《高等代数》课程教学课件（讲稿）第八章 Euclid空间 8.4 对称变换和对称矩阵

8..4对称变换和对称矩阵一、内容分布8.4.1对称变换的定义8.42对称变换和对称矩阵之间的关系8.4.3对称变换的性质二、教学日的1.掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题2.掌握对称变换的特征根、特征向量的性质3.对一个实对称矩阵A，能熟练地找到正交矩阵U，使UTAU为对角形三、重点难点1.对称变换和对称矩阵之间的关系：对称变换的特征根、特征向量的性质2.对实对称矩阵A，能熟练地找到正交矩阵U，使UTAU为对角形

8.4 对称变换和对称矩阵 三、重点难点 1.对称变换和对称矩阵之间的关系;对称变换的特征根、特征向量的性质; 2.对实对称矩阵A，能熟练地找到正交矩阵U，使UTAU 为对角形 一、内容分布 8.4.1 对称变换的定义 8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系 8.4.3 对称变换的性质 二、教学目的 1.掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解 题． 2.掌握对称变换的特征根、特征向量的性质． 3.对一个实对称矩阵A，能熟练地找到正交矩阵U，使UTAU为对角形

1对称变换的定义定义1设?是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V中的任意向量，等式(o(), n)(, 0(n) )成立，那么就称是一个对称变换

1 对称变换的定义 定义1 设σ是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V中的 任意向量ξ,η，等式 〈σ(ξ), η〉=〈ξ, σ(η) 〉 成立，那么就称σ是一个对称变换

定理8.4.1设是n维欧氏空间V的一个对称变换.αj,α2，.…,an是V的任意一个规范正交基，A=(ai）是o关于这个基的矩阵，那么AT=A.即A为对称矩阵证因为o(a,)=ay,aj+a2,a2+.+aman,j-1,2, , n.是对称变换.而α,α2，…,α,是一个规范正交基，所以a,i=(ai;i+a2,a2+..+anian,a,)=(o(a,),a,)=(a, o(a,))=(a, ay,a,+a2ja2++anan)=aj即AT=A.n维欧氏空间的对称变换关于任意规范正交基的矩阵是一个实对称矩阵

定理8.4.1 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换. α1, α2 , ., αn 是V的任意一个规范正交基, A=(aij) 是σ关于这个基的矩阵,那 么AT=A,即A为对称矩阵. 证 因为σ(αj )= a1j α1+a2j α2+⋯+anj αn,j=1,2, ⋯, n. σ是对称变换.而 α1, α2 , ., αn是一个规范正交基, 所以 aji =〈a1i α1+a2i α2+⋯+ani αn, αj 〉=〈σ(αi ),αj 〉 =〈αi , σ(αj )〉 =〈αi ,a1j α1+a2j α2+⋯+anjαn〉=aij 即AT=A. n维欧氏空间的对称变换关于任意规范正交基的矩阵是一个实对称矩阵

2对称变换和对称矩阵之间的关系定理8.4.2设是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果关于一个规范正交基的矩阵是对称矩阵，那么是一个对称变换证设o关于V的一个规范正交基αi,α2，…,α,的矩阵A=(a)是对称的，令=x,α，n=y,α,是V的任意向量。那么xo(a),yα,)-((ana)yα,o(E),n

2 对称变换和对称矩阵之间的关系 定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果σ关于 一个规范正交基的矩阵是对称矩阵，那么σ是一个对称变换. 证 设σ关于V的一个规范正交基α1, α2 , ., αn的矩阵A=(aij) 是对称的，令 ∑ ∑ 是V的任意向量。那么 = = = = n i i i n i xi i y 1 1 ξ α , η α ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = =         = = n j i j n i n k i ki k n j i j n i xi i y x a y 1 1 1 1 1 σ (ξ ),η σ (α ), α α , α

之Eya,auxak?k=li=l-22aixyjj=l(5,0(n)=2≥ayx,yj同样的计算可得(α(5),n)=(5,0(n))=ZZa,x,y)因为a,=ai，所以即是一个对称变换如果n维欧氏空间V的一个线性变换?关于任意规范正交基的矩阵是一个实对称矩阵，则是一个对称变换

∑∑= = = n i n j aij xi y j 1 1 ξ,σ (η) 1 1 1 1 1 , n n n ki i k i j k i j n n ji i j j i ax y a xy = = = = =   =     = ∑∑ ∑ ∑∑ α α 因为aij =aji,所以 ∑∑= = = = n i n j aij xi y j 1 1 σ (ξ ),η ξ,σ (η) 即σ是一个对称变换. 如果n维欧氏空间V的一个线性变换σ关于任意规范正交基的矩阵是一个 实对称矩阵,则σ是一个对称变换. 同样的计算可得

3.对称变换的性质定理8.4.3实对称矩阵的特征根都是实数证设A=(α）是一个n阶实对称矩阵.令入是A在复数域内一个特征根.于是存在不全为零的复数ciC2，….c,使得2

3. 对称变换的性质 定理8.4.3 实对称矩阵的特征根都是实数. 证 设A=(aij)是一个n阶实对称矩阵.令λ是A在复数域内一个 特征根.于是存在不全为零的复数c1, c2 , ., cn使得               =               n cn c c c c c A   2 1 2 1 (2) λ

令c表示c的共轭复数.用矩阵（c，c.c）左乘（2）的两边得CCC2C2(C,C2,...,C.)A=2(Ci,C2,..,Cn)..即22a,e,c,=2c,c,(3)等式（3）两端取轭复数，注意a，是实数.得ace, =c,e,(4)1=

( ) ( )               =               n n n n c c c c c c c c c c c c A     2 1 1 2 2 1 1 2 , , , λ , , , (3) ∑= ∑= ∑= = n i i i n i n j aijci c j c c 1 1 1 λ 等式(3)两端取轭复数，注意aij是实数.得 即 i n i i n i n j ∑∑aijci c j ∑c c = = = = 1 1 1 (4) λ ( ) c c cn , , , 令 ci表示ci 的共轭复数.用矩阵 1 2  左乘(2)的两边得

又因为α,=αj且等式(3)与等式(4)左端相等，因此Ccc,=TZcC三n而c不全为零，所以C是一个正实数，所以元=元i，入是实数由定理8.4.1和定理8.4.3知，n维欧氏空间V的一个对称变换?的本征值都是实数

又因为 aij =aji且等式(3)与等式(4)左端相等，因此 i n i i i n i ∑ci c ∑c c = = = 1 1 λ λ 而ci 不全为零,所以 是一个正实数,所以 ,λ是实数. 1 n i i i c c = ∑ λ = λ 由定理8.4.1和定理8.4.3知，n维欧氏空间V的一个对 称变换σ的本征值都是实数

定理8.4.4n维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交证设是n维欧氏空间的一个对称变换，入，u是o的本征值，且≠u.令和分别是属于入和u的本征向量o(a）=ao(=μ我们有(a,β)=(a,β) =(o(α),β)=(a,o(β))=(a,μβ)=μ(a,β)因为主μ所以必须<α,)=0

定理8.4.4 n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根 的特征向量彼此正交. 证 设σ是n维欧氏空间的一个对称变换，λ,μ是σ的本征值， 且λ ≠ μ.令α和β分别是属于λ和μ的本征向量:σ(α)= λ α,σ(β)= μ β 我们有 λ〈α, β〉 =〈λα, β〉 = 〈σ(α), β〉 = 〈α, σ(β) 〉 = 〈α, μβ〉 = μ〈α, β〉 因为λ ≠ μ, 所以必须〈α, β〉= 0

定理8.4.5设?是n维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V的一个规范正交基，使得?关于这个基的矩阵是实对角形式证对n做数学归纳法.当n=1时时明显的，因为一阶矩阵自然是对角形式设n>1并且假设对于n-1维欧氏空间的对称变换来说定理成立.现在设?是n维欧氏空间的一个对称变换.由定理8.4.3，o的本征值都是实数，令入是的一个本征值，α是V中属于入的一个本征向量，并且可设α，是单位向量：(a,)=1ai,la/=1

定理8.4.5 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V 的一个规范正交基，使得σ关于这个基的矩阵是实对角形式. 证 对n做数学归纳法.当n=1时时明显的,因为一阶矩阵自 然是对角形式. 设n>1并且假设对于n–1维欧氏空间的对称变换来说定 理成立.现在设σ是n维欧氏空间的一个对称变换.由定理 8.4.3, σ的本征值都是实数,令λ是σ的一个本征值, α1是V中 属于λ的一个本征向量,并且可设α1是单位向量: σ(α1)=λα1,|α1|=1