《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第9章 无穷级数 第二节 常数项级数的审敛法

第二节常数项级数的审敛法第9章正项级数及其审敛法、二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛下页返回

第9章 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 一、正项级数及其审敛法 第二节 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法8un若un≥0,则称为正项级数n=l8>部分和序列Sun收敛+定理1.正项级数n=1(n=1,2,.)有界SZ收敛，则Sn收敛，故有界证“一若unn=122C（Sn）单调递增un≥0，部分和数列8Z也收敛又已知（Sn）有界，故(Sn）收敛，从而unn=1目录上页下页返回结束机动

一、正项级数及其审敛法 若  0 , n u   n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “

88yn是设Z是两个正项级数定理2（比较审敛法）un?n=1ln=l且存在NeZ+,对一切n>N,有un≤kvn（常数k>0)则有88>Z也收敛：(1)若强级数Vn收敛，则弱级数unn=ln=100>>(2）若弱级数un发散，则强级数yn也发散n=ln=l证：因在级数前加、故不妨减有限项不改变其敛散性，设对一切neZ+,都有un≤kvn令Sn和αn分别表示弱级数和强级数的部分和，则有目录上页下页返回结束机动

都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨

Sn≤kon8>则有= limn收敛，贝(1）若强级数Vn!n-00n=1因此对一切nEZ+，有Sn≤ko8Zun也收敛由定理 1 可知,弱级数n=1SP发散，！则有 lim Sn=00,un(2)若弱级数n→0n=18Z因此limαn=o0，这说明强级数Vnt也发散n>0n=1目录上页下页返回结束机动

(1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若弱级数 则有 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数

例1.讨论p级数1++.. (常数p>0)的敛散性解:1）若 p≤l,因为对一切 nεZ+hpn88Z->而调和级数发散，由比较审敛法可知p级数n=inpnn=l发散目录上页下页返回结束机动

例1. 讨论 p 级数 + p + p + + p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p  1, 因为对一切 而调和级数   =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1  发散 . 发散

一≤一,故2)若p>l,因为当n-1≤x≤n时hYaxnR福Xnp-1P-n-(n-)np-13p-1(n + 1)p-1op-12p1n→87(k + 1)p-1kp-1(n + 1)p-1k=故强级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛目录上页下页返回结束机动

p  1, 因为当 , 1 1 p p n x  故  − = n p n p x n n 1 d 1 1  −  n n p x x 1 d 1   − −   − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数   − −   − −  =  1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n   + −   = − − =  1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n →  故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n       + + + −       + −       − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n  1 2) 若

调和级数与p级数是两个常用的比较级数若存在NeZ+，对一切n≥N，=.，则Zun发散;人unnn=18(p>1)，则un收敛2）unhpn=l上页目录下页返回结束机动

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , + N  Z 对一切 n  N

81Z发散例2.证明级数n(n+1)n=111证：因为1(n=1,2,...)n+1n(n+l)(n +1)281IZZ发散而级数kn=in+lk=2根据比较审敛法可知，所给级数发散目录上页下页返回结束机动

证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 +  n n + n 而级数   = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2

设两正项级数定理3.（比较审敛法的极限形式）88un =1, 则有Zun，Zvn 满足limn=ln-8Vnn=l(1)当 0 0,存在NEZ+，当n>N时"n-<(8)Vn目录上页下页返回结束机动

定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时

(n>N)(l -)vn≤un≤(l +)vn88与ZvE(1)当0N),由定理2 知8若vn收敛，则un也收敛；n=1n=1un>1,即，存在NEZ+,当n>N时(3)当1= 8时,Un >Vn88Zyn发散，则Z，若由定理2可知，也发散un2n=ln=1目录上页下页返回结束机动

n n n ( l −  ) v  u  ( l +  ) v 由定理 2 可知   n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; ( n  N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u  v 由定理2可知, 若   n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知   n=1 n 若 v 收敛