《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第六章 数理统计的基本概念 第二节 抽样分布

第二节抽样分布统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而求出统计量的精确分布一般来说是很困难的，本节介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布

第二节 抽样分布 •1

一、三个常用的分布1.×分布定义：设随机变量X,X,,·X,相互独立，X,～N(0,1)(i=1,2,,n则称-X(1)服从自由度为n的×分布，记为×2～×（n）自由度指(1)式右端包含的独立变量的个数-yey>02x2(n)分布的概率密度为：,(y)=2r(n/2)定理6.3:0y≤Of(x)其中r(α)=J。xa-le**dxn=ln=4n=102分布的概率密度函数

一、三个常用的分布           1 2 2 2 2 2 2 1 , , 0,1 1,2, , 1 1 n n n i i i X X X N i n n    n        设随机变量X 相互独立，X 则称 服从自由度为 的 ， 定 指 式右端包含 分布 记为 自 度 的独立变 义： 由 量的个数         2 2 1 2 1 0 1 0 2 2 2 0 6 0 .3 n y n x y e y n f y n y x e dx                           分布的概率密度为： 其 理 中 定 ： •2 2 1. 分布 x f x( ) 0 n 10 n 1 n  4 2  分布的概率密度函数

x2分布的一些重要性质：(1)设x~x(n),则有E(x)=n,D(x）=2n(2）设Y~×（n）~×（n）且Y相互独立，则有Y+~x（n+n）性质2称为×分布的可加性，可推广到有限个的情形：设(n),且Y,Y,相互独立，则(n对给定的概率α,045时，可用近似公式：xa(n)~(ua+/2n-1)0xxa(n)x分布的分位数-3

2  分布的一些重要性质： •3       2 2 2 2 （1 , , 2 ）设       n E n D n 则有       2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 （2 , , , ）设Y n Y n Y Y Y Y n n         且 相互独立，则有 2 性质 称为 ，可推广到有限个的情形： 2  分布的可加性   2 2 1 2 1 1 , , , , m m i i m i i i i Y n Y Y Y Y n           设 且 相互独立，则            2 2 2 2 2 ,0 1, , n n f dy n y n n                 为 分布的上 分 对给定的概率 称满足条件 的点 位数 上 分位数 的值可查 分布表   2 n  0 2  分布的分位数 x f x( )    2 2 2 45 1 2 1 2 n n u n         注意： 在求 分布的分位点， 当 时，可用近似公式： （ ）

例l：设总体X~N（u）u已知。（X,X，X）是取自总体x的样本求（1)统计量x=(X-μ）的分布：(2）设n=5,若a(X-X,)+b(2X,-X4-X,)~×(k)则a,b,k各为多少？解：(1)作变换 ==i=1,2,.,na显然Y,Y2,.,Y,相互独立，且Y, ～N(O,1) i=1,2,,n1a=于是 x-(") -~x(n)2021(2) x-X ~ N(0,20),~x()b=6g22g2k=2.2X,-X,-X, ~ N(0,6g*),(2X, -X,-X,)}~ x(1)6g?X,-X,与2X-X4-X,相互独立,故+X--~(2)2g26g?

•4     2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 4 5 1 , , , , , , 1 ( ) ) (2 ) ~ ( ), n n i i N X X X X X b X X X k                  1 例 ：设总体X 已知。 是取自总体X的样本 求(1)统计量 的分布； （2）设n=5,若a(X 则a,b,k各为多少？ 1,2, , i i X Y i n    解：(1)作变换   显然 相互独立，且 Y Y Y Y N i n 1 2 , , , 0,1 1,2, , n i       2 2 2 1 1 ( ) n n i i i i X Y n             于是 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) (2) ~ (0,2 ), ~ (1) 2 X X X X N      2 2 2 345 345 2 (2 ) 2 ~ (0,6 ), ~ (1) 6 X X X X X X N        1 2 3 4 5 2 2 1 2 345 2 2 2 ( ) (2 ) ~ (2) 2 6 X X X X X X X X X X          与2 相互独立， 故 ＋ 2 2 1 , 2 1 , 6 2. a b k     

2.t-分布定义：设X~N(0,1),Y~x2(n),并且X,Y相互独立,X则称随机变量T：服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)/n＃定理6.4:t(n)分布的概率密度为：f(t,n)1,-845时，α可用近似公式：7=ta(n)=uax1023o ta(n)321分布的密度函数-51分布的分位数

      2 N Y n 0,1 , , , X T n t T t Y n Y n   设X  并且X 相互独立， 则称随机变量 服从自由度为 的 分布，记为 定义：         , 0 1, , t n f t n dt t n t n t t            对给定的 称满足条件 的点  为 分布的上 。 分布的上 分位数可 分位数 查 分布表 •5 2.t分布         1 2 1 2 2 2 6.4 , 1 , n n n t t n f t n t n n                  定理 ： 分布的概率密度为：  t n    f x  0 x t分布的分位数 n 10 3 1 3 x f x( ) n 1 n  4 2 1 0 2 t分布的密度函数 1 t n t n ( ) ( )     45 t n t n u     注意： 在求 分布 的分位点，当 时， 可用近似公式： ( ）

3.F分布定义：设X~(n),~(nz)，且X,Y独立,/n服从自由度(n,n,)的F分布，记为F~F(n,n)则称随机变量FYIn其中n称为第一自由度，n,称为第二自由度性质，F ~ F(n,n),则F -I~ F(n2,n)定理6.5：F(n,n2)分布的概率密度为:ni+n2122x>0nnx?f(x;n,n)=[B(%,"%)0x≤0T(a)r(b)其中B(a,b)= [μxα-l (1-x)b- dx=T(a+b)-6

        2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 , , , / , , / n Y n Y X n F n n F F F n n Y n n n      设X 且X 独立， 则称随机变量 服 定义： 从自由度 的 分布，记为 其中 称为第一自由度， 称为第二自由度 •6 3. F分布                 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 0 , 1 0 ; , , 0 6. , 0 5 1 n n n n n n n b F n n n n x n n x x f x n n B x a b B a b x x dx                      定理 ： 分布的概率密度为： 其中   a b 1 F F n n F F n n ~ ( , ), ~ ( , ) 1 2 2 1 性质： 则 

对于给定的α,0<α<1,称满足条件f(x;n,n)dx=α的点F(n,n2)Fnn为F(n,n2)分布的上α分位数。F(n,n2)的值可查F分布表F-α(n,n)=[F(n2,n)]f(x)f(x)n,=00,n,=20-n=25a=10xxFa(n,n)2F分布的密度函数F分布的分位数

•7           1 2 1 2 1 2 , 1 2 1 2 , 0 1, ; , , , , F n n f x n n dx F n n F n n F n n F             对于给定的 称满足条件 的点 为 分布的上 分位数。 的值可查 分布表 0 1 2 x f x  2 1 n n    , 20 2 n  25 2 n 10 F分布的密度函数 0 F n n   1 2 ,  x f x( )  F分布的分位数 1 1 1 2 2 1 F n n F n n ( , ) [ ( , )]     

此外,设X ～~N(0,1),若u满足条件P[X>uα}=α,0<α<1则称点u.为标准正态分布的上α分位数ui-α = -uoU

•8 u  , 0,1 , ,0 1 X N u P X u     u       此外 设      若 满足条件 则称点 为标准正态分布的上 分位数。 1 u u    

二、扌抽样分布定理定理1：费希尔定理）设(X,XX)是总体N（u,α)的样本，x,分别是样本均值和样本方差，则有：(1) X~N(μ,)(2) (n-1) s2一~ x(n-1)g23）X和S相互独立定理2：设(X,…,X,)是总体N(u,α2)的样本，x和S2分别是样本均值和样n(X-μ))~t(n-1)本方差，则有：S(n-1)s证明:由定理6,6知,二岩~ N(0.1),aa/vn且两者独立，由t分布定义得：Jn(x-μn-1)sXSaI-9

二、抽样分布定理           2 2 2 1 2 2 2 2 2 ( , , , , , 1 X , - 1 2 1 1 3 X n n X X X N S N n S n S          费希尔定理）设 是总体 的样本，X 分别 是样本均值和样本方差，则有： （） （ ） （ ） 和 定理 ： 相互独立         2 2 1 / / 1 1 / t X n S n X n t n n S           且两者独立，由 分布定义得： •9         2 2 1 , , 1 2 , X X N S n n X t n S      设 是总体 的样本，X和 分别是样本均值和样 本方差，则有： 定理 ：       2 2 2 1 6.6 0,1 , 1 / X n S N n n       证明：由定理 知， 

定理3:设样本(Xi,,X）和(Y,,Ym）分别来自总体N(u,o)和N(u2,）并且它们相互独立，其样本方差分别为S?,S2as?则：1°F=9~ F(n -1, nz -1)o's(X-)-(μ-) ~ N(0,1),0i+0Vn'n2(X-Y)-(μ-μ2)3° 当=0=α时t(n +nz -2SE+其中%-(μ-)S+(-)≤,sw =)n +n -2-10

•10                 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 , , , , , , , , 1 1, 1 2 (0,1), 3 3 X X Y Y N N n n S S S F F n n S X Y N n n X Y                          设样本 和 分别来自总体 和 并 定理 ： 且它们相互独立，其样本方差分别为 则： 当 时，         1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 , 2 W W W W t n n S n n n S n S S S S n n             其中