北京大学：《群论》课程教学资源（讲义，共六章，物理学院：李新征）

课程导言任何一门课开始的时候都会有一个课程导言，讲这门课的基本情况。这里不例外，我们按下面五句展开：1）群论课程性质与特点；2）教材情况与需要的基础知识；3）教学内容；4）什么是群论；5）群论的历史以及在近代物理学、化学研究中的应用。这部分是这门课最轻松的地方，因为有历史、不枯燥。但《群论》从本质上是一门数学，群、环、域这些概念本身就是近世代数里面的基本语言，群论本身更是在十九世纪末彻底发展起来的一个近世代数的分支。二十世纪初，随着EmmyNoether（诺特，女，1882-1935，德国犹太人）就一个物理系统的对称性与它的守恒量之间关系的认识（1915年的工作，发表于1918年，原始文献[1])、量子力学的发展、以及EugenePaulWigner（魏格纳，1902-1995，匈牙利人，后期加入美国籍）和HermannKlausHugoWeyl（外尔，1885-1955，德国人）在建立量子力学数学基础的过程中对对称性原理的使用[2-4]，人们逐渐认识到群论作为一门数学在物理学研究中的作用。再后来物理学发展中人们所使用的规范场（gauge）的方法，是这些研究的进一步延伸（后面我们会稍微展开讨论)。因此，不夸张地说，群论学习是我们物理学专业学生在从事具体研究工作前所受基础教育中必不可少的环节。这是群论课程特点在数学和物理方面的体现。在我们的兄弟学科化学上，在量子力学建立后，敏锐的理论化学家们，以Linus Carl Pauling（鲍林）为代表2

iv 课程导言 任何一门课开始的时候都会有一个课程导言，讲这门课的基本情况。这里不 例外，我们按下面五句展开： 1）群论课程性质与特点； 2）教材情况与需要的基础知识； 3）教学内容； 4）什么是群论； 5）群论的历史以及在近代物理学、化学研究中的应用。 这部分是这门课最轻松的地方，因为有历史、不枯燥。但《群论》从本质上 是一门数学，群、环、域这些概念本身就是近世代数里面的基本语言，群论本身 更是在十九世纪末彻底发展起来的一个近世代数的分支。二十世纪初，随着 Emmy Noether（诺特，女，1882-1935，德国犹太人）就一个物理系统的对称性 与它的守恒量之间关系的认识（1915 年的工作，发表于 1918 年，原始文献[1]）、 量子力学的发展、以及 Eugene Paul Wigner（魏格纳，1902-1995，匈牙利人，后 期加入美国籍）和 Hermann Klaus Hugo Weyl（外尔，1885-1955，德国人）在建 立量子力学数学基础的过程中对对称性原理的使用[2-4]，人们逐渐认识到群论作 为一门数学在物理学研究中的作用。再后来物理学发展中人们所使用的规范场 （gauge）的方法，是这些研究的进一步延伸（后面我们会稍微展开讨论）。因此， 不夸张地说，群论学习是我们物理学专业学生在从事具体研究工作前所受基础教 育中必不可少的环节。 这是群论课程特点在数学和物理方面的体现。在我们的兄弟学科化学上，在 量子力学建立后，敏锐的理论化学家们，以 Linus Carl Pauling（鲍林）为代表

已经认识到化学分子的存在形式以及化学反应的发生本质上是由量子力学与统计物理基本原理支配的。既然对称性在量子力学中具备上述重要性，与之相应在描述由量子力学基本原理所决定的反应物、过渡态、生成物特性（比如电子能级、振动谱等）描述中，对称性原理的数学语言（即群论）必然也会发挥重要的作用。因此，在近代化学（特别是物理化学）的研究中，人们也认识到由对称性决定的内在规律对人们理解这些物性与过程的本质至关重要。换句话，要想真正地在分子设计的层面理解化学1，对称性的知识同样必不可少。因为这些原因，群论应该说是为数不多的这样一门课：在好一些的大学的数学系、物理系、化学系的课程设置中都有涉及。当然，不同的系会有不同的侧重点。数学系会侧重这门课的数学属性，高一个层面，是我们在物理和化学中展开应用的基础。而物理和化学系的同学，如果想理解这些应用，必须首先理解这门课的数学基础部分（说白了就是掌握语言），再进行实例分析。物理系的同学就专业不同，所需掌握内容也会不同。以凝聚态、光学专业的同学为例，需要掌握的内容绝大部分集中于有限群理论部分，当然也需要转动群与双群的知识，这些在《群论一》课程中均有涉及。如想进一步理解规范场理论（连续变换下的对称性与某守恒量的关系），李群也应适度学习。而对于理论物理专业的同学特别是粒子物理专业的同学，李群部分的内容掌握也是必需。化学学院中理论化学1化学的本质是分子设计，这个可以说是自前多数人对化学的理解。此理解最早的提出署应该也是Linus Pauling教授。北京大学化学学院的全称是化学与分子工程学院，其内在涵义也在这个地方。我想这个和唐有祺先生早期是Linus Pauling的博士应该有一定关系。此观点与化学学院的部分老师进行过交流，放在这里供大家参考

已经认识到化学分子的存在形式以及化学反应的发生本质上是由量子力学与统 计物理基本原理支配的。既然对称性在量子力学中具备上述重要性，与之相应， 在描述由量子力学基本原理所决定的反应物、过渡态、生成物特性（比如电子能 级、振动谱等）描述中，对称性原理的数学语言（即群论）必然也会发挥重要的 作用。因此，在近代化学（特别是物理化学）的研究中，人们也认识到由对称性 决定的内在规律对人们理解这些物性与过程的本质至关重要。换句话，要想真正 地在分子设计的层面理解化学1，对称性的知识同样必不可少。 因为这些原因，群论应该说是为数不多的这样一门课：在好一些的大学的数 学系、物理系、化学系的课程设置中都有涉及。当然，不同的系会有不同的侧重 点。数学系会侧重这门课的数学属性，高一个层面，是我们在物理和化学中展开 应用的基础。而物理和化学系的同学，如果想理解这些应用，必须首先理解这门 课的数学基础部分（说白了就是掌握语言），再进行实例分析。物理系的同学， 就专业不同，所需掌握内容也会不同。以凝聚态、光学专业的同学为例，需要掌 握的内容绝大部分集中于有限群理论部分，当然也需要转动群与双群的知识，这 些在《群论一》课程中均有涉及。如想进一步理解规范场理论（连续变换下的对 称性与某守恒量的关系），李群也应适度学习。而对于理论物理专业的同学特别 是粒子物理专业的同学，李群部分的内容掌握也是必需。化学学院中理论化学、 1 化学的本质是分子设计，这个可以说是目前多数人对化学的理解。此理解最早的提出者应该 也是 Linus Pauling 教授。北京大学化学学院的全称是化学与分子工程学院，其内在涵义也在 这个地方。我想这个和唐有祺先生早期是 Linus Pauling 的博士应该有一定关系。此观点与化 学学院的部分老师进行过交流，放在这里供大家参考

物理化学专业同学所需掌握内容与物理学院中凝聚态物理、光学专业类似，以有限群部分内容为主。不管哪个具体专业，要想理解群论在其关心的具体问题中的应用，“掌握这些应用的数学基础”（具体而言就是“群基础理论”与“群表示理论”两部分内容）都是第一步。因此，我们这门课的前1/3部分本质上就是数学性质的讲解。就课程特点来说这部分是比较枯燥的。如果没有学进去，到了后半部分我们讨论应用的时候，你就是在听一门没完全学过的外语。因此，必须说明：如果想学这门课的话，前面两章必须啃下，否则别学！与此同时，在学习之前，笔者还需说明：在后面的实例说明中，笔者会讲到一些我们现在物理学研究中用到的例子。理解这些例子，对于这门课的学习是和掌握理论基础同样重要的目标！因为没有这些例子，你不可能理解到学习这些东西有什么用？要掌握这部分内容，我们需要的课程储备是《量子力学》与《固体物理》，没有选过这两门课，也干万别看这本书和选这门课，这个是由课程的特点决定的，需要尊重！关于教材，前三年我都是基于其他老师的教材手写自己的讲义，每年重复并更新。第四年把讲义的电子版整理出来，之后每年改进，但整体还比较肤浅。具体的、深入的讨论大家可以参考：1.韩其智、孙洪洲《群论》北京大学出版社2.王宏利《群论讲义》（未出版，网上可以找到）3.徐婉棠、喀兴林《群论及其在固体物理中的应用》高等教育出版社4. M.S.Dresselhaus, G.Dresselhaus, A.Jorio,《Group Theory:Applications tothe Physics ofCondensed Matter》. SpringerM

vi 物理化学专业同学所需掌握内容与物理学院中凝聚态物理、光学专业类似，以有 限群部分内容为主。 不管哪个具体专业，要想理解群论在其关心的具体问题中的应用，“掌握这 些应用的数学基础”（具体而言就是“群基础理论”与“群表示理论”两部分内 容）都是第一步。因此，我们这门课的前 1/3 部分本质上就是数学性质的讲解。 就课程特点来说这部分是比较枯燥的。如果没有学进去，到了后半部分我们讨论 应用的时候，你就是在听一门没完全学过的外语。因此，必须说明：如果想学这 门课的话，前面两章必须啃下，否则别学！ 与此同时，在学习之前，笔者还需说明：在后面的实例说明中，笔者会讲到 一些我们现在物理学研究中用到的例子。理解这些例子，对于这门课的学习是和 掌握理论基础同样重要的目标！因为没有这些例子，你不可能理解到学习这些东 西有什么用？要掌握这部分内容，我们需要的课程储备是《量子力学》与《固体 物理》，没有选过这两门课，也千万别看这本书和选这门课，这个是由课程的特 点决定的，需要尊重！ 关于教材，前三年我都是基于其他老师的教材手写自己的讲义，每年重复并 更新。第四年把讲义的电子版整理出来，之后每年改进，但整体还比较肤浅。具 体的、深入的讨论大家可以参考： 1. 韩其智、孙洪洲 《群论》 北京大学出版社 2. 王宏利 《群论讲义》 （未出版，网上可以找到） 3. 徐婉棠、喀兴林 《群论及其在固体物理中的应用》 高等教育出版社 4. M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio, 《Group Theory: Applications to the Physics of Condensed Matter》. Springer

5.ZhongqiMa,《GroupTheoryforPhysicists》,World Scientific这五本是课程主要参考如果想扩展阅读，也可参考：6.马中骐《物理学中的群论》科学出版社（上面那本书的中文版）7.Anthony Zee,《Group Theory in a Nutshell for Physicists》,PrincetonUniversityPress，（徐一鸿，科普读物中经常称为阿热，题目大意为：物理学家眼中的群论简言，inanutshell 本意是：一言以蔽之，简约的)8.Wu-KiTung（董无极）《GroupTheory inPhysics》世图有影印版9.F.Albert Cotton,《Chemical Applications ofGroup Theory》,John Willey&Sons.Inc（化学家写的群论中的经典，对读者很友善）10.陶瑞宝《物理学中的群论》高等教育出版社（这本书很全，包含了很多群论在物理中的应用，理论性也很强11.张端明、李小刚、何敏华《应用群论》科学出版社12.俞文海《晶体结构的对称群》科大出版社其中阿热先生的书是在此讲义基本定型后才有幸研读，看完诸多体会。如果能早日看到，讲义本身质量应该会有很大提升。前言的第三部分是课程的内容。主体是下面六章：1）群的基础知识、2）群表示理论、3）点群和空间群、4）群论与量子力学、5）转动群、6）置换群。其中前两章是基础，提供我们在进行后面的讨论的时候必须用到的“语言”，是我们的基本交流工具。在这两章学完之后，下面两个章节是3）点群与空间群，4)群论与量子力学。其中点群、空间群是我们在分子、团簇、凝聚态体系中遇到的群，关于它们的性质自然是我们学习的重点。群论与量子力学这一章，在现行教课书中并没有一个统一的路子。但笔者认为是我们这门课里最重要、最有用的部

5. Zhongqi Ma, 《Group Theory for Physicists》, World Scientific 这五本是课程主要参考如果想扩展阅读，也可参考： 6. 马中骐 《物理学中的群论》 科学出版社（上面那本书的中文版） 7. Anthony Zee, 《Group Theory in a Nutshell for Physicists》, Princeton University Press. （徐一鸿，科普读物中经常称为阿热，题目大意为：物理学家眼 中的群论简言，in a nutshell 本意是：一言以蔽之，简约的） 8. Wu-Ki Tung (董无极) 《Group Theory in Physics》世图有影印版 9．F. Albert Cotton, 《Chemical Applications of Group Theory》, John Willey & Sons. Inc（化学家写的群论中的经典，对读者很友善） 10. 陶瑞宝 《物理学中的群论》 高等教育出版社（这本书很全，包含了 很多群论在物理中的应用，理论性也很强） 11. 张端明、李小刚、何敏华 《应用群论》 科学出版社 12. 俞文海 《晶体结构的对称群》 科大出版社 其中阿热先生的书是在此讲义基本定型后才有幸研读，看完诸多体会。如果 能早日看到，讲义本身质量应该会有很大提升。 前言的第三部分是课程的内容。主体是下面六章：1) 群的基础知识、2) 群 表示理论、3) 点群和空间群、4) 群论与量子力学、5) 转动群、6) 置换群。其 中前两章是基础，提供我们在进行后面的讨论的时候必须用到的“语言”，是我 们的基本交流工具。在这两章学完之后，下面两个章节是 3) 点群与空间群，4) 群论与量子力学。其中点群、空间群是我们在分子、团簇、凝聚态体系中遇到的 群，关于它们的性质自然是我们学习的重点。群论与量子力学这一章，在现行教 课书中并没有一个统一的路子。但笔者认为是我们这门课里最重要、最有用的部

分！大家学完这门课之后，有时间的话一定要不断地阅读和这部分相关的教科书（特别是Dresselhaus那本），这是加深我们对这门课理解的关键！此部分内容有点像金庸小说中常提到的任督二脉，掌握好了，能在科研中合理运用群论，课程学习才成功，科研也会做得更好（Dresselhaus本人就是一个最好的例子)。剩下的两章，转动群不说大家也能感受到它的重要，早期的原子体系和很多现在还在用的中心力场理想体系都具备这样的对称性。此讲义主要关注的主体是有限群，转动群本质上是一个连续群，但它的一些最基本的属性我们在不学习《群论二》的情况下也能理解。如果你以后做和电子自旋相关的研究，背后的物理基本也在这部分内容中。置换群是一种有限群，也是在全同粒子体系普遍存在的一种对称群。我们的课程内容会覆盖到从置换群的基本特性、到其分类（杨图）、在到其不等价不可约表示分类（杨盘定理）、以及简单的如何求置换群的表示这些内容。对于不学理论物理的同学，一般我们用不上。对学理论并且要选《群论二》的同学，这些基本的理论储备应该也够，深入的讲解你们下个学期会接触。上面说的课程内容都可以直接由章节的题目反映出来。大家如果看其它教材的话，其实还会注意到两个东西，我们目前还没有提及：一个叫投影算符、一个叫幂等元，这两者有些联系。在我们的讲义中，分别会在第四章和第六章用到之前作介绍，不单独把它们作为一章来讲。导言的第四部分我们想说的是一个具体的问题：什么是群论？要明白这个问题的话我们可以先想一下什么是“群论”中的“群”。这个对应的英语的词源是grouptheory中的group，汉语的翻译很贴切，就是“群”这个字。汉字拆分，可以把它分为两个部分，一个“君”、一个“羊”，背后隐藏的一个逻辑就是一个君管理了一群羊。在这里羊是一个集合，而君不单指一个人，更Vii

viii 分！大家学完这门课之后，有时间的话一定要不断地阅读和这部分相关的教科书 （特别是 Dresselhaus 那本），这是加深我们对这门课理解的关键！此部分内容有 点像金庸小说中常提到的任督二脉，掌握好了，能在科研中合理运用群论，课程 学习才成功，科研也会做得更好（Dresselhaus 本人就是一个最好的例子）。 剩下的两章，转动群不说大家也能感受到它的重要，早期的原子体系和很多 现在还在用的中心力场理想体系都具备这样的对称性。此讲义主要关注的主体是 有限群，转动群本质上是一个连续群，但它的一些最基本的属性我们在不学习《群 论二》的情况下也能理解。如果你以后做和电子自旋相关的研究，背后的物理基 本也在这部分内容中。置换群是一种有限群，也是在全同粒子体系普遍存在的一 种对称群。我们的课程内容会覆盖到从置换群的基本特性、到其分类（杨图）、 在到其不等价不可约表示分类（杨盘定理）、以及简单的如何求置换群的表示这 些内容。对于不学理论物理的同学，一般我们用不上。对学理论并且要选《群论 二》的同学，这些基本的理论储备应该也够，深入的讲解你们下个学期会接触。 上面说的课程内容都可以直接由章节的题目反映出来。大家如果看其它教材 的话，其实还会注意到两个东西，我们目前还没有提及：一个叫投影算符、一个 叫幂等元，这两者有些联系。在我们的讲义中，分别会在第四章和第六章用到之 前作介绍，不单独把它们作为一章来讲。 导言的第四部分我们想说的是一个具体的问题：什么是群论？ 要明白这个问题的话我们可以先想一下什么是“群论”中的“群”。这个对 应的英语的词源是 group theory 中的 group，汉语的翻译很贴切，就是“群”这个 字。汉字拆分，可以把它分为两个部分，一个“君”、一个“羊”，背后隐藏的一 个逻辑就是一个君管理了一群羊。在这里羊是一个集合，而君不单指一个人，更

代表一个管理者。他/她和羊在一起，大家可以理解为一个“具有一定结构特征的集合”，因为“君”这个管理者就是要给你这个集合建立一个结构特征，并且要利用这个结构特征去实施管理的。而群论呢？很自然的就是：研究这个集合的结构特征及其生成的规律的一门学科。根据这个理解，我们回到前面提到的课程内容，很自然，我们就可以简单理解一下刚才讲到的各章都是干什么的？1.群的基础知识：集合总体的结构特征及其规律2.群表示理论：对这些规律进行数学描述要用到的数学语言（基础是线性代数）；3．点群、空间群：人们面对分子、晶体系统的时候，系统具有的对称性操作的集合。它们是我们在掌握前两章（群论的理论基础）后面对的第一类具体的群；4.群论和量子力学：群论在近代的物理、化学等学科研究中的应用5.转动群：是中心力场系统的对称群（物理体系中的一类对称群）；6.置换群：是全同粒子系统的对称群（物理体系中的一类对称群）。根据这个理解，我们同时还很容易明白群论从本质上而言是研究数的结构及其生成规律的，是数学，不是物理。我们物理研究的是物质运动的内在规律，一般先强调“物”，针对“物”来理解“理”。而群论这门学科发展的初期，是人们对一些“理”的认识，这些“理”是“数理”，不是“物理"。人们基于对这些“数理”的认识，建立起了一套理论。后来人们又逐渐意识到它在物理、化学上有很大的用途，才开始要求物理、化学这些专业背景的人来学习，以期对本学科中的问题有更深入的认识

代表一个管理者。他/她和羊在一起，大家可以理解为一个“具有一定结构特征 的集合”，因为“君”这个管理者就是要给你这个集合建立一个结构特征，并且 要利用这个结构特征去实施管理的。而群论呢？很自然的就是：研究这个集合的 结构特征及其生成的规律的一门学科。 根据这个理解，我们回到前面提到的课程内容，很自然，我们就可以简单理 解一下刚才讲到的各章都是干什么的？ 1. 群的基础知识：集合总体的结构特征及其规律； 2. 群表示理论：对这些规律进行数学描述要用到的数学语言（基础是线性 代数）； 3. 点群、空间群：人们面对分子、晶体系统的时候，系统具有的对称性操作 的集合。它们是我们在掌握前两章（群论的理论基础）后面对的第一类 具体的群； 4. 群论和量子力学：群论在近代的物理、化学等学科研究中的应用； 5. 转动群：是中心力场系统的对称群（物理体系中的一类对称群）； 6. 置换群：是全同粒子系统的对称群（物理体系中的一类对称群）。 根据这个理解，我们同时还很容易明白群论从本质上而言是研究数的结构及 其生成规律的，是数学，不是物理。我们物理研究的是物质运动的内在规律，一 般先强调“物”，针对“物”来理解“理”。而群论这门学科发展的初期，是人们 对一些“理”的认识，这些“理”是“数理”，不是“物理”。人们基于对这些“数 理”的认识，建立起了一套理论。后来人们又逐渐意识到它在物理、化学上有很 大的用途，才开始要求物理、化学这些专业背景的人来学习，以期对本学科中的 问题有更深入的认识

就教学而言，物理上教《群论》的老师分两拨。一拨是做得比较理论的老师。相应教材的特点是严格、抽象、深入。另一拨是做物质科学相关研究的，相应教材比较直观、便于理解，但内容不包括《群论二》的部分。笔者的背景是后者，此讲义只希望将《群论一》讲清楚。至此，《群论》是什么样的一门课大家应该有些概念了。但在学之前，出于好奇，可能我们还是想知道一下作为一门学科《群论》是如何发展起来的？它现在处在一个什么样的位置？这个就把我引到了我在引言中想解释的第五句话：群论的历史以及在物理和化学中的应用。前面提到，群论是近世代数的一个重要的分支，它是在19世纪发展起来的。在发展的初期，数学上的另外三个分支是基础。这三个分支分别是：1）几何学，从19世纪开始，有个德国数学家，叫AugustFerdinandMobius（莫比乌斯，1790-1865，德国人）。他在研究一些非欧几何的问题的时候，就开始使用了一些对称操作的概念。和莫比乌斯相关的另外一个我们现在用的比较多的概念是莫比乌斯环，就是把一个纸条连成环的过程中翻一下，这样的一个环和正常的环比起来就不再有A、B面了。这个概念在拓扑上比较有用；2）数论，这个是在18世纪下半叶，欧拉在研究数论中的模算术的时候，用到过一些群论中尚处在维形阶段的概念；3）第三个基础是代数方程理论。应该说是它直接导致了群论作为一门学科的诞生。更准确地说就是人们在求解一元高次方程根式解的时候，引入了置换群的概念，进而建立起了群论这个理论体系。现在，人们会认为由这三个方面研究所诱发出来的群论是近世代数（抽象代数）中很重要的部分，并把它作为十九世纪最伟大的数学成就来看待

x 就教学而言，物理上教《群论》的老师分两拨。一拨是做得比较理论的老师。 相应教材的特点是严格、抽象、深入。另一拨是做物质科学相关研究的，相应教 材比较直观、便于理解，但内容不包括《群论二》的部分。笔者的背景是后者， 此讲义只希望将《群论一》讲清楚。 至此，《群论》是什么样的一门课大家应该有些概念了。但在学之前，出于 好奇，可能我们还是想知道一下作为一门学科《群论》是如何发展起来的？它现 在处在一个什么样的位置？这个就把我引到了我在引言中想解释的第五句话：群 论的历史以及在物理和化学中的应用。 前面提到，群论是近世代数的一个重要的分支，它是在 19 世纪发展起来的。 在发展的初期，数学上的另外三个分支是基础。这三个分支分别是： 1) 几何学，从 19 世纪开始，有个德国数学家，叫 August Ferdinand Möbius （莫比乌斯，1790-1865，德国人）。他在研究一些非欧几何的问题的时候，就开 始使用了一些对称操作的概念。和莫比乌斯相关的另外一个我们现在用的比较多 的概念是莫比乌斯环，就是把一个纸条连成环的过程中翻一下，这样的一个环和 正常的环比起来就不再有 A、B 面了。这个概念在拓扑上比较有用； 2) 数论，这个是在 18 世纪下半叶，欧拉在研究数论中的模算术的时候，用 到过一些群论中尚处在雏形阶段的概念； 3) 第三个基础是代数方程理论。应该说是它直接导致了群论作为一门学科 的诞生。更准确地说就是人们在求解一元高次方程根式解的时候，引入了置换群 的概念，进而建立起了群论这个理论体系。 现在，人们会认为由这三个方面研究所诱发出来的群论是近世代数（抽象代 数）中很重要的部分，并把它作为十九世纪最伟大的数学成就来看待

而关于这个学科诞生的细节很数学。想真正理解的话，需要对抽象代数这门课有深刻的认识（笔者自己曾经尝试着去看了一些，花了很大精力，但最后发现这个确实超出能力范围)。这里跟大家分享的，只是一些hand-waving（没有坚实的理论基础，试图显得有效，但并没有触及实质内容）的认识。刚才提到，最直接的导致群论诞生的诱因是代数方程理论的发展。代数方程大家都知道，一元一次的是ax+b=0，一元二次的是ax2+bx+c=0。它们的解析根式解我们在中学的时候就学过一元三次方程和一元四次方程有没有和它们类似的根式解？答案：有。对一元三次和四次方程，早期人们是可以利用配方和换元的方法把它们变成低次方程来求解的。比方说ar3+bx2+cx+d=0这样一个式子，a+0。人们怎么做呢？先换元，取y=×+%，把它代入上式，企图把x的一般的一元三次方程变成y的一元三次方程。而这个y的一元三次方程，不再是一个一般的一元三次方程而是具有特殊形式的一元三次方程。过程如下：a()+()+()+=0a(y3-by2 +b2)b2bb)+(-)+α=0)+b(2-3av+9az)y* -+ 3az-27a)+（-题)(+%-2)。3a)二次项不见了，一元三次方程变成了y+py+q=0，这里p、q都是由a、b、c、d确定的常数。而这样的一个特殊形式的一元三次方程，是有根式解的。这个里面有个故事，时间是16世纪，地点是意大利。当时在欧洲的数学界，去寻求

而关于这个学科诞生的细节很数学。想真正理解的话，需要对抽象代数这门 课有深刻的认识（笔者自己曾经尝试着去看了一些，花了很大精力，但最后发现 这个确实超出能力范围）。这里跟大家分享的，只是一些 hand-waving（没有坚实 的理论基础，试图显得有效，但并没有触及实质内容）的认识。 刚才提到，最直接的导致群论诞生的诱因是代数方程理论的发展。代数方程， 大家都知道，一元一次的是 ax + b=0，一元二次的是 ax 2+bx+c=0。它们的解析根 式解我们在中学的时候就学过。 一元三次方程和一元四次方程有没有和它们类似的根式解？ 答案：有。 对一元三次和四次方程，早期人们是可以利用配方和换元的方法把它们变成 低次方程来求解的。 比方说 ax 3+bx 2+cx+d=0 这样一个式子，a≠0。人们怎么做呢？ 先换元，取𝑦 = 𝑥 + b 3a，把它代入上式，企图把𝑥的一般的一元三次方程变成 𝑦的一元三次方程。而这个𝑦的一元三次方程，不再是一个一般的一元三次方程， 而是具有特殊形式的一元三次方程。过程如下： a (𝑦 − b 3a) 3 + b (𝑦 − b 3a) 2 + c (𝑦 − b 3a) + d = 0 a (𝑦 3 − b a 𝑦 2 + b 2 3a 2 𝑦 − b 3 27a 3 ) + b (𝑦 2 − 2b 3a 𝑦 + b 2 9a 2 ) + c (𝑦 − b 3a) + d = 0 a𝑦 3 + (c − b 2 3a ) 𝑦 + (d + 2b2 27a 2 − bc 3a) = 0 二次项不见了，一元三次方程变成了 y 3+py+q=0，这里 p、q 都是由 a、b、 c、d 确定的常数。而这样的一个特殊形式的一元三次方程，是有根式解的。这个 里面有个故事，时间是 16 世纪，地点是意大利。当时在欧洲的数学界，去寻求

一元三次方程的解是一个时尚，就像我们现在物理学界对高温超导机制的研究一样2。因为当时的历史背景是文艺复兴（Renaissance)，所以在学术上最活跃的地区很自然的就是意大利（大家可以去想，哥白尼、布鲁诺、伽利略这三个现代科学的鼻祖里，两个意大利人，一个哥白尼是波兰人，但基本在意大利生活)。代表人物有两个，NiccoloFontana（冯塔纳，1499-1557）和GirolamoCardano（卡尔达诺，也叫卡丹，1501-1576)。传说第一个想出这个特殊方程根式解是冯塔纳但此君比较喜欢通过故弄玄虚来显示自己的聪明，不把话说明。因此，虽然当时有很多人相信他会解这个方程，但没有任何文献记录（当时的出版业并没有现在这么发达，不然一个arXiv就解决问题了）。而卡丹呢，比较低调务实，传说中他跟冯塔纳讨教过，这个冯塔纳用很隐晦的语言进行了提示，但他认为以卡丹的悟性根本理解不了。但结果是人家愣把它想明白了，并且在他的著作《大术》（ArsMagna，1545）中给了一些详细的解释。因为这个，现在我们在讨论一元三次方程的根式解的时候，想到的第一个人物往往是卡丹，只是在很少的文献中才会对当时冯塔纳的工作有所提及。上面那个特殊一元三次方程的解，人们也习惯于叫卡丹公式：-+)+(*+--+yi=[() +() +a2:-2- J(2) +()Y2 = W :2当时人们经常针对类似问题进行数学比武。友

xii 一元三次方程的解是一个时尚，就像我们现在物理学界对高温超导机制的研究一 样2。因为当时的历史背景是文艺复兴（Renaissance），所以在学术上最活跃的地 区很自然的就是意大利（大家可以去想，哥白尼、布鲁诺、伽利略这三个现代科 学的鼻祖里，两个意大利人，一个哥白尼是波兰人，但基本在意大利生活）。代 表人物有两个，Niccolo Fontana（冯塔纳，1499-1557）和 Girolamo Cardano（卡 尔达诺，也叫卡丹，1501-1576）。传说第一个想出这个特殊方程根式解是冯塔纳， 但此君比较喜欢通过故弄玄虚来显示自己的聪明，不把话说明。因此，虽然当时 有很多人相信他会解这个方程，但没有任何文献记录（当时的出版业并没有现在 这么发达，不然一个 arXiv 就解决问题了）。而卡丹呢，比较低调务实，传说中他 跟冯塔纳讨教过，这个冯塔纳用很隐晦的语言进行了提示，但他认为以卡丹的悟 性根本理解不了。但结果是人家愣把它想明白了，并且在他的著作《大术》（Ars Magna，1545）中给了一些详细的解释。因为这个，现在我们在讨论一元三次方 程的根式解的时候，想到的第一个人物往往是卡丹，只是在很少的文献中才会对 当时冯塔纳的工作有所提及。上面那个特殊一元三次方程的解，人们也习惯于叫 卡丹公式： 𝑦1 = √− 𝑞 2 + √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 + √− 𝑞 2 − √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 𝑦2 = 𝜔 ∙ √− 𝑞 2 + √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 + 𝜔 2 ∙ √− 𝑞 2 − √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 2当时人们经常针对类似问题进行数学比武

++--+4Y3 = w2. +2这个里面w=-1+V3i。这个是关于一元三次方程根式解的故事。过程其实已经很麻烦了，不然不会让冯塔纳犯那个错误。对一元四次，之后人们又用相似方法做了努力，由卡丹的学生LodovicoFerrari（费拉里，1522-1565，意大利人）给出了根式解，这个结果也是在卡丹的那本1545年的《ArsMagna》里面发表的。那么五次、六次及其以上又是什么情况呢？同样，在1545年以后也继续成为欧洲数学界的时尚。但两百年过去了，却始终没有任何进展。34+121I dare you tofindasolution图0.1一元高次方程根式解当这个问题有下一步进展的时候，也就到了我们《群论》作为一门学科出现的时候了。这个前后发展的时间有一百多年，从1770年代开始，到19世纪未结束。其中的代表人物包括Joseph-LouisLagrange（拉格朗日，1736-1813，意大利人，绝大部分时间工作在德国与法国)、PaoloRuffini（鲁菲尼，1765-1822，意大利人）、EvaristeGalois（迦罗瓦，1811-1832，法国人）、NielsHenrikAbel（阿贝尔，1802-1829，挪威人）、ArthurCayley（凯莱，1821-1895，英国人）、FerdinandGeorgFrobenius（费罗贝尼乌斯，1849-1917，德国人）、WilliamBurnside（勃恩赛德，1852-1927，英国人）、FriedrichHeinrichSchur（舒尔，1856-1932，德国人）、MariusSophusLie（李，1842-1899，挪威人）这些数学家。其中前面这些人（到

𝑦3 = 𝜔 2 ∙ √− 𝑞 2 + √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 + 𝜔 ∙ √− 𝑞 2 − √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 这个里面𝜔 = −1 + √3i。 这个是关于一元三次方程根式解的故事。过程其实已经很麻烦了，不然不会 让冯塔纳犯那个错误。对一元四次，之后人们又用相似方法做了努力，由卡丹的 学生 Lodovico Ferrari（费拉里，1522-1565，意大利人）给出了根式解，这个结果 也是在卡丹的那本 1545 年的《Ars Magna》里面发表的。那么五次、六次及其以 上又是什么情况呢？同样，在 1545 年以后也继续成为欧洲数学界的时尚。但两 百年过去了，却始终没有任何进展。 图 0.1 一元高次方程根式解 当这个问题有下一步进展的时候，也就到了我们《群论》作为一门学科出现 的时候了。这个前后发展的时间有一百多年，从 1770 年代开始，到 19 世纪末结 束。其中的代表人物包括 Joseph-Louis Lagrange（拉格朗日，1736-1813，意大利 人，绝大部分时间工作在德国与法国）、Paolo Ruffini（鲁菲尼，1765-1822，意大 利人）、Évariste Galois（迦罗瓦，1811-1832，法国人）、Niels Henrik Abel（阿贝 尔，1802-1829，挪威人）、Arthur Cayley（凯莱，1821-1895，英国人）、Ferdinand Georg Fröbenius（费罗贝尼乌斯，1849-1917，德国人）、William Burnside（勃恩 赛德，1852-1927，英国人）、Friedrich Heinrich Schur（舒尔，1856-1932，德国人）、 Marius Sophus Lie（李，1842-1899，挪威人）这些数学家。其中前面这些人（到