《高等代数》课程教学课件（讲稿）第八章 Euclid空间 8.2 正交基

8.2 正交基内容分布正交组的定义、性质8.2.18.2.2规范正交基的定义、性质及存在性8.2.3子空间的正交补8.2.4正交矩阵的概念8.2.5n维欧氏空间同构的概念及判别二、重点、难点正交向量组、n维欧氏空间的规范正交基等概念：子空间的正交补的概念及基本性质：施密特正交化方法

8.2 正交基 一、内容分布 二、重点、难点 正交向量组、n维欧氏空间的规范正交基等概念; 子空间的正 交补的概念及基本性质;施密特正交化方法. 8.2.1 正交组的定义、性质 8.2.2 规范正交基的定义、性质及存在性 8.2.3 子空间的正交补 8.2.4 正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别

8.2.1正交组的定义、性质定义1欧氏空间的一组两两正交的非零向量叫做的一个正交组，如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，这个正交组就叫做一个规范正交组例1向量αi=(0,1,0)，α=()α,=,0,)构成R3的一个规范正交组

8.2.1正交组的定义、性质 定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个 正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量, 这个 正交组就叫做一个规范正交组. 例1 向量 构成R3的一个规范正交组. α1 =(0,1,0)， 2 1 1 ( ,0, ), 2 2 α = 3 1 1 ( ,0, ), 2 2 α = −

例2考虑定义在闭区间[0,2元]上一切连续函数所做成的欧氏空间C[0,2元]，函数l,cosx,sinx,...,cosnx,sinnx...构成C[0,2元]的一个正交组

例2 考虑定义在闭区间[0,2π]上一切连续函数所做成的欧 氏空间C[0,2π],函数 构成C[0,2π]的一个正交组. 1,cosx,sinx,⋯,cos nx,sin nx⋯

2：正交组的性质定理8.2.1设αi,α2,,n是欧氏空间的一个正交组，那么α,az,…,a,线性无关.证设有ai,a2,, a,使得aai+ aa,+ ... +a,an= 0因为当计j时，αi,a,)=0,所以O=(a,0)=(a,,ajai+azaz+...+anan)=aiai,ai)+...+a(ai,a,)+...+an(ai,an)=a,(ai, ai)但(a),所以，a=01,2,…,n.即a,a2,…,a,线性无关

2．正交组的性质 定理8.2.1 设{α1, α2, ⋯, αn}是欧氏空间的一个正交组，那么α1, α2, ⋯, αn线性无关. 证 设有a1, a2, ⋯, an使得. a1α1+ a2α2+ ⋯ +anαn= 0 因为当i≠j时,〈αi , aj 〉=0,所以 0=〈αi , 0〉=〈αi ,a1α1+ a2α2+ ⋯ +anαn〉 但〈αi ,αi 〉≠0,所以, ai =0, i=1,2, ⋯,n .即α1, α2, ⋯, αn线性无关. =a1〈αi , α1〉+⋯+ai 〈αi , αi 〉+⋯ +an〈αi , αn〉 =ai 〈αi , αi 〉

8.2.2规范正交基的定义、性质及存在性设V是一个n维欧氏空间，如果V中有n个向量a,α,…,a构成一个正交组，那么由定理8.2.1，这个n个向量构成V的一个基叫做V的一个正交基.如果V的一个正交基还是一个规范正交组，那么就称这个基是一个规范正交基，如果α,α…,n是n维欧氏空间V的一个规范正交基.令是的任意一个向量，那么是可以唯一写成E=xia,+x2a2+..+xnanXix2,…x是关于ai,a2,…,an的坐标

8.2.2规范正交基的定义、性质及存在性 设V是一个n维欧氏空间，如果V中有n 个向量α1, α2, ⋯, αn构 成一个正交组,那么由定理8.2.1，这个n个向量构成V的一个基, 叫做V的一个正交基.如果V的一个正交基还是一个规范正交组, 那么就称这个基是一个规范正交基. 如果{α1, α2, ⋯, αn}是n维欧氏空间V的一个规范正交基.令ξ 是V的任意一个向量,那么ξ是可以唯一写成 ξ =x1α1+x2α2+⋯+xnαn, x1,x2, ⋯ ,xn是ξ关于{α1, α2, ⋯, αn}的坐标

由于αi,α2,an是规范正交基，我们有=++.+d(5,n)==-n=(x-)+(x2-y)+..+(x-yn)

由于{α1, α2, ⋯, αn}是规范正交基，我们有 这就是说,向量ξ关于一个规范正交基的第i个坐标等于ξ与第i个 基向量的内积. 〈ξ , αi 〉=〈 x1α1+x2α2+ ⋯ +xnαn , αi 〉=xi 其次,令 η=y1α1+y2α2+⋯+ynαn 〈ξ , η〉=x1y1+x2y2+ ⋯ +xn yn 那么 , 22 2 1 2 || , n ξ ξξ = = + + + xx x  22 2 11 2 2 (,) | | ( ) ( ) ( ) n n d ξη ξ η =−= − + − ++ − xy xy xy 

2.规范正交基的性质设α，α是V的一个基，但不一定是正交基.希望从这个基出发，得出V的一个规范正交基β.将和β再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交基先取β=a，为了求出β，考虑线性组合α,+aα，从这里决定实数a使a+aa与正交β.由0=a2+aβ1,β)=(a2,β)+aβ1,β1)及β0得a=-

2．规范正交基的性质 设{α1, α2}是V2的一个基,但不一定是正交基.希望从这个基 出发,得出V2的一个规范正交基{β1, β2}.将β1和 β2再分别除以它 们的长度，就得到一个规范正交基. 先取β1=α1,为了求出β2，考虑线性组合α2+aα1，从这里决定 实数a,使α2+aα1与正交β1.由 0= 〈α2+aβ1,β1〉= 〈α2,β1〉+a〈β1,β1〉 及β1≠0得 2 1 1 1 , , a = − α β β β

<α2,β,取β,=αz-β,βB那么《β）=0.又因为ai,α线性无关，所以对于任意实数a,a+=a+aa≠0，因而≠0这就得到V的一个正交基B2i

取 2 1 2 2 1 1 1 , , = − α β βα β β β 那么〈β2,β1〉 =0.又因为 α1, α2线性无关,所以对于任意实数 a, α2+aβ1 =α2+aα1≠0,因而β2≠0,这就得到V2的一个正交基{β1, β2}

3.规范正交基的存在性定理8.2.2（施密特正交化方法）设（ααzαm是欧氏空间V的一组线性无关的向量，那么可以求出V的一个正交组β，2…m,使得可以由ai,az,…a线性表示，k=1,2,…m证先取β=α,那么β是α的线性组合且β≠0,其次，取=-=0

3．规范正交基的存在性 定理8.2.2（施密特正交化方法) 设{α1, α2, ⋯, αm}是欧氏空间V 的一组线性无关的向量, 那么可以求出V的一个正交组{β1, β2, ⋯, βm},使得βk可以由α1, α2, ⋯, αk线性表示，k = 1,2, ⋯,m. 证 先取β1=α1,那么β1是α1的线性组合且β1≠0,其次,取 2 1 2 2 1 1 1 , , = − α β βα β β β 那么β2是α1, α2的线性组合,并且因为α1, α2线性无关,所以β2≠0, 又由 2 1 21 21 1 1 1 1 , , , , 0 , = − = α β ββ αβ β β β β

所以β与正交假设1β=αk-由于假设了是αi,αa,的线性组合，i=1,2,…k-1,所以把这些线性组合代入上式，就得到β,=aα,+a,a+...+ak-ak-+ak所以是,z,…a的线性组合，由a,a线性无关得出O，又因为假定了β,β2,…-两两正交，所以

所以β2与β1正交. 假设1 = − −− <>  α β α β βα β β β β β β k 11 2 2 kk k 1 1 aa a β α α αα = + ++ +  − −