《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第5章 定积分及其应用 第三节 定积分的换元与分部法

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第5章 二、定积分的分部积分法 第三节 定积分的换元法和分部积分法 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法

一、定积分的换元法定理1.设函数 f(x)EC[a,b],单值函数 x=β(t)满足1)Φ(t)eC'[α,βl, (α)=α, β(β) = b;2)在[α,β]上a≤Φ(t)≤b,F则f(x)dx=[p f [p(t)lp'(t)dt证：所证等式两边被积函数都连续因此积分都存在且它们的原函数也存在.设F(x）是f(x)的一个原函数则F[(t)]是f[(t)](t)的原函数,因此有6_f(x)dx= F(b)- F(a)= F[β(β)] - F[β(α)]Pf [o(t)lp'(t)dt目录上页下页返回结束机动

一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1  t  C   2) 在 [ ,  ] 上  ( ) = a ,  ( ) = b ; (t) (t) 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 = F (b) − F (a) = F[ ( )] − F[ ( )] (t) (t) (t) (t) (t) 则

f(x)dx=[ f [p(t)lp'(t)dt说明：1)当β<α,即区间换为[β,α]时，定理1仍成立2）必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回3）换元公式也可反过来使用，即6fp(t) lp'(t) dt= /f(x)dx (令x=Φ(t))B或配元f[p(t) lp'(t) dt = [ f[ p(t) l d p(t)配元不换限目录上页返回结束机动下页

说明: 1) 当 <  , 即区间换为 [ , ]时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 f x x (令 x =  (t)) b a ( ) d  = 或配元 (t) d (t) 配元不换限 (t) (t) (t) (t) (t) (t)

例1.计算2-x2dx (a>0)解：令x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时,t=0；x=α时,t=号二原式= α’fcos2tdtS(1+cos2) d/aOx2元a福sin2t)t十北401目录上页下页返回结束机动

例1. 计算 解: 令 x = a sin t , 则 dx = a cost d t , 当 x = 0 时, t = 0 ; , . 2  x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 ) d 2 2 0 2  = +  sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2   2 0  cos t d t 2 2 2 y = a − x o x y a 且

x+24dx.例2.计算0~/2x+1t2-解：令t=~2x+1,则xdx=tdt, 且2当x=0时,t=l:: x=4时,t=3原式=tdt(2 +3)dt22+3t)3目录上页下页返回结束机动

例2. 计算 解: 令 t = 2x + 1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当 x = 0 时, x = 4 时, t = 3 . ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2  + − (t 3) d t 2 1 3 1 2  = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t = 1; 且

偶倍奇零例3. 设 f(x)eC[-a,a],(1)若f(-x)= f(x), 则~ f(x)dx=2[°f(x)dx(2)若f(-x)=-f(x),则[~ f(x)dx= 0[ f(x)dx = J f(x)dx + °f(x)dx证：令x=-t=Jaf(-t)dt+f°f(x)dx[l f(-x)+ f(x)]dx2]°J(x)dx, f(-x)= f(x)时0f(-x)=-f(x)时目录上页下页返回结束机动

例3. 证: (1) 若   − = a a a f x x f x x 0 则 ( ) d 2 ( ) d = − f x x aa ( ) d (2) 若 ( ) d = 0 −aa 则 f x x f x x a ( ) d 0 − f x x a ( ) d 0  + f t t a ( ) d 0  = − f x x a ( ) d 0  + f x f x x a[ ( ) ( )]d 0  = − + f (− x) = f ( x)时 f (− x) = − f ( x)时 偶倍奇零 令 x = − t =

二、定积分的分部积分法定理2. 设 u(x),v(x)e C'[a, b], 则bu(x)v(x)dxu(x)v'(x)dx = u(x)v(x)aC证: : [u(x)v(x)]' =u'(x)v(x)+u(x)v(x)两端在[a,b]上积分bu(x)v'(x)dxu'(x)v(x)dx +u(x)v(x)0bu'(x)v(x)dxu(x)v'(x)dx = u(x)v(x)a目录上页下页返回结束机动

二、定积分的分部积分法 定理2. ( ), ( ) [ , ] , 1 设 u x v x  C a b 则 a b 证:  [u ( x) v( x)] = u ( x)v( x) + u ( x)v ( x) u( x) v( x) a b u x v x x u x v x x b a b a = ( ) ( ) d + ( ) ( ) d   = u( x)v( x) a b  −  b a u (x) v(x) dx 两端在 [a,b] 上积分

例4.计算arcsinxdxx2dx解：原式= xarcsinx2OA元+(-x2) d(1-x)121-20元一12元122上页目录下页返回结束机动

例4. 计算 解: 原式 = x arcsin x 0 2 1  − 2 1 0 x x x d 1 2 − 12  = (1 ) d (1 ) 2 1 2 0 2 2 1 2 1 + − x − x −  12  = 2 1 (1 ) 2 + − x 0 2 1 12  = 2 3 + −1

陪2例5.证明cos"xdxsin"xdx =In=1010n···，n为偶数n-2nn-l.n-3..3n为奇数n-2n证:令t=号-x,则22sin" xdx = -|sin"(-t)dtcos" x dx2nn-2u = sinn-1今x,v'=sinx,则u'=(n-l)sinxcosx,V=-CoSx元202n-2n-1(n-1)[x]xcos"xdx:. In =[-cosx·sinsin十01O目录上页下页返回结束机动

 = 2 0 cos d  t t n  = 2 0 cos d  x x n 例5. 证明 证: 令 , 2 2 1 4 3 2 1 3       − n n − n n−  n 为偶数 n 为奇数 , 2 t = − x  则  2 0 sin d  x x n  = − − 0 2 2 sin ( ) d   t t n 令 则 ( 1)sin cos , 2 u n x x n−  = − v = − cos x [ cos sin ] 1 I x x n n −  = −  0 2   − + − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d  n x x x n 0

元2n-2xcosxdxIn =(n-1)(sin-元2n-2x(1 - sin2 x)dx=(n-1)]sin=(n -1) In-2 -(n-1)Insin" xdxn由此得递推公式 I,=In-2= 2m-1.2m-3于是 ..2·12m2m2m-22m2m-2... ·. 12m+l2m+12m-12O而lo=dx=号，sin xdx =1Ii =故所证结论成立目录上页下页返回结束机动

 − = − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d  I n x x x n n  = − − 2 − 0 2 2 ( 1) sin (1 sin ) d  n x x x n 2 ( 1) = − n− n I 由此得递推公式 2 1 − − = n n n n I I 于是 I 2m = m m 2 2 −1 I 2m+1 = 2 1 2 m+ m 而 I 0 =  2 0 d  x , 2  =  = 2 0 1 sin d  I x x = 1 故所证结论成立 . 0 I 1 I 2 −2  m I 2 2 2 3 − − m m 2 −4  m I    2 1 4 3 2 −1  m I 2 1 2 2 − − m m 2 −3  m I    3 2 5 4