《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.1 线性变换

第七章线性变换7.1线性映射72线性变换的运算7.3线性变换和矩阵7.4不变子空间7.5特征值和特征向量7.6可以对角化矩阵

第七章 线性变换 7.1 线性映射 7.2 线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以对角化矩阵

当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美--拉格朗日（Lagrange,1736-1813）数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微---华罗庚（1910-1985）

当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的 新鲜活力，并迅速地趋于完美. -拉格朗日（Lagrange,1736-1813） 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉，形少数时难入微. -华罗庚（1910－1985）

7.1 线性变换一、内容分布7.1.1线性映射的定义及例子7.1.2线性变换的象与核二、重点、难点判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）求给定线性变换的象与核

7.1 线性变换 一、内容分布 7.1.1 线性映射的定义及例子. 7.1.2 线性变换的象与核. 二、重点、难点 判断给定的法则是否是一个线性变换(线性映射),求给 定线性变换的象与核．

7.1.1线性映射的定义及例子设F是一个数域，V和W是F上向量空间定义1设是V到W的一个映射．如果下列条件被满足，就称是V到W的一个线性映射：(i)对于任意的,nEV,o(+n)=a()+o(n);(ii）对于任意的aF,o(a)=ao)例1对于R2的每一个向量=(x，x）,定义0() =(X1, Xi-X2,X)+x2) ER3,o是R2到R3的一个线性映射

设F是一个数域，V和W是F上向量空间. (i) 对于任意的ξ,η∈V,σ(ξ+η)=σ(ξ)+σ(η)； 例1 对于R2的每一个向量ξ=(x1, x2),定义 定义1 设σ是V 到W的一个映射. 如果下列条件被满足，就 称σ是V 到W 的一个线性映射： (ii) 对于任意的a∈F,σ(aξ)=aσ(ξ). σ(ξ) =(x1, x1-x2 , x1+x2) ∈R3 , σ是R2到R3的一个线性映射. 7.1.1 线性映射的定义及例子

证(i)设=(x1,x2),n=(y1,2)是R2的任意两个向量,此时(c+n) =o (xi+y1, x2+y2))=((xi+y1, (xi+y1)-(x2+y2), (xi+y1)+(x2+y2))= (xi+y1, (xi-x2) +(y1-y2) , (x+x2)+(yi+y2)((x1, (x1-x2), (xi+x2))+(y1, (y1-y2),(yi+y2)=a () +o(n)(ii)设aER,=(x,x)ER,此时o(a)=o ((axj,ax2)) =(ax1,axi-ax2,ax,+ax2)=a (x1,Xi-x2,X)+x2) =ao()因此是R到R的一个线性映射

证 (i)设ξ=(x1, x2), η=(y1, y2)是R2的任意两个向量,此时 σ(ξ+η) =σ ((x1+y1, x2+y2)) = ((x1+y1, (x1+y1)-(x2+y2) , (x1+y1)+(x2+y2)) = ((x1+y1, (x1-x2) +(y1-y2) , (x1+x2)+(y1+y2)) = ((x1, (x1-x2) , (x1+x2))+(y1, (y1-y2) ,(y1+y2)) =σ (ξ) +σ(η) (ii) 设a∈R,ξ=(x1, x2) ∈R2 , 此时 σ(aξ) =σ ((ax1, ax2)) = (ax1, ax1-ax2 , ax1+ax2) = a (x1, x1-x2 , x1+x2) = aσ(ξ) 因此σ是R2到R3的一个线性映射

例2令H是V中经过原点的一个平面.对于V的每一向量令（表示向量在平面H上的正射影.根据射影的性质:一o是V到V的一个线性映射例3令A是数域F上一个mxn矩阵.对于n元列空间的每一个向量=(X,X2，,）规定)=A容易证明是Fn到Fm的一个线性映射

例2 令H是V3中经过原点的一个平面.对于V3 的每一向 量ξ,令 σ(ξ)表示向量ξ在平面H上的正射影.根据射影的性质， σ:ξ⟼σ(ξ)是 V3 到V3的一个线性映射. 例3 令A是数域F上 一个m×n矩阵.对于n元列空间的每 一个向量ξ =(x1, x2 , ⋯, xn)T ,规定σ(ξ)=Aξ. 容易证明σ是 Fn 到 Fm的一个线性映射

例4令V和W是数域F上向量空间.对于V的每一向量令W的零向量0与它对应，容易看出这是V到W的一个线性映射，叫做零映射例5令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数k，对于任意EV，定义o（）=k.容易验证，是V到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V的一个位似

例4 令V 和W是数域F上向量空间.对于V 的每一向量ξ. 例5 令V是数域F上一个向量空间,取定F的一个数k，对于 令W 的零向量0与它对应,容易看出这是V 到W的一个线性 映射，叫做零映射. 任意ξ∈V, 定义σ(ξ)=kξ.容易验证,σ是V到自身的一个线性 映射,这样一个线性映射叫做V 的一个位似

特别，取k-1，那么对于每一EV都有（)=，这时就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射如果取k=0，那么0就是V到V的零映射例6取定F的一个n元数列(α,α2，,an).对于F"的每一个向量=(x,X2，,xn),规定o()=aix,+ax2+..+axn.容易验证是F到F的一个线性映射.这个线性映射也叫做F上的一个n元线性函数或F"上的一个线性型

特别，取k=1,那么对于每一ξ∈V,都有σ(ξ)=ξ, 这时σ就是 V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射,如果取k=0,那么 σ就是V到V的零映射. 例6 取定F的一个n元数列(a1, a2 , ⋯, an).对于Fn 的每一个 向量ξ =(x1, x2 , ⋯, xn),规定 σ(ξ)=a1x1+a2x2+ ⋯ +anxn. 容易 验证σ是Fn 到F的一个线性映射. 这个线性映射也叫做F上 的一个n元线性函数或Fn 上的一个线性型

例7对于F[xl的每一多项式f(x），令它的导数fx）与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是F[]到自身的一个线性映射

例7 对于F[x]的每一多项式 f (x) ,令它的导数f ′(x)与它对 应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是F[x]到自身 的一个线性映射

线性映射个的一些基本性质定义1中的条件（i）与（ii）与以下的条件等价：ii)对于任意的a,bEF和任意的nEVa(ai+bn)=ao()+bo(n)线性映射将零向量映成零向量由数学归纳法，容易推出(a5+a5+...+an)=ao()+a0(2)+..+ano(5n)对于任意的ai,a2…a,EF和任意的,2,…,V成立

线性映射个的一些基本性质 定义1中的条件(i)与(ii)与以下的条件等价: (iii)对于任意的a,b∈F和任意的ξ,η∈V, σ(aξ+bη)=aσ(ξ)+bσ(η). 线性映射将零向量映成零向量. σ(a1ξ1+a2ξ2+ ⋯ +anξn)= a1σ(ξ1)+a2σ(ξ2) + ⋯ +anσ(ξn) 对于任意的a1,a2,⋯,an ∈F和任意的ξ1,ξ2, ⋯,ξn ∈V成立. 由数学归纳法,容易推出