函数 f x( ) 的极限

注意：定义中的&刻划f(x)与常数A的接近程度X刻划1xI充分大的程度，c是任意给定的，X是随ε而确定的x一>8时函数f(x）的极限定义的几何意义：作直线=A-ε和=A+8，则总有一个正数X存在，使得当xX 时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间A+8y=f(x)x0XX上页目录下页返回结束机动

y f x = ( ) 注意： 定义中的 ε 刻划 f x( ) 与常数 A 的接近程度， ε 是任意给定的， X 是随 ε 而 x →  时函数 f x( ) 的极限定义的几何意义： 作直线 y A = − ε 和 y A = + ε, 使得当 x X X 时， 函数 y = f x( ) 的 X 刻划 | | x 充分大的程度， 确定的. 存在， 图形位于这两条直线之间. 则总有一个正数 X O x y −X X A + ε A − ε A

2. x>+8 E时的函数f（x）的极限定义设函数f(x）当x大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意给定正数&（不论它多么小），总存在一个正数X，使得当x满足不等式x>X时，对应的函数值（）都满足不等式1f(x)-A+oo时的极限lim f(x)=A, 或 f(x)→A (x→+o0)记作X→+80上页目录下页返回结束机动

定义 设函数 f x( ) 当 x 大于某一正数时有定义. 对于任意给定正数 ε | ( ) | X 时， 对应的函数值 f x( ) 都满足不等式 2. x → + 时的函数 f x( ) 的极限 或 f x A x ( ) ( ) → → +

3.x→>= 时的函数 f()的极限定义设函数(x）当x大于某一负数时有定义，若存在常数A，对于任意给定正数ε（不论它多么小）总存在一个正数X，使得当x满足不等式x<-X时，对应的函数值直f（x）都满足不等式1f()-A<8,则常数A就叫做函数f(x)当x一→-8时的极限lim f(x)=A, 或 f(x)→A (x→-o0)记作X→-00上页目录下页返回结束机动

定义 设函数 f x( ) 当 x 大于某一负数时有定义. 对于任意给定正数 ε | ( ) |< , f x A− ε 则常数 A 就叫做函数 f x( ) 当 x → − 时的极限， 记作 − lim ( ) = , x→  f x A 总存在一个正数 X 若存在常数 A (不论它多么小)， 使得当 x 满足不等式 x X < − 时， 对应的函数值 f x( ) 都满足不等式 3. x → − 时的函数 f x( ) 的极限 或 f x A x ( ) ( ) → → −

lim例1用定义证明解答过程x→0 x例2证明lim解答过程A-→+上页结束机动目录下页返回

例1 用定义证明 1 lim = 0. x→ x 例2 证明       + 1 lim = 0. →  2 x x

、自变量趋向有限值时函数的极限1.x→x 时的函数 f(x）的极限定义设函数f(x）在。的某去心邻域内有定义，若存在常数A，对任意给定正数ε，总存在正数8,使得当x满足不等式0<x-x<时，对应的函数值f(x）都满足不等式If(x)-A<8,那么常数A就叫做函数f(当xX时的极限记作lim f(x)=A, 或 f(x)-→A (x-→x)X-XO上页目录下页返回结束机动

二、自变量趋向有限值时函数的极限 1. → 0 x x 时的函数 f x( ) 的极限 定义 设函数 f x( ) 在 0 x 的某去心邻域内有定义， 若存在常数 A 对任意给定正数 ε, 总存在正数 使得当 x 满足不等式 0 <| |< x x − 0 δ 时，对应的函数 | ( ) |< f x A− ε, 那么常数 A 就叫做函数 f x( ) 当 x x → 0 时的极限， 记作 δ, 0 lim = ( ) , x x → f x A 或 . 0 f x A x x ( ) ( ) → → 值 f x( ) 都满足不等式

注意：定义中的①ε刻划f(x)与常数A 的接近程度，刻划 x与x的接近程度，ε是任意给定的，是随 8而确定的① 0x-xol表示xxo.而0x-x表示x的去心邻域当 x→x 时f(x)有无极限，与f(x)在xo是否有定义并无关系目录上页下页返回结束机动

注意：  ε 刻划 f x( ) 与常数 A 的接近程度， δ 刻划 x ε 是任意给定的，  − 0 0 <| | x x 表示 0 x x  . 与 f x( ) 在 0  当 x → 0 x x 时 f x( ) 有无极限， δ 是 随 ε 而 定义中的 与 0 x 的接近程度， 确定的. − 0 而 0 <| |< x x δ 表示 0 x 的 δ 去心邻域. 是否有定义并无关系

x→x。时函数f(x)的极限定义的几何意义：对任意给定的正数，作平行于x轴的两条直线y=f(m)VEA-8, VEA+8,A+3介于这两条直线之间是一AA-8横条区域．存在点X。的一x-8xx+ox个8 邻域 (xo-8,x。 +),当J=（x）图形上点的横坐标 xe(xo-0,x+o), f(x) 满足但x≠X时，这些点的纵坐标A-8<≤f(x)≤A+8上页目录下页返回结束机动

y A = , − ε y A = + , ε 介于这两条直线之间是一 A− ε < ( ) < + f x A ε. x x ( , + 0 0 − δ x δ), 这些点的纵坐标 f x( ) 满足 当 y f x = ( ) 图形上点的横坐标  0 但 x x 时， A − ε A + ε A 0 O x − δ x0 x0 + δ x y y f x = ( ) x x → 0 时函数 f x( ) 的极限定义的几何意义： 对任意给定的正数 ε, 作平行于 x 轴的两条直线 横条区域. 个 δ 邻域 ( , ) x0 0 − δ x + δ , 存在点 0 x 的一

limC=C,此处 C 为常数例3证明解答过程x-→X0lim x= xo.例4利用定义证明解答过程→X0例5lim(2x -1)=1.证明解答过程x-1例6lim利用定义证明解答过程x±2X--2例7证明：当x>0 时，lim √x=/x解答过程X→X0目录上页下页返回结束机动

例5 证明 − 1 lim(2 1) = 1. x→ x 例4 利用定义证明 0 0 l m = i . x x → x x 例6 利用定义证明 − − − 2 2 4 lim = 4. x→ + 2 x x 例7 证明：当 x0   时， 0 0 lim = . x x → x x 例3 证明 0 lim = , x x → C C 此处 C 为常数