《高等代数》课程教学课件（讲稿）第八章 Euclid空间 8.3 正交变换

8.3正交变换一、内容分布8.3.1正交变换的定义8.3.2正交变换的等价条件8.3.3V，V的正交变换的类型二、教学目的1.掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件2.掌握V.V.的正交变换的全部类型3.掌握并会用正交矩阵的某些性质三、重点难点正交变换的概念及几个等价条件

8.3 正交变换 一、内容分布 8.3.2 正交变换的等价条件 8.3.1 正交变换的定义 1．掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件． 3．掌握并会用正交矩阵的某些性质． 二、教学目的 2．掌握V2,V3的正交变换的全部类型． 三、重点难点 8.3.3 V2 ,V3的正交变换的类型． 正交变换的概念及几个等价条件．

8.3.1正交变换的定义定义1欧氏空间V的一个线性变换?叫做一个正交变换，如果对于任意EV都有1o(1].例1在V里，把每一向量旋转一个角?的线性变换是V.的一个正交变换例2令H是空间V，里过原点的一个平面.对于每一向量EV3，令对于H的镜面反射与它对应.一是V的一个正交变换

8.3.1 正交变换的定义 定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个正交变换，如果 对于任意ξ∈V.都有 |σ(ξ)|=|ξ| . 例2 令H是空间V3里过原点的一个平面.对于每一向量ξ∈V3， 令ξ对于H的镜面反射ξ′与它对应.σ:ξ→ξ′是V3的一个正交变换. 例1 在V2里,把每一向量旋转一个角ϕ的线性变换是V2的一个正 交变换

8.3.2正交变换的等价条件定理8.3.1欧氏空间V的一个线性变换?是正交变换的充分且必要条件是：对于V中任意向量(1)<o(), 0())=(,n)证明月条件的充分性是明显的。因为(1)中取=1，就得到，从而反过来，设是一个正交变换，那么对于EV，我们有0(+)12=+2

8.3.2 正交变换的等价条件 定理8.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换σ是正交变换的充分且 必要条件是：对于V 中任意向量ξ,η， (1) 〈σ(ξ), σ(η)〉=〈ξ,η〉. 证明 条件的充分性是明显的. 因为(1)中取ξ =η，就得到 |σ(ξ)|2=|ξ| 2 ，从而|σ(ξ)|=|ξ|. 反过来，设σ是一个正交变换，那么对于ξ,η∈V，我们有 |σ(ξ+η)|2=|ξ+η| 2

然而o(+n)/2=(o(+n), o(+n) ) =(o()+o(), ()+o(n) )=(o() ,0() ) +(o(n),0(n)) +2(o() ,0(n) )15+n=(5+n,+n)=5,)+<n)+2(n)由于(o(),o())=(,)，<o(n),o(n))=(n,n),比较上面两个等式就得到(o(), 0 (n))=(5,n)

然而 由于〈σ(ξ) ,σ(ξ)〉 =〈ξ ,ξ〉， 〈σ(η) ,σ(η) 〉 =〈η ,η〉 ,比较上面两个等 式就得到 |σ(ξ+η)|2=〈σ(ξ+η), σ(ξ+η) 〉 =〈σ(ξ)+σ(η), σ(ξ)+σ(η) 〉 =〈σ(ξ) ,σ(ξ) 〉 + 〈σ(η) ,σ(η)〉 + 2〈σ(ξ) ,σ(η) 〉 |ξ+η| 2=〈ξ+η, ξ+η〉 =〈ξ,ξ〉 + 〈η ,η〉 + 2〈ξ ,η〉 〈σ(ξ), σ (η)〉=〈ξ,η〉

定理8.3.2设V是一个n维欧氏空间，g是V的一个线性变换.如果是正交变换，那么把V的任意一个规范正交基仍旧变成V的一个规范正交基.反过来，如果把V的某一个规范正交基仍旧变成V的一个规范正交基，那么是V的一个正交变换证设是V的一个正交变换，令{1,?2,…?是V的任意一个规范正交基，由定理8.3.1，J1,i=j((2), 0())=(21,2))=[o,ij因此，(o(2),(2)())是V的一个规范正交基反过来，假设V的一个线性变换把V的某一个规范正交基(12)变成规范正交基(o(21),(22),0()).令

定理8.3.2 设V是一个n维欧氏空间, σ是V的一个线性变换.如 果σ是正交变换,那么σ把V的任意一个规范正交基仍旧变成V的 一个规范正交基.反过来,如果σ把V的某一个规范正交基仍旧 变成V的一个规范正交基，那么σ是V的一个正交变换. 证 设σ是V的一个正交变换,令{γ1, γ2, ⋯, γn}是V的任意一个规 范正交基,由定理8.3.1, 〈σ(γi ), σ(γj )〉=〈γi ,γj 〉= 1 0 i j i j  =   ≠ ， ， 因此,{σ(γ1), σ(γ2), ⋯, σ(γn)}是V的一个规范正交基. 反过来,假设V的一个线性变换σ把V的某一个规范正交基 {γ1, γ2, ⋯, γn}变成规范正交基{σ(γ1), σ(γ2), ⋯, σ(γn)}.令

E=Xi2i+X2/2+..+xnnEV我们有10()/2=(0(3), 0(2))=(x10(1)+x20(72)+ .+xno(n), X10(1)+x20(v2)+ ...+xn0(n) )=x2+x22+.+x,2=1=12所以?是正交变换

ξ =x1γ1+x2γ2+ ⋯+xnγn ∊V. 我们有 |σ(ξ)|2 = 〈σ(ξ), σ(ξ)〉 =〈x1σ(γ1)+x2σ(γ2)+ ⋯+xnσ(γn), x1σ(γ1)+x2σ(γ2)+ ⋯+xnσ(γn)〉 =x1 2+x2 2+ ⋯+xn 2=|ξ|2 所以σ是正交变换

定理8.3.3n维欧氏空间V的一个正交变换?关于V的任意规范正交基的矩阵是一个正交矩阵，反过来，如果V的一个线性变换关于V的某一个规范正交基的矩阵是一个正交矩阵，那么6是V的一个正交变换证设?是n维欧氏空间V的一个正交变换.取定V的一个规范正交基（1,2m.令关于这个基的矩阵是U=（u），那么o(v)=uj,i+u2jl2+...+unj?n,j-1,2,..n由于(21"2,…是规范正交基，所以o(1),(>2),…,(n)也是规范正交基.由定理8.2.6，U是一个正交矩阵

定理8.3.3 n维欧氏空间V的一个正交变换σ关于V的任意规范正 交基的矩阵是一个正交矩阵. 反过来,如果V的一个线性变换σ 关于V的某一个规范正交基的矩阵是一个正交矩阵,那么σ是V 的一个正交变换. 证 设σ是n维欧氏空间V的一个正交变换.取定V的一个规范正 交基{γ1, γ2, ⋯, γn}.令σ关于这个基的矩阵是U=(uij),那么 σ(γj )=u1j γ1+u2j γ2+⋯+unjγn , j=1,2, ⋯n 由于{γ1, γ2, ⋯, γn}是规范正交基,所以σ(γ1), σ(γ2), ⋯, σ(γn)也是 规范正交基.由定理8.2.6, U是一个正交矩阵

反过来，如果n维欧氏空间V的一个线性变换?关于V的某一个规范正交基（21,22?m的矩阵U=（ui）是一个正交矩阵，那么o(v)=uyji+u2l2+..+unjn,j=1,2,n并且[1,i=jZuuug=o,i+jk=l于是(o(v),o()-(uii+u2il2+..+unin,uji+u2jl2+..+unjn)[1,i=junugo,ijk=l

反过来,如果n维欧氏空间V 的一个线性变换σ关于V的某一 个规范正交基{γ1, γ2, ⋯, γn}的矩阵U=(uij)是一个正交矩阵,那 么 σ(γj )=u1j γ1+u2j γ2+⋯+unjγn , j=1,2, ⋯n 并且 1 1 0 n ki kj k i j u u i j =  = =   ≠ ∑ ， ， 于是 〈σ(γi ) ,σ (γj )〉=〈u1i γ1+u2i γ2+⋯+uniγn , u1j γ1+u2j γ2+⋯+unjγn 〉 1 1 0 n ki kj k i j u u i j =  = = =   ≠ ∑ ，

因此(o(21),(>2),0(））是V的一个规范正交基.由定理8.3.2，0是V的一个正交变换

因此{σ(γ1), σ(γ2), ⋯, σ(γn)} 是V的一个规范正交基.由定理8.3.2, σ是V的一个正交变换

8.3.3V,V的正交变换的类型设是V的一个正交变换，关于V，的一个规范正交基（22的矩阵是那么U是一个正交矩阵．于是(2)a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd-0由第一个等式，存在一个角α，使a=cosα,c=±sinα

8.3.3 V2 ,V3的正交变换的类型         = c d a b U 设σ是V2的一个正交变换,σ关于V2 的一个规范正交基{γ1, γ2}的矩阵是 由第一个等式，存在一个角α，使 a = cos α，c = ±sinα 那么U 是一个正交矩阵. 于是 (2) a2+c2=1,b2+d 2=1,ab+cd=0