《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第一章 随机事件与概率 第五节 条件概率

第五节条件概率驶向成功的彼岸驶向胜利的彼岸

第五节 条件概率

引例2017级数学与应用数学专业100名学生中，有男生60名，女生40名：来自河南的20人，其中男生8人，女生12人。现在从花名册中任意抽取以为同学，试计算：（1）抽到的同学来自河南的概率；（2）抽到的同学是女生的概率；（3）抽到的同学是来自河南的女生概率；4）若发生抽到的是女生，她来自河南的概率

解：令A=“抽到的学生来自河南”，B=“抽到的同学是女生”，则根据古典概型公式有：A的样本数_20(1) P(A)==0.2总样本数100B的样本数40(2)P(B)==0.4总样本数100p是在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。AB的样本数12(3) P(AB)==0.12总样本数100（4）若发现抽到的是女生，她来自山东可概率p为：O12O=0.3O40

事件AB与事件AIB可用文氏图来表示2B图1由引例可得12/100P(AB)12P(A/B)-40/100P(B)40图2

一、条件概率P(AB)定义：P(BIA)P(A)0P(A)由上面讨论知，P（BIA）应具有概率的所有性质。例如：P(B|A) =1-P(BI A)P(BUCIA) = P(B|A)+P(CIA) -P(BCIA)BC =P(BIA)≥P(CIA)二、乘法公式当下面的条件概率都有意义时：P(AB)= P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)P(ABC)=P(A)P(BA)P(CIAB)P(AA ... A,)= P(A)P(A IA)P(A IAA) ...P(A,IA, - An-)

5 一、条件概率 定义： 由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。 例如： P B A P B A ( | ) 1 ( | )   P B C A P B A P C A P BC A ( | ) ( | ) ( | ) ( | )    B C    P B A P C A ( | ) ( | ) P AB P A P B A P B P A B ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )     P ABC P A P B A P C AB ( ) ( ) ( | ) ( | )  1 2 1 2 1 3 1 2 1 1 ( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) P AA A P A P A A P A AA P A A A n n n     ( ) ( | ) ( ) P AB P B A P A  P A( ) 0  二、乘法公式 当下面的条件概率都有意义时：

设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品：从中任取1件，求（1)取得一等品的概率；（2）已知取得的是合格品，求它是一等品的概率。解　设A表示取得一等品，B表示取得合格品，则（1）因为100件产品中有70件一等品，所以70P(A)0.78100（2）方法1：因为95件合格品中有70件一等品，所以70O0.7368P(A)B89570/100P(AB)P(AB)0.7368方法2：P(B)95/100

例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该十厂产品的报废率。:AB与 AB解：设A=生产的产品要报废】不相容B=生产的产品要调试P(A|B)= 0已知P(B)=0. 3, P(A/B)=0. 2,P(A)= P(ABU AB) = P(AB) + P(AB)= P(B)· P(A|B)+ P(B)· P(A|B)=0.3×0.2+0.7×0=6%另解:AC B,A=AB,利用乘P(A) = P(AB) = P(B)P(A|B) = 0.3 ×0.2 = 6%法公式

7 例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下的30%的产品要调 试后再定，已知调试后有80%的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该 厂产品的报废率。 P A B ( | ) 0  P A P AB AB ( ) ( )       P B P A B P B P A B ( ) ( | ) ( ) ( | )      0.3 0.2 0.7 0 6% ∵AB与 AB 不相容 利用乘 法公式   P AB P AB ( ) ( ) 解：设 A={生产的产品要报废} B={生产的产品要调试} 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2， , , ( ) ( ) ( ) ( ) 0.3 0.2 6% A B A AB P A P AB P B P A B        另解：

例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加3次某人第一次参加能通过的概率为60%：如果第一次未通过就去参加第二次这时能通过的概率为80%：如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。P(A1A)解：设A,=【这人第i次通过考核}，i=1,2,31- P(A IA)A=「这人通过考核}，A=AUAAUAAA=1-0.8=0.2P(A) = P(A)+P(AA)+ P(A,A,A)= P(A)+P(A)·P(A IA)+P(A)· P(A, IA)P(A IAA,)=0.60+0.4×0.8+0.4×0.2x0.9=0.992亦可：P(A)=1- P(A) =1-P(AAA)=1-P(A)P(A IA)P(A,IAA)=1-0.4×0.2×0.1=0.9928

8 例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加3次 ；某人第一次参加能通过的概率为60%；如果第一次未通过就去参加第二次 ，这时能通过的概率为80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时 能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。 A A A A A A A 1 1 2 1 2 3    1 1 2 1 2 3 P A P A P A A P A A A ( ) ( ) ( ) ( )    1 1 2 1 1 2 1 3 1 2      P A P A P A A P A P A A P A A A ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | )       0.60 0.4 0.8 0.4 0.2 0.9 0.992 ＋ 1 2 3 1 2 1 3 1 2 P A P A P A A A P A P A A P A A A ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( | ) ( | )            1 0.4 0.2 0.1 0.992 2 1 2 1 ( | ) 1 ( | ) 1 0.8 0.2 P A A  P A A    解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }， 亦可：

例：从52张牌中任取2张，采用（1)放回抽样，（2）不放回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。解：设A,={第i次取到红牌}，i=1,2,AA与 AA不相容B={取2张恰是一红一黑]P(B)=P(AA, UAA)。= P(AA)+ P(AA)= P(A)· P(A, [A)+ P(A)· P(A, IA)利用乘法公式（1）若为放回抽样：C((=P(B)222226226262626（2）若为不放回抽样:P(B)1C2C522651525152519

9 例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。 1 2 1 2 P B P A A A A ( ) ( )   1 2 1 1 2 1     P A P A A P A P A A ( ) ( | ) ( ) ( | )1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 P B C       1 1 2 26 26 52 26 26 26 26 26 ( ) / 52 51 52 51 51 P B C C C       利用乘 法公式 与 不相容 A A1 2 A A1 2 1 2 1 2   P A A P A A ( ) ( ) （1）若为放回抽样： （2）若为不放回抽样： 解：设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2， B={取2张恰是一红一黑}

三、全概率公式定义：设S为试验E的样本空间，B，B2，，B为E的一组事件。若：(i) B, UB, U...UB, = S(i) B,B,=O, i+ j, i,j=1,2,",n则称B，Bz，…,B,为S的一个划分，或称为一组完备事件组。B1SBnB2即：B1,B2，..,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。10

10 三、全概率公式 定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,.,Bn为E的一组事件。若： 则称B1,B2,.,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。 1 2 ( ) n i B B B S    ( ) , , , 1,2, , i j ii B B i j i j n      B1 B2 Bn S 即：B1,B2,.,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是 不可能的