《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第8章 重积分 第五节 含参变量的积分

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第8章 *第五节 含参变量的积分 一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分

被积函数含参变量的积分一、设 f(x,y)是矩形域 R=[α,b]×[α,β]上的连续函数B则积分f(x,y)dy确定了一个定义在[a,b]上的函数a52记作(x)=[℃ f(x,y)dyx称为参变量，上式称为含参变量的积分含参积分的性质一连续性，可积性，可微性：定理1.(连续性)若 f(x,)在矩形域 R=[αa,b]×[α,β]上连续，则由①确定的含参积分在[a，b]上连续目录上页下页返回结束机动

一、被积函数含参变量的积分 设 f ( x, y) 是矩形域 R = [a, b] [ ,  ] 上的连续函数, 则积分    f (x, y) d y 确定了一个定义在[a, b]上的函数, 记作  =   (x) f (x, y) d y x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分. 含参积分的性质 定理1.(连续性) 若 f ( x, y) 在矩形域 R = [a, b] [ ,  ] 上连续, 则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续. — 连续性, 可积性, 可微性 : ①

证：由于f(x,y)在闭区域R上连续,所以一致连续，即任给>0,存在>0,对R内任意两点（x1,1),（x2,2)只要[x1-x2l0,存在>0,当△x<时,就有10(x+Ax) -p(x)= / [[f(x+△x, y)- f(x,y)]dy≤Je1 f(x+Ax,y)- f(x, y)ld y<8(β-a)这说明@(x)在[a,b]上连续目录上页下页返回结束机动

证: 由 于 f ( x, y) 在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即 任 给   0,存 在   0 , ( , ), ( , ), 1 1 2 2 对R内任意两点 x y x y 只要 −   −   1 2 1 2 x x , y y 就有 ( , ) − ( , )   1 1 2 2 f x y f x y 因 此, 任 给   0, 存 在   0 , 当 x   时 , 就有  ( x + x) −  ( x)  = +  −   [ f (x x, y) f (x, y) ]d y   +  −   f (x x, y) f (x, y) d y 这说明  ( x) 在[a, b]上连续

定理1表明，定义在闭矩形域上的连续函数其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.即对任意 xo E[α,b],B2limplim f(x,y)d yp f(x,y)dy=aJαxxoex→XO同理可证, 若 f(x,y)在矩形域 R=[a,b]×[α,β]上连续，则含参变量的积分y(y)=/f(x,y)dx也在[α，β]上连续由连续性定理易得下述可积性定理目录上页下页返回结束机动

定理1 表明,定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的. [ , ], 0 即对任意 x  a b  →   f x y y x x lim ( , ) d 0  → =   f x y y x x lim ( , ) d 0 同理可证, 若 f ( x, y) 在矩形域 R = [a, b] [ ,  ]上 连 续,  = b a  ( y) f (x, y) d x 则含参变量的积分 也 在 [ ,  ]上连续. 由连续性定理易得下述可积性定理:

定理2.(可积性)若 f(x,y)在矩形域 R=[a,b]×[α,β]上连续,则(x)=「P f(x,y)dy在[a,b]上可积,且6J[fe f(x,y)dy ]dx = J, f(x, )dxd yp(x)dx =同样, y(y)= /~f(x,y)dx在[α,β]上可积,且y(y)dy= fe[f'f(x,y)dx Jdy= Jf, f(x, y)dxd y推论：在定理2的条件下，累次积分可交换求积顺序bB8即dxf(x,y)dy=f(x,y)dxdvaO目录上页下页返回结束机动

定理2. (可积性) 若 f ( x, y) 在矩形域 R = [a, b] [ ,  ] 上连续,  =   则(x) f (x, y) d y 在[a, b]上可积 ,且  = D f (x, y) d x d y 同样,  = b a  ( y) f (x, y) d x 在[ ,  ]上可积 ,且  = D f (x, y) d x d y 推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序, 即

定理3.(可微性)若f(x,J)及其偏导数fx(x,J)都在矩形域 R=[a,b]×[α,β]上连续,则p(x)=[βf(x,y)dy在[a,b]上可微，且福[ f(x,y)dy=[β f(x,y)dyβ(x)=dxJa证:令g(x)=[ f(x,y)dy,则g(x)是[a,b]上的连续函数,故当xE[a,b]时J'lfe f(x, y)dy ]dxg(x)dx=[("f(x,y)dx ]dyaxQa目录上页下页返回结束机动

定理3. (可微性) f ( x, y) f ( x, y) 若 及其偏导数 x 都在 矩形域 R = [a, b] [ ,  ]上连续 ,  =   则(x) f (x, y) d y 在[a, b]上可微 ,且   =    f x y y x x ( , ) d d d ( )  =   f x y y x ( , ) d 证: 令 ( ) ( , ) d ,  =   g x f x y y x 则 g ( x) 是 [a, b]上的连续 函数, 故 当x  [a,b] 时,  x a g(x) d x  f x y y  x x x a ( , ) d d   =    f x y x  y x a x ( , ) d d     =  

g(x)dx=... = [P[f(x,y)- f(a,y) ]dya= p(x) - p(a)因上式左边的变上限积分可导,因此右边β(x)可微，且有p'(x) = g(x)= J fx(x,y)d y此定理说明，被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时，求导与求积运算是可以交换顺序的目录上页下页返回结束机动

=  f (x, y) − f (a, y) d y    =  ( x) −  (a) 因上式左边的变上限积分可导, 因此右边  ( x)可 微， 且有  ( x) = g ( x)  =  x a g(x) d x  =   f x y y x ( , ) d 此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时, 求导与求积运算是可以交换顺序的

ra例1. 求I =dx(0<a<b)Inx解：由被积函数的特点想到积分0bx-xdy=InxCInxdxxdy(x"在[0,1]×[a,b]上连续[瑞]dx=d1b+1Ina+1十目录上页下页返回结束机动

例1. d (0 ). ln 1 0 x a b x x x I b a   − = 求  解: x y b a y d  由被积函数的特点想到积分: a b y x x     = ln x x x b a ln − = I x x y b a y d d 1 0    = y x x y b a d d 1 0   = y y b x a y d 1 0 1 1    +  =  + y y b a d 1 1  + = 1 1 ln + + = a b ( x 在[0,1] [a,b]上连续) y 

r1 ln(1+x)例2.求1=dx.101+x2解：考虑含参变量t的积分所确定的函数' In(I + tx)dx.p(t)=JO1 + x2In(1 + tx)在[0,1]×[0,1]上连续,β(0) = 0, β(1) =1,显然1+x?x由于0() =J.(+x)1+13)dxXdx1+tx目录上页下页返回结束机动

例2. d . 1 1 ln(1 ) 0 2 x x x I  + + 求 = 解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 d . 1 ln(1 ) ( ) 1 0 2 x x x t  + +  = t 显然, [0,1] [0,1] , 1 ln(1 ) 2 在  上连续 + + x t x  (0) = 0,  (1) = I, 由于 x x t x x t d (1 )(1 ) ( ) 1 0  2 + +  =   x t x t x t x x t d 1 1 1 1 1 2 1 2 0 2 + − + + + + = 

n(l++ x2)+ tarctan x - In(1+ tx) ]In2+"t-In(1+t) ]故I=(1)-(0)=In2+=t-In(1+t) ]dt一In(1 +t)dt+=ln(l +In2arctant8元ln2-1I="ln2因此得8目录上页下页返回结束机动

 ln(1 ) arctan ln(1 )  2 1 1 1 2 2 x t x t x t + + − + + = 0 1  ln(1 )  4 ln 2 2 1 1 1 2 t t t + − + + =  I =  (1) −  (0)  t t  t t ln(1 ) d 4 l n 2 2 1 1 1 2 1 0 + − + + =   0 1 ln 2 arctan 2 1 = t 0 1 2 ln(1 ) 8 + + t  t t t d 1 1 ln(1 ) 0  2 + + − = ln 2 − I 4  故 ln 2 8  因此得 I =