《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 参数估计 第二节 参数的矩法估计

数理统计第二节矩法估计(The Method of Moments)英国统计学家（KarlPearson，1857～1936）

数理统计 第二节 矩法估计 英国统计学家（Karl Pearson，1857～1936）

数理统计一、矩估计法矩是最简单的数字特征设总体X的k阶矩E(X)存在，X,X2，..,X,是总体X的样本，有E(Ah)=E(- 2 X/)=- ZE(X/)=E(Xk)ni=lni=l另一方面，根据辛钦大数定律知Ak=-ZxI =→E(Xk),asn→8ni=l可见样本矩在一定程度反映了总体矩的特性Apr-19

数理统计 Apr-19 一、矩估计法 矩是最简单的数字特征. 设总体X的k阶矩E(Xk ) 存在, X1 ,X2 , .,Xn是总体X的样本， 有        n i n i k k i k i k E X E X n X n E A E 1 1 ( ) ( ) 1 ) 1 ( ) ( 另一方面,根据辛钦大数定律知       X E X as n n A k n i k k i P ( ), 1 1 可见样本矩在一定程度反映了总体矩的特性

数理统计矩估计法是英国统计学家K皮尔逊最早提出的基于一种简单的“替换”思想建立起来的估计方法，其思想简单直观用样本矩去替换相应的总体矩，**用样本矩的函数替换相应的总体矩的同一函数.理论基础：辛钦大数定律Apr-19

数理统计 Apr-19 矩估计法是英国统计学家K皮尔逊最早 提出的基于一种简单的“替换”思想建立起来 的估计方法，其思想简单直观 * 用样本矩去替换相应的总体矩； * 用样本矩的函数替换相应的总体矩的同 一函数. 理论基础：辛钦大数定律

数理统计定义：设总体X的分布函数F(x; 1,....)中含有1个未知参数，假定×的/阶原点矩存在，记r(01,02,..,0,)= E(X*),(k =1,2,..,l)由方程组12xt = (1,2,.,1), = ,.,l.ni=l解得导 , =0,(X,X2,,X,), k=1,2,.,l,称为，的矩法估计量Apr-19

数理统计 Apr-19 定义：设总体X 的分布函数 F(x; q1 ,q2 ,.,ql ) 中含有l 个未知参数, 假定X的l 阶原点矩存在, 记 ( , , , ) ( ), ( 1,2, , ) 1 2 E X k l k  k q q  q l    由方程组 ˆ ( , , , ), 1,2, , . 1 1 1 2 X k l n n i k l k  i       q q q ( , , , ), 1,2, , , ˆ ˆ 1 2 X X X k l 解得 q k q k  n   称q k为q k ˆ 的矩法估计量

数理统计定理：若为的矩法估计量，g(①)是关于的连续函数,称g(①)为g()的矩法估计量注意样本矩是随机变量，而总体矩是数值概率的矩估计指数分布参数矩估计Apr-19

数理统计 Apr-19 注 意 样本矩是随机变量,而总体矩是数值 ˆ ( ) ˆ , ( ) ( ) . g g g q q q q q q 定理：若 为 的矩法估计量， 是关于 的 连续函数 称 为 的矩法估计量 概率的矩估计 指数分布参数矩估计

数理统计二、两基本的矩估计量1.用样本均值X【作为总体均值E（X）的估计量：E(X)=X-↓xXni=l2.用二阶中心矩M，作为总体方差D(X）的估计量：D(X)=M, =-Z(X, -X)2nl

数理统计 二、两基本的矩估计量

数理统计三、矩估计法的具体步骤(1).求出E" =v(0,0,,.,0,)j=1,2,...k(2),令V, = =-5/; j = 1,2,,kn1这是一个包含个未知参数，，，0的方程组(3)解出其中1,2,,k，用,,,…,,表示(4)用方程组的解,2,分别作1,02,…,0,的估计量这个估计量称为矩估量

数理统计 三、矩估计法的具体步骤

数理统计例1.不合格品率的矩法估计设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品率，抽取了n件产品进行检查分析设总体X为抽一件产品的不合格产品数，相当于抽取了一组样本Xs，X2，..，Xn，且第次取到不合格品1, Xi =0，第次取到合格品解因 p=E(X), 故 p 的矩估计量为（即出现不合格p=X--2X; = fn(A)?产品的频率）ni=1Apr-19

数理统计 Apr-19 解     0, . 1, 第 次取到合格品 第 次取到不合格品； i i Xi 例1.不合格品率的矩法估计 分析 设总体X为抽一件产品的不合格产品数，相当于抽取了 一组样本X1，X2，. ，Xn , 且 因 p=E(X), 故 p 的矩估计量为 设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品率，抽 取了n 件产品进行检查.      n i Xi f n A n p X 1 ( ) 1 ˆ (即出现不合格 产品的频率)

数理统计例2.设总体X的概率密度为1 -(x-μ)/0x≥μ;f(x)=300,x0,μ与是未知参数，X,X2.,X,是总体X的一组样本求u与e的矩法估计量x-u0解dxE(X)= 菁eV(y + μ)e 0 dy =0 + μ,Apr-19U

数理统计 Apr-19          0, . , ; 1 ( )/ ( )    q q x x x e f x 其中q＞0,  与q 是未知参数, X1 ,X2 , ., Xn是总体X的一组样本, 求 与q 的矩法估计量.       q  q e dx x E X x 解 ( ) ( ) θ , 1 0 θ          q y e dy y 例2. 设总体X的概率密度为

数理统计X-uAE(X")=菁dx= Jt"(y+μ)?e'ody= 202 +2μ0+ μ? =02 +(0+μ)3由方程组=é+μ=X,, =0? +(@+ p)~ =-2x,=1Apr-19

数理统计 Apr-19       q  q e dx x E X x 2 2 ( )      0 2 ( ) 1 y e dy y q  q 2 2  2q  2q   2 2 q  (q  ) 由方程组              n i Xi n X 1 2 2 2 2 1 1 ˆ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ  q q   q 