《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第一章 随机事件与概率 第六节 事件的独立性

第六节事件的独立性DIoroTBiaIU事件的独立性例有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2次，每次取1件，设A，1【第i次取到正品】，i=1,28福+ P(A,)P(A IA)-不放回抽样时9108P(A |A)P(A))三二放回抽样时，10即放回抽样时，A,的发生对A,的发生概率不影响。同样,A,的发生对A,的发生概率不影响定义：设A，B为两随机事件，P(A)≠0,P(B)≠0若P(B A)=P(B)，即P(AB)=P(A)*P(B即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立

1 第六节 事件的独立性 一、事件的独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2次,每次取1件，设Ai= {第i次取到正品}，i=1,2 2 1 2 7 8 ( | ) ( ) 9 10 P A A P A    2 1 2 8 ( | ) ( ) 10 P A A P A   P A P B ( ) 0, ( ) 0   不放回抽样时， 放回抽样时， 即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响。同样， A2的发生对A1的发生概率不影响 定义：设A，B为两随机事件， 若P(B|A)=P(B)， 即P(AB)=P(A)*P(B) 即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立

A.B相互独立一A.B相互独立A.B相互独立台A.B相互独立D10rOr0T:当P(AB)=P(A)·P(B)时P(AB)=P(A-AB)= P(A)-P(AB)=P(A)/1-P(B) =P(A)P(B定义：设A,A.,A为n个随机事件，若对2≤k≤n均有: P(A,4.-A.)-ITP(4)则称A,A,,A相互独立。注意：1°两两独立不能→相互独立2°实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性，而是由实际情形来判断其独立性。2

2 • 注意：                       , , , , 1 A B A B A B A B P AB P A P B P AB P A AB P A P AB P A P B P A P B               相互独立 相互独立 相互独立 相互独立 当 时     1 2 1 2 1 1 2 , , , 2 , , , , k j n k i i i i j n A A A n k n P A A A P A A A A      定义：设 为 个随机事件，若对 均有： 则称 相互独立 1 两两独立不能 相互独立  2 实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性， 而是由实际情形来判断其独立性

！例甲乙两人同时向一目标射击，甲击中率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被击中的概率P解：设 A={甲击中},B={乙击中}C={目标被击中}则: C=AU B, P(C)= P(A)+ P(B)-P(AB甲、乙同时射击，其结果互不影响：A，B相互独立 P(C) = 0.7+0.8 -0.56 = 0.943

3 例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击 中率为0.7，求目标被 击中的概率。 则： ， C A B P C P A P B P AB      ( ) ( ) ( ) ( )      P C( ) 0.7 0.8 0.56 0.94 解：设 A={甲击中},B={乙击中} C={目标被击中} ∵ 甲、乙同时射击，其结果互不影响， ∴ A，B相互独立

三例：有4个独立元件构成的系统（如图），设每个元OiororoBaa件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的解：4=(第i个元件运行正常),i=1,2,3,4A={系统运行正常则: A=A(AA UA4)由题意知，A,A,A,A相互独立= P(A)=P(A)· P(A,A, U A)=p(p2 +p-p3)另解，P(A)= P(AA,A,UAA)=p3 +p2-p,对吗?3注意：这里系统的概念与电路中的系统概念不同

4 例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运 行的 概率。     , 1,2,3,4 A i i i A    解：设 第 个元件运行正常 系统运行正常 1 4 2 3 注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同 则：A A A A A   1 2 3 4   1 2 3 4 由题意知， 相互独立 A A A A , , , 2 3 1 2 3 4        P A P A P A A A p p p p ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 1 2 3 1 4 另解， ，对吗 P A P A A A A A p p p ( ) ( )     ？

例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p，p≥对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？设各局胜负相互独立。解： 设A ={第i局甲胜}=→ P(A)=p, i=1,2,…,5再设A={甲胜)(1)三局二胜制:P(A) = P(A,A, U A,A,A, U A,A,A) = p? +2p (1- p) = pi(2)五局三胜制:P(A)=P[A,A,A, U(前三次有一次输)A U(前四次有两次输)A)= p3 +C;(1- p) p +C (1-p) p" = p1P, >Pi, 当p>12P -P =3P2(P-1)(2P-1) =51-21P2 = Pl, 当p=

5 1 , , 2 例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p p  对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？ 设各局胜负相互独立。     , 1,2, ,5 解：设 第 局甲胜 A i P A p i i i     再设 甲胜 A           2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 P A P A A A A A A A A p p p p        2 1 三局二胜制：     2 2 2 1 P P P P P     3 1 2 1               1 2 3 4 5 2 3 1 3 2 3 3 4 2 2 1 1 P A P A A A A A p C p p C p p p          五局三胜制： 前三次有一次输 前四次有两次输 2 1 2 1 1 , 2 1 , 2 p p p p p p           当 当