《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第4章 不定积分 第四节 有理函数的积分

第四节有理函数的积分第4章·基本积分法：直接积分法：换元积分法分部积分法求导·初等函数初等函数积分本节内容有理函数的积分一可化为有理函数的积分举例二下页返回

第4章 第四节 有理函数的积分 • 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 本节内容:

有理函数的积分一、有理函数.n-12P(x)+aix+...+anaoxR(x) =box" +byxm-I +...+bmQ(x)mm≤n时,R(x)为假分式;m>n 时,R(x)为真分式有理函数真分式多项式+相除分解若干部分分式之和其中部分分式的形式为AMx+N(keN+,p2 - 4q<0)(x-a)k(x-+px+q)目录上页下页返回结束机动

一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1  有理函数: m  n 时, 为假分式; m  n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 + + + − ( N , 4 0 ) 2  −  + k p q 若干部分分式之和

例1.将下列真分式分解为部分分式：11x+3(1)3(2)x(x-1)?(1+ 2x)(1+ x2)x2-5x+6解：（1）用拼凑法11x-(x-1)x(x-1)2x(x -1)2(x-1)2x(x-1)1x-(x-1)(x -1)2x(x-1)17(x-1)xx-j目录上页下页返回结束机动

例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x − ( x −1) x − ( x −1)

(2)用赋值法Bx+3x+3Zx?-5x+6x-3(x-2)(x-3) x-2x+3A=(x-2)·原式X-3|x=2 =-5x=2x+3=6B=(x-3)·原式x-2/x=3x=36原式=-5故x-2x-3上页目录下页返回结束机动

(2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B  A = ( x − 2) 原 式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = ( x − 3) 原 式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x

(3）混合法Bx+ CA(1 + 2x)(1+ x2)1+2x1+xA=(1+2x)·原式X分别令x=0,1代入等式两端N+C54B+C十215642x-11原式5L1+2x1+x2上页目录下页返回结束机动

(3) 混合法 = (1+ 2 )(1+ ) 1 2 x x + + x A 1 2 2 1 x Bx C + + A = (1 + 2 x) 原 式 2 1 x = − 5 4 = = + C 5 4 1 15 2 4 6 1 B + C = + 5 2 B = − 5 1 C = 原式 = 1 2x 4 5 1  +    + − − 2 1 2 1 x x

四种典型部分分式的积分dx= Aln x-α+C一aA4-a)-n +C (n±1)dxx一(x-a)n-nMx+N3dx变分子为x? + px+q(2x+ p) +N_ MpMx+Ndx再分项积分(x? + px +g)n(p2-4g<0,n±l)目录上页下页返回结束机动

四种典型部分分式的积分: = A ln x − a + C x a C (n  1) n A n − + − = 1− ( ) 1  − x x a A 1. d  − x x a A n d ( ) 2.  + + + x x px q M x N 3. d 2  + + + x x px q M x N n d ( ) 4. 2 变分子为 (2 ) 2 x p M + 2 M p + N − 再分项积分

dx例2. 求(1+ 2x)(1+ x2解：已知2x4(1+2x)(1+x2) =5L1+2x 1+x+.2 (d(1+ 2x)1 rd(1 + xdx原式1+2x1+x221n|1+2x-=In(1+x2)+2arctanx+C目录上页下页返回结束机动

例2. 求 解: 已知 (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x   = 5 1 1 2x 4 + 2 1 2 x x + −   + + 2 1 1 x  + +  = x x 1 2 d(1 2 ) 5 2 原式  + + − 2 2 1 d(1 ) 5 1 x x  + + 2 1 d 5 1 x x ln 1 2x 5 2 = + ln (1 ) 5 1 2 − + x + arctan x + C 5 1

x-2例3.求dx.x2+2x+31(2x+ 2)-3解：厂原式dxx2+2x+3rd(x2 + 2x+3)d(x + 1)x2+2x+3(x +1)2 +(/2)2x+11n|x2 +2×+ 3+CarctanN2V2x-2dx?思考：如何求3(x2 +2x+3)提示：变形方法同例3，并利用P209例9目录上页下页返回结束机动

例3. 求 解: 原式 x x x d 2 3  2 + + = (2 2) 3 2 1 x + −  + + + + = 2 3 d( 2 3) 2 1 2 2 x x x x ln 2 3 2 1 2 = x + x +  + + + − 2 2 ( 1) ( 2) d ( 1) 3 x x C x + + − 2 1 arctan 2 3 思考: 如何求 提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9

说明：将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行但不一定简便，因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法+2x~+5x+5例4.求I =dxx +5x2 +42x~+52x+5x解:I=dx +dx福+5x2 + 4+5x2+4+1)+(x+4d(x*+5x~+5)xdxx4 +5x2+4(x2 + 1)(x2 + 4)X=In x4+ arctan x +Carctan一22目录上页下页返回结束机动

 + + + x x x d ( 1)( 4) 2 2 ( 1) ( 4) 2 2 x + + x + 例4. 求  + + + = x x x x x I d 5 4 2 5 4 2 3  + + + + x x x x d 5 4 2 5 4 2 2  + + + + = 5 4 d ( 5 5) 2 1 4 2 4 2 x x x x ln 5 4 2 1 4 2 = x + x + 2 arctan 2 1 x + + arctan x + C 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法

dx例5.求2(x2 + 2x + 2)(x2 +2x+2)-(2x +2)dx解：原式(x2 + 2x + 2)2d(x2 + 2x+2)dx(x+1)2(x2 +2x+2)2上1+C= arctan(x + 1)+x2+2x+2上页目录下页返回结束机动

例5. 求 解: 原式  + + = x x x d ( 2 2) 2 2 ( 2 2) 2 x + x + − (2 x + 2)  + + = ( 1) 1 d 2 x x  + + + + − 2 2 2 ( 2 2) d( 2 2) x x x x = arctan(x + 1) 2 2 1 2 + + + x x + C