《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第4章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质

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第4章 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质

原函数与不定积分的概念引例：一个质量为m的质点，在变力F=Asint的作下沿直线运动，试求质点的运动速度vt）F-A根据牛顿第二定律，加速度a(t)====sintmm因此问题转化为: 已知 v(t)==sint,求 v(t)=?m定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足 F'(x)= f(x) 或 dF(x)= f(x)dx,则称 F (μ) 为f(x)在区间1上的一个原函数A-如引例中sint的原函数有cost+3,...costmmm上页目录返回结束机动下页

一、 原函数与不定积分的概念 引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动 , 因此问题转化为: 已知 ( ) sin t , m A v  t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律, 加速度 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A

问题：1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？2.若原函数存在，它如何表示？若函数f(x）在区间I上连续，则f(x）在I上定理1.（下章证明）存在原函数初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数目录上页下页返回结束机动

问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数

定理2.若F(x）是f(x）的一个原函数，则f(x）的所有原函数都在函数族F（x）+C（C为任意常数）内证: 1) : (F(x)+C)'= F'(x) = f(x)..F(x）+C是f(x）的原函数2）设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即Φ'(x)= f(x)F'(x)= f(x)又知[Φ(x)- F(x))'= Φ'(x)- F'(x) = f(x)- f(x)= 0故Φ(x)= F(x)+Co(Co为某个常数）即 Φ(x)= F(x)+ Co属于函数族 F(x)+C 目录上页下页返回结束机动

定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知  [ ( x) − F ( x)] =  ( x) − F ( x) = f ( x) − f ( x) = 0 故 0 ( x) = F ( x) + C ( ) C0 为某个常数 即 0 ( x) = F ( x) + C 属于函数族 F ( x) + C . 即

定义2.f(x）)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I记作「(x)dx，其中上的不定积分，f(x)一被积函数;「一积分号;x一积分变量；f(x)dx一被积表达式若F(x)= f(x),则[ f(x)dx=F(x)+C_（C为任意常数)[e"dx= e" +C例如，C称为积分常数不可丢！[x’dx= 1x3 +Csin xdx = - cos x +目录上页下页返回结束机动

定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, =  e x x d e C x + =  x dx 2 x + C 3 3 1 =  sin xdx − cos x + C 记作

不定积分的几何意义f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线[f(x)dx 的图形f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族XXo目录上页下页返回结束机动

不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 f (x) dx  的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y o x0 x 的积分曲线

例1.设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程解：： y'=2xy=[2xdx =x? +C(1, 2)所求曲线过点（1，2），故有2 =12 +CxC=1因此所求曲线为y=x~+1目录上页下页返回结束机动

例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 1 2 y = x + y o x (1, 2)

例2.质点在距地面xo处以初速垂直上抛，不计阻Vo力，求它的运动规律解：取质点运动轨迹为坐标轴原点在地面，指向朝上菜质点抛出时刻为t=0，此时质点位置为勺xo，初速为Vo·设时刻t质点所在位置为x=x(t)，则xdx（运动速度）=v(t)x=x(t)dtx(t)再由此求d? xdy Xo = x(0)(加速度）-gdtd t?先由此求 v(t)目录上页下页返回结束机动

o x 例2. 质点在距地面 处以初速 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , (0) 0 x = x x = x(t) 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 ( ) d d v t t x = (运动速度) t v t x d d d d 2 2 = = −g (加速度) 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 v(t) 再由此求 x(t)

dy先求v(t).由=-g, 知xtdtx= x(t)v(t)= J(-g)dt = -gt +Ci由 v(O)= Vo, 得 Ci= Vo,故xo = x(0)v(t)=-gt +vodx再求 x(t).由-gt+vo，知dtx(t) = f(-gt+vo)dt = -#gt? + vVot+C2由 x(0)= xo，得 C2= xo，于是所求运动规律为x(t) = -1gt? + vot + Xo目录上页下页返回结束机动

先求 由 知 v(t) = ( − g ) d t  C1 = −g t + (0) , 0 由 v = v , 1 0 得 C = v 0 v(t) = −g t + v 再求 x(t) ( t v )d t =  − + 0 g 0 2 2 2 1 = − g t + v t + C (0) , 0 由 x = x , 2 0 得 C = x 于是所求运动规律为 0 0 2 2 1 x(t) = − g t + v t + x 由 知 故 o x (0) 0 x = x x = x(t)

从不定积分定义可知d[[ (x)dx]= f(x) 或d[[ f(x)dx ]= f(x)dxdx(2) {F(x)dx=F(x)+C 或 [d F(x)= F(x)+C利用逆向思维二、基本积分表（P186)（k为常数）1）kdx = kx+C1r+1(μ±-1)+C(2)『x"dx=南x<0时ax{dx= In|x |+C(3)(In xD'=[ln(-x)]x目录上页下页返回结束机动

 d x d (1)  f (x)d x  = f ( x) 二、 基本积分表 (P186) 从不定积分定义可知: d   或 f (x)dx  = f ( x) dx x = + C  (2) F ( x) d F (x) 或 = + C  d F (x) F (x) 利用逆向思维 =  (1) kdx k x + C ( k 为常数) =  (2) x dx  x + C + + 1 1 1   =  x d x (3) ln x + C x  0时 (  −1) ( l n x ) = [ ln(− x) ] x 1 =