沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）第3章 多维随机变量及其分布

第3章多维随机变量及其分布概率论与数理统计教案——内容概览第3章多维随机变量及其分布四、本章知识体系图一、本章主要知识点：(X,n)的定义一维随机变1．多维随机变量（主要是二维随机(X,)的分布函数的定义、性质变量）的概念：二维随机变量的联合分布函数、离散型随机变量的联合分布律、连童X，Y相互独立时分布函数形式续型随机变量的联合概率密度的概念和性质.离散型(X,n)的定义二维随机变量的边缘分布函数、2.边缘分布律（离散型）、边缘密度（连续型）.一维离散型随机变量离散型(X,)联合分布律3.二维随机变量条件分布4.随机变量独立性的概念，离散型和连续型随机变量独立的条件.离散型（X,n)边缘分布律5．利用二维随机变量的分布计算有关事件的概率.离散型(X,n)条件分布律6.二维均匀分布和二维正态分布.X，Y相互独立时分布律形式7.两个随机变量的简单函数的分布.连续型(X,)的定义二、本章教学重点：多维随连续型(Xn联合密度一维连续型随机变量1．二维随机变量的联合分布函数，联合分机变布律，联合概率密度，常见的随机变量连续型(X,n)边缘密度圣墨及其分布的分布2.边缘分布与联合分布的关系连续型(X)条件密度3.随机变量的独立性X，Y相互独立时密度形式三、本章教学难点：(X,)~N(u,p)及X，Y相互独立的充要条件1．边缘分布及其独立性2.条件分布个随机变量幽数的分布3.随机变量函数的分布.和的分布积的分布最大最小分43-

概率论与数理统计教案 第 3 章 多维随机变量及其分布 - 43 - 第 3 章 多维随机变量及其分布——内容概览 一、本章主要知识点： 1． 多维随机变量（主要是二维随机 变量）的概念；二维随机变量的联合分布 函数、离散型随机变量的联合分布律、连 续型随机变量的联合概率密度的概念和性 质． 2． 二维随机变量的边缘分布函数、 边缘分布律（离散型）、边缘密度（连续型）． 3． 二维随机变量条件分布 4． 随机变量独立性的概念，离散型 和连续型随机变量独立的条件． 5． 利用二维随机变量的分布计算有 关事件的概率． 6． 二维均匀分布和二维正态分布． 7． 两个随机变量的简单函数的分布． 二、本章教学重点： 1． 二维随机变量的联合分布函数，联合分 布律，联合概率密度，常见的随机变量 的分布 2． 边缘分布与联合分布的关系 3． 随机变量的独立性． 三、本章教学难点： 1． 边缘分布及其独立性 2． 条件分布 3． 随机变量函数的分布． 四、本章知识体系图:

83.1二维随机变量及其分布函数第11讲83.1二维随机变量及其分布函数授课题目理解二维随机变量的概念；理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种教学目的基本形式：会利用二维概率分布求有关事件的概率教学重点二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式教学难点连续型二维随机变量的联合分布教学过程备注参复司引入几个重要的离散型随机变量分布离散型随机变量两点分布X~(0-1)P(X=1)=p,P(X=0)=1-p随机变量的可能取值为有限二项分布 X ~ B(n,P) P(X =k)=Cp*g"-k个或无限可列个k=0,1,2,",n①知道可能取值；②知道可能取值的概率，Ake-k=0,12,...泊松分布X~P(）PX=kkl几何分布X ~ G(p) P(X =k)=(1-p)* p, k= 1,2,...一维随机变量几个重要的连续型随机变量分布V0eQ,→X(0)asx0f(x)=连续型随机变量0,x<oX可以取某个区间[a,b]或_(x-μ)2(-00,+o0)的一切值.2g2f(x) =正态分布 X~N(u,α2)e12元0边缘分布律离散型随机变量P(X =x)= P(X = Xx, Y<+00}= P,=pi(X,Y)可能的取值为有限对j=l或无限可列多对实数0P[Y = y)= P(X<+0, Y= y)=Zp,= p.,食联合分布函数为F(x,J)=P(X≤x,≤)=二维随机变量(X,Y)x,Sxy,SyX和Y是定义在Q上的随机变量边缘概率密度fx(x)=tf(x,y)dyfr()=[f(x,y)d1(x,y)eG连续型随机变量SG二维均匀分布f(x,y)=3F(x, y)= J[ f(u,v)dudy[0,(x,y)G二维正态分布(X,Y)~ N(μ,H,0),02;p)-44-

- 44 - §3.1 二维随机变量及其分布函数 授课题目 §3.1 二维随机变量及其分布函数 第 11 讲 教学目的 理解二维随机变量的概念；理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种 基本形式；会利用二维概率分布求有关事件的概率. 教学重点 二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式 教学难点 连续型二维随机变量的联合分布 教 学 过 程 备注 *复习引入 一维随机变量   →    , ( ) X 样本点的函数 连续型随机变量 X 可以取某个区间 [a,b] 或 (−,+) 的一切值． 离散型随机变量 随机变量的可能取值为有限 个或无限可列个 ○1 知道可能取值； ○2 知道可能取值的概率． 几个重要的离散型随机变量分布 两点分布 X ~ (0 1) − P X p P X p { 1} , ( 0) 1 = = = = − 二项分布 X B n p ~ ( , ) { } , k k n k P X k C p q n − = = k n = 0,1,2, , 泊松分布 X P ~ ( )  { } , ! k P X k e k  − =  k = 0,1,2, 几何分布 X G p ~ ( ) 1 { } (1 ) , k P X k p p − = = − k =1,2, 几个重要的连续型随机变量分布 均匀分布 X U a b ~ ( , ) 1 , , ( ) 0, a x b f x b a     =  −   其它. 指数分布 X E ~ ( )    0 , 0 ( ) 0 , 0 x e x f x x   −   =    正态分布 2 X N~ ( , )   2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x f x e     − − = 二维随机变量 ( , ) X Y X 和 Y 是定义在  上的 随机变量 连续型随机变量 ( ) ( , ) x y F x y f u v dudv − − =   , 离散型随机变量 ( , ) X Y 可能的取值为有限对 或无限可列多对实数 边缘分布律     1 i i ij i j P X x P X x Y p p • + = = = =  + = = ,      1 i i ij j i P Y y P X Y y p p• + = = =  + = = = ,  联合分布函数为 ( , ) ,     =   =   i j ij x x y y F x y P X x Y y p 边缘概率密度 ( ) ( , ) , ( ) ( , ) X Y f x f x y dy f y f x y dx + + − − = =   二维均匀分布 1 , ( , ) ( , ) 0, ( , ) G x y G f x y S x y G    =     二维正态分布 2 2 1 2 1 2 ( , ) ~ ( , ; , ; ) X Y N     

概率论与数理统计教案第3章多维随机变量及其分布中知识框架（1）F(x)是自变量单调不减函数3(2) 0≤F(x)≤1,F(-o0)= lim F(x)= 0,一维随机变量分布函数F(+oo)= lim F(x)=1.x为任意实数，函数F(x)=P(X≤x)x>+00(3）F(x+0)=F(x)，右连续的(4) P(ax,时，有F(x,y)≥F(x2,y)：对任意固定的x，当y>y,时,有F(x,y)≥F(x,y2).(3) 右连续性F(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+0)=F(x,y).(4)对任意的(x,),(x,2)，x<x2,<y2，有F(x2, y2)-F(x2, )-F(x, y)+F(x, y)≥0*讲投新保二维随机变量观世界中有许多随机现象的结果只用一个随机变量来描述是不定义1设随机试验E的样本空间为Q，随机变量X和Y是定义在Q上的随机够的，而要涉及到多个随机变量，变量，称(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量(x)二、联合分布函数定义2设（X,Y）是二维随机变量，对于任意实数x、y，称二元函数联合分布函数示意图F(x,y)=P(X≤x, Y≤y)为二维随机变量（X，Y)的分布函数或随机变量X与Y的联合分布函数，它表示随机事件(X≤x与(Y≤同时发生的概率，()如果将二维随机变量(X,Y)视为平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)描述的就是随机点(X,Y)落入点(x，y)左下方无限矩形内的概率.二维随机变量分布函数F(x,y）的性质：区域D内的概率(1)规范性：0≤F(x,J)≤1;(2) 非负性: F(-o0,y)= lim F(x,y)=0 ,-45-

概率论与数理统计教案 第 3 章 多维随机变量及其分布 - 45 - *知识框架 *讲授新课 一、二维随机变量 定义 1 设随机试验 E 的样本空间为  ，随机变量 X 和 Y 是定义在  上的随机 变量，称 ( , ) X Y 为二维随机变量或二维随机向量． 二、联合分布函数 定义 2 设 ( , ) X Y 是二维随机变量，对于任意实数 x、y ，称二元函数 F x y P X x Y y ( ) { } , , =   为二维随机变量 (X，Y) 的分布函数或随机变量 X 与 Y 的联合分布函数，它表示随机 事件 {X  x} 与 {Y  y} 同时发生的概率． 如果将二维随机变量 ( , ) X Y 视为平面上随机点的坐标，则分布函数 F x y ( ) , 描述 的就是随机点 ( , ) X Y 落入点 ( ) x y ， 左下方无限矩形内的概率． 二维随机变量分布函数 F x y ( ) , 的性质： （1）规范性： 0 ( ) 1   F x y, ； （2）非负性： ( ) lim ( ) 0 x F y F x y →− − = = , , ， 观世界中有许多随机 现象的结果只用一个 随机变量来描述是不 够的，而要涉及到多 个随机变量． 联合分布函数示意图 区域 D 内的概率 二维随机变量联合分布函数 F x y P X x Y y ( ) { } , , =   （1）有界性 0 ( ) 1   F x y, ，且有 ( ) lim ( ) 0 x F y F x y →− − = = , , ( ) lim ( ) 0 y F x F x y →− ，−  = = , ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 0 x y F F x y → − − − −  = = ， , ， ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 1 x y F F x y → + + + +  = = ， , ． （2）单调性 F x y ( ) , 关于变量 x 或 y 均是单调不减函数，即对任意固 定的 y ，当 1 2 x x  时，有 1 2 F x y F x y ( ) ( ) , ,  ；对任意固定的 x ，当 1 2 y y  时，有 1 2 F x y F x y ( ) ( ) , ,  ． （3）右连续性 F x y F x y ( 0 ) ( ) + = , , ， F x y F x y ( 0) ( ) , , + = ． （4）对任意的 1 1 2 2 ( ),( ) x y x y , , ， 1 2 1 2 x  x , y  y ，有 2 2 2 1 1 2 1 1 F x y F x y F x y F x y ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ， − − +  ， ， ， ． 一维随机变量分布函数 x 为任意实数，函数 F x P X x ( ) { } =  （1） F(x) 是自变量单调不减函数 3 （2） 0 ( ) 1   F x ， ( ) lim ( ) 0, x F F x →− − = = ( ) lim ( ) 1 x F F x →+ + = = . （3） F(x + 0) = F(x) ，右连续的. （4） P a X b F b F a { } ( ) ( )   = − P a X b F b F a P X a { } ( ) ( ) { }   = − + =

F(x,-00)= lim F(x,y)=0, F(-00,-00)=limF(x,y)=0,TVF(+o0,+o0)=limF(x,y)=1(X,V)→(+o0,+ob(3）单调性：F(x,y)关于变量x或y均是单调不减函数；(4)右连续：即有F(x+0,y)=F(x,y)及F(x,y+O)=F(x,y);(5)对任意的(),(x2,）x2,2，随机点(X,Y)落入区域D=(x,y) xi<x≤x2,yi<y≤y2)内的概率P=F(x2 2)-F(x2,)-F(x)+F(p)≥0.例1设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x, y) = A(B+ arctan x)(C + arctan y)求(1) 常数A,B,C;(2) PX≤V3,Y≤1;(3) P/0<X≤V3,0<Y≤1)三、边缘分布函数二维随机变量（X,Y）的两个分量X和Y也是随机变量，实际上它们是一维随机变量，因此有各自的分布函数，分别记为Fr(x)和F,(y)。相对于(X,Y)的联合分布而言，称之为边缘分布函数定义3设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(xy)，分别称Fx(x)= P(X≤x)= P(X≤x, Y<+00)= F(x,+00)和Fr(y) = P(Y≤y) = P(X<+00, Y≤y) = F(+00, y)为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数易见，边缘分布函数可以由联合分布函数确定，即Fx(x)= F(x,+o0)= lim F(x,y)注边缘分布函数一般是Fy(y)=F(+oo, y)= lim F(x,y)不能确定联合分布函数.例2求例1.1中的二维随机变量(X,Y)的两个边缘分布函数中覌固珠司1.设连续型随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则Y的边缘分布函数为*小结二维随机变量的联合分布函数1.F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)2.二维随机变量的边缘分布函数Fx(x)=P(X≤x)=P(X≤x，Y<+o0)=F(x,+o0)Fr(y) = P(Y ≤y) = P(X <+00, Y ≤y) = F(+00, y)*作业习题3.1-P59—1，2-46-

- 46 - ( ) lim ( ) 0 y F x F x y →− ，−  = = , ， ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 0 x y F F x y → − − − −  = = ， , ， ( , ) ( , ) ( ) lim ( ) 1 x y F F x y → + + + +  = = ， , （3）单调性： F x y ( ) , 关于变量 x 或 y 均是单调不减函数； （4）右连续：即有 F x y F x y ( 0 ) ( ) + = , , 及 F x y F x y ( 0) ( ) , , + = ； (5)对任意的 1 1 2 2 ( ),( ) x y x y , , 1 2 1 2 x  x , y  y ，随机点 (X,Y) 落入区域 {( , ) , } 1 2 1 2 D = x y x  x  x y  y  y 内的概率 P = 2 2 2 1 1 2 1 1 F x y F x y F x y F x y ( ) ( ) ( ) ( ) ， −−+ ， ， ，  0 ． 例 1 设二维随机变量 (X,Y) 的联合分布函数为 F x y A B x C y ( , ) ( arctan )( arctan ) = + + . 求（1）常数 A,B,C ；（2） P X Y    3, 1 ;（3） P X Y 0 3,0 1      ． 三、边缘分布函数 二维随机变量 (X,Y) 的两个分量 X 和 Y 也是随机变量，实际上它们是一维随机 变量，因此有各自的分布函数，分别记为 F (x) X 和 F (y) Y ．相对于 (X,Y) 的联合分布 而言，称之为边缘分布函数． 定义 3 设二维随机变量 (X,Y) 的联合分布函数为 F x y ( , ) ，分别称 F x P X x P X x Y F x X ( ) ( , ) =  =   + = +    ，  和 F y P Y y P X Y y F y Y ( ) { } { , } ( , ) =  =  +  = + 为二维随机变量 (X,Y) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数． 易见，边缘分布函数可以由联合分布函数确定，即 ( ) ( , ) lim ( , ) →+ X = + = y F x F x F x y ( ) ( ) lim ( , ) →+ Y = + = x F y F y F x y ， 例 2 求例 1.1 中的二维随机变量 (X,Y) 的两个边缘分布函数． 注 边缘分布函数一般是 不能确定联合分布函 数. *巩固练习 1.设连续型随机变量 ( , ) X Y 的分布函数为 F x y ( , ) ，则 Y 的边缘分布函数为_. *小结 1. 二维随机变量的联合分布函数 F x y P X x Y y ( , ) { , }. =   2. 二维随机变量的边缘分布函数 F x P X x P X x Y F x X ( ) ( , ) =  =   + = +    ，  F y P Y y P X Y y F y Y ( ) { } { , } ( , ) =  =  +  = + *作业 习题 3.1- P59—1，2

第3章多维随机变量及其分布概率论与数理统计教案$3.2二维离散型随机变量第12讲$3.2二维离散型随机变量授课题目理解二维离散型随机变量分布律的概念；掌握分布律的性质；会求二维离散型教学目的随机变量的联合分布律及边缘分布律教学重点二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律教学难点二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律备注教学过程李复习引入二维随机变量(X,Y)X和Y是定义在Q上的随机变量联合分布函数边缘分布函数F(x,y)= P[X≤x,Y≤y)Fr(x)= P(X≤x)（1）有界性（2）单调性（3）右连续性= P(X≤x, Y<+00) = F(x,+00)(4) F(x2, y2)-F(x2, jy)Fy(y)= P(Y ≤ y)-F(x, y2)+F(X, y)≥0 .= P(X <+00,Y≤ y)= F(+00, y)中知识框架联合分布律P(X=x,Y=y,)=P,((i,j =1,2,..)(1)非负性p≥0，(i,j=1,2,.).=(2)规范性J(=l j=I离散型随机变量边缘分布律(X,Y)可能的取值为有限对或无限可列多对实数P[X =x)= P(X = x, Y<+00) =)ZP(X=x,Y=y)j=l-Zp=P.(i=1,2,..)j=lP(Y=y)=P(X<+0, Y=y)=ZP(X=x,Y=y)i=lZP=P.(j =1,2, )申讲投新课-47-

概率论与数理统计教案 第 3 章 多维随机变量及其分布 - 47 - §3.2 二维离散型随机变量 授课题目 §3.2 二维离散型随机变量 第 12 讲 教学目的 理解二维离散型随机变量分布律的概念；掌握分布律的性质；会求二维离散型 随机变量的联合分布律及边缘分布律. 教学重点 二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律. 教学难点 二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律. 教 学 过 程 备注 *复习引入 *知识框架 *讲授新课 离散型随机变量 ( , ) X Y 可能的取值为有限对 或无限可列多对实数 联合分布律 { } ( 1 2, ) = = = = , ， , , P X x Y y p i j i j ij (1)非负性  = 0， ( 1 2, ) , , ij p i j ． (2)规范性  + = + = = 1 1 1 i j pij 边缘分布律     1 1 { , } ( 1 2 ) i i i j j ij i j P X x P X x Y P X x Y y p p i • + = + = = = =  + = = = = = =   , ，     1 1 { , } ( 1 2 ) j i i i j i ij i P Y y P X Y y P X x Y y p p j • + = + = = =  + = = = = = = =   , ， 二维随机变量 ( , ) X Y X 和 Y 是定义在  上的 随机变量 边缘分布函数     ( ) ( , ) F x P X x X P X x Y F x =  =   + = + ， ( ) { } { , } ( , ) F y P Y y Y P X Y y F y =  =  +  = + 联合分布函数 F x y P X x Y y ( , ) , =     （1）有界性．（2）单调性 （3）右连续性 （4） 2 2 2 1 F x y F x y ( ) ( ) ， − ， 1 2 1 1 − +  F x y F x y ( ) ( ) 0 ， ， ．

二维离散型随机变量定义1如果二维随机变量（X,Y）可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则称（X,Y）为二维离散型随机变量二、联合分布律定义2设二维离散型随机变量（X，Y）所有可能的取值为(x,y), (i,j=1, 2,.),且对应的概率为P(X =x, Y=y)= Pri,j=1,2,..则称上式为二维随机变量（X.Y)的分布律或X与Y的联合分布律联合分布律性质：(1)非负性：p,≥0，j=1,2,.，20 +00ZZp,=1（2）规范性：i=l js定义3称二维离散型随机变量（X，Y）中X（或Y）的分布律为关于X（或Y）注1.边缘分布律的求的边缘分布律(或边缘分布列，或边缘概率分布)。法：联合分布律表边缘分布律可由联合分布律求得．关于X的边缘分布律为中的元素分别按行相加和按列相加而P(X=x)=P(X=x, Y<+0)-2P(X=x,Y=y)=得到.p,=p. (i=1,2, ..)“边缘分布律”2.j=lj=l名称的由来：边缘类似地，关于Y的边缘分布律为分布律写在了联合+00分布律表格的边缘P(Y=y)=P(X<+, Y=y)=P(X =x,Y=y)=Zp,=p., (j=1,2, ...)上al1el边缘分布律本3.二维离散型随机变量（X，Y)的联合分布律与边缘分布律也可列成表格的形式如质：自身的分布律，加上“边缘”二字下：只是为了强调它是从联合分布律中得YP,.yiy2yi到的.XPi.x,PuPi2PujPajX2P2P2.P211::::x.PiatPsPiPi21::.：.+P.,P.j1p.1P2++.例1设袋中有2只黑球和3只白球，共摸球两次，每次一球。令-48-

- 48 - 一、二维离散型随机变量 定义 1 如果二维随机变量 ( , ) X Y 可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则 称 ( , ) X Y 为二维离散型随机变量． 二、联合分布律 定义 2 设二维离散型随机变量 ( ) X Y, 所有可能的取值为 ( ) i j x y, , ( 1 2 ) i j , = ， , 且对应的概率为 { } 1 2, . P X x Y y p i j = = = = i j ij , ， , , 则称上式为二维随机变量 ( , ) X Y 的分布律或 X 与 Y 的联合分布律． 联合分布律性质： （1）非负性： 0 1, 2, ij p i j  = ， ， （2）规范性： 1 1 1 ij i j p + + = =  = 定义 3 称二维离散型随机变量 ( ) X Y, 中 X （或 Y ）的分布律为关于 X （或 Y ） 的边缘分布律(或边缘分布列，或边缘概率分布)． 边缘分布律可由联合分布律求得．关于 X 的边缘分布律为     1 1 { , } ( 1 2 ) i i i j ij i j j P X x P X x Y P X x Y y p p i • + + = = = = =  + = = = = = = ,   ， 类似地，关于 Y 的边缘分布律为     1 1 { , } ( 1 2 ) i i i j ij j i i P Y y P X Y y P X x Y y p p j • + + = = = =  + = = = = = = = ,   ， 二维离散型随机变量 ( ) X Y, 的联合分布律与边缘分布律也可列成表格的形式如 下： Y X 1 y 2 y . j y . i p  1 x 11 p 12 p . j p1 . 1 p  2 x p21 22 p . j p2 . 2 p     .  .  i x i 1 p i2 p . ij p . i p     .  .  j p 1 p 2 p . j p . 1 例 1 设袋中有 2 只黑球和 3 只白球，共摸球两次，每次一球．令 注 1．边缘分布律的求 法：联合分布律表 中的元素分别按行 相加和按列相加而 得到． 2．“边缘分布律” 名称的由来：边缘 分布律写在了联合 分布律表格的边缘 上. 3．边缘分布律本 质：自身的分布律， 加上“边缘”二字 只是为了强调它是 从联合分布律中得 到的．

概率论与数理统计教案第3章多维随机变量及其分布[o,第一次摸到黑球o,第二次摸到黑球X :Y[1,第一次摸到白球”1,第二次摸到白球现有两种摸球方式：（1）无放回；（2）有放回．试分别在两种摸球方式下求出二维随注机变量（X,Y）的联合分布律及边缘分布律，由边缘分布律一般不3例2由例1中(X,Y)的联合分布律，求（1）1；（2）（X,Y)的联合分布能确定联合分布律，联合分布律中包含了函数.两个分量之间的相依关系。一般地，如果二维随机变量（XY）的联合分布律为P(X=x, Y=y,)= P(i,j=1,2,..)则（X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)-ZZ pux,Sx y,s)上式是对满足x,≤x,y,≤y的i,j求和对于二维离散型随机变量（X，Y），由联合分布律也可求其边缘分布函数Fx(x)= F(x, +00)=ZEp, =Zp.XSxj,SxFy(y)= F(+0,J)=ZZ p, =Z p.jiy,syy,sy申帆固殊间1.将两封信随意地投入3个空邮筒，设X、Y分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求（1）X与Y(31)(31处的值F的联合分布列（2）第3个邮筒里至少投入一封信的概率（3）联合分布函数在点22(2'2)解 (1)Y012X1-92-91092-92-90112009(2）P(第三个邮筒里至少有一封信)=P(第一、二个邮筒里最多只有一封信)=1.2.25PX+Y≤1)=P(X=0,Y=0}+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0 =9999[xsg,ys)](31)= P(X =0,Y=0)+P[X=1,Y=0)3)F221,.2_199~3-49-

概率论与数理统计教案 第 3 章 多维随机变量及其分布 - 49 - 0, 1,  =   X 第一次摸到黑球 第一次摸到白球 ， 0, 1,  =   Y 第二次摸到黑球 第二次摸到白球 现有两种摸球方式：（1）无放回；（2）有放回．试分别在两种摸球方式下求出二维随 机变量 ( , ) X Y 的联合分布律及边缘分布律． 例 2 由例 1 中 ( , ) X Y 的联合分布律，求（1） 3 1 , 2 2 F       ;（2） ( , ) X Y 的联合分布 函数. 一般地，如果二维随机变量 ( , ) X Y 的联合分布律为 { } ( 1 2, ) = = = = , ， , , P X x Y y p i j i j ij 则 ( , ) X Y 的联合分布函数为 ( , ) ,     =   =   i j ij x x y y F x y P X x Y y p 上式是对满足 , i j x x y y   的 i j , 求和． 对于二维离散型随机变量 ( , ) X Y ，由联合分布律也可求其边缘分布函数 ( ) ( , ) i i X ij i x x j x x F x F x p p   = + = =   ( ) ( , ) j j Y ij j i y y y y F y F y p p   = + = =    注 由边缘分布律一般不 能确定联合分布律， 联合分布律中包含了 两个分量之间的相依 关系． *巩固练习 1.将两封信随意地投入 3 个空邮筒，设 X 、Y 分别表示第 1、第 2 个邮筒中信的数量，求（1） X 与 Y 的联合分布列（2）第 3 个邮筒里至少投入一封信的概率（3）联合分布函数在点 3 1 , 2 2       处的值 3 1 , 2 2 F       ． 解 （1） Y X 0 1 2 0 9 1 9 2 9 1 1 9 2 9 2 0 2 9 1 0 0 （2） P P { } { } 第三个邮筒里至少有一封信 ＝ 第一 、二个邮筒里最多只有一封信 = 1 2 2 5 { 1} { 0, 0} { 0, 1} { 1, 0} 9 9 9 9 P X Y P X Y P X Y P X Y +  = = = + = = + = = = + + = (3)     3 1 3 1 , , 0, 0 1, 0 2 2 2 2 F P X Y P X Y P X Y       =   = = = + = =       1 2 1 . 9 9 3 = + =

*小结离散型随一维离散型X二维离散型(X,Y)机变量X所有的可能取值为有限个或无限可列（X,Y)可能取的值为有限对或无限个定义可列多对实数对分布列: P(X=x}= pk,k=1,2,....分布列：P(X=x,Y=y,)=P非负性：P≥0,k=1,2,.;非负性：p,≥0，j=1,2,分布列Zpk=1.规范性：ZZp,=1规范性：ki=l j=l两点分布X~(0-1) 00 P(X=k)~泊松分布X～P()k!联合分布律P(X=x, Y=y,}=Pu,i,j=1,2....Fx(x)= F(x, +00)=ZZpu =Zp.边缘分布函数$rxSFy(y)= F(+0,J)=ZZ p, =Z p.jiy,syy/s)边缘分布律tooP(X=x)=P(X=X,Y<+0)=2P(X=Xx,Y=y)-=2Zp, = p. (i =1,2, ...)1/=li=l+00P(Y = y)= P[X <+00, Y =y)=ZP(X = x,Y =y,)=ZP,= p., (j=1,2, ..)i=li=l专作业习题3.2-P63—1，2，3$3.3二维连续型随机变量S3.3二维连续型随机变量第13讲授课题目理解二维连续型随机变量联合概率密度的概念；会求二维连续型随机变量的分教学目的布，理解二维均匀分布，了解二维正态分布教学重点求二维连续型随机变量的分布，教学难点求二维连续型随机变量的联合分布函数备注教学过程*复习入一维连续型随机变量-50-

- 50 - *小结 离散型随 机变量 一维离散型 X 二维离散型 ( , ) X Y 定义 X 所有的可能取值为有限个或无限可列 个 ( , ) X Y 可能取的值为有限对或无限 可列多对实数对 分布列 分布列： { } , P X x p = = k k k =1,2, . 非负性： 0, 1,2, k p k  = ； 规范性：  = 1 k pk . 分布列： { } P X x Y y p = = = i j ij , , 非负性： 0 1, 2, ij p i j  = ， 规范性： 1 1 1 ij i j p + + = =  = 常见分布 两点分布 X ~ (0 1) − 0 1   p P X q P X p ( 0) , ( 1) = = = = 二项分布 X B n p ~ ( , ) 0 1, 1   = − p q p { } , 0,1,2, , k k n k P X k C p q k n n − = = = 泊松分布 X P ~ ( )    0 { } ,( 0,1,2, ) ! k P X k e k k  − =  = 联合分布律 { } 1 2, . P X x Y y p i j = = = = i j ij , ， , , 边缘分布函数 ( ) ( , ) i i X ij i x x j x x F x F x p p   = + = =   ( ) ( , ) j j Y ij j i y y y y F y F y p p   = + = =    边缘分布律     1 1 { , } ( 1 2 ) i i i j ij i j j P X x P X x Y P X x Y y p p i • + + = = = = =  + = = = = = = ,   ，     1 1 { , } ( 1 2 ) i i i j ij j i i P Y y P X Y y P X x Y y p p j • + + = = = =  + = = = = = = = ,   ， *作业 习题 3.2- P63—1，2，3 §3.3 二维连续型随机变量 授课题目 §3.3 二维连续型随机变量 第 13 讲 教学目的 理解二维连续型随机变量联合概率密度的概念；会求二维连续型随机变量的分 布.理解二维均匀分布，了解二维正态分布. 教学重点 求二维连续型随机变量的分布. 教学难点 求二维连续型随机变量的联合分布函数. 教 学 过 程 备注 *复习引入 一维连续型随机变量

概率论与数理统计教案第3章多维随机变量及其分布定义X取某个间[a,b]或(-0,+)的一切值概率密度函数f(x)f(x)非负可积函数，使得对于任意实数x，有F(x)=f(t)dt(1）定义域(-80,+o)：（2）非负性：f(x)≥0：（3）规范性：「f(x)dx=1(4)任意实数a,b，且a≤b，有P(a0f(x)=0,x<0(x-μ))12g2f(x):正态分布X～N(u,2)(-0 <x<+00)e/2元中知识程架联合概率密度函数f(x,y)二维均匀分布非负可积，任意实数x、y，F(x,y)={「"f(u,v)dudy1维连续型随机变量(x,y)eGSGf(x,y)=联合概率密度函数的性质：[0,(x,y)&G(1) 非负性： f(x,J)≥0 ;(2)规范性：「*"*f(x,y)dxdy=l:边缘概率密度(3) (x,)在点(x,)处连续， 则F=(x,):fx(x)= Jt f(x, )dyaxov（4）D是xoy平面上区域，则点(x,J)落在D内的概率为fr()=(+f(x,y)dxP((X, Y)e D)=- J[ f(x, y)dxdy*研投新课二维连续型随机变量的联合分布与边缘分布1.二维连续型随机变量的联合分布定义1设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负可积的二元函数f(x,y)，使得对任意实数x、y，有F(x, y)= [["f(u, v)dudy则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称函数f(x,y)为二维随机变量（X,Y)的联合-51-

概率论与数理统计教案 第 3 章 多维随机变量及其分布 - 51 - 定义 X 取某个间 [a,b] 或 (−,+) 的一切值 概率密度函数 f x( ) f (x) 非负可积函数，使得对于任意实数 x ，有 ( ) ( ) x F x f t dt − =  f x( ) 的性质 （1）定义域 ( , ) − + ；（2）非负性： f x( ) 0  ；（3）规范性： f x dx ( ) 1 + − =  ． （4）任意实数 a,b ，且 a  b ，有 { } ( ) b a P a X b f x dx =  ； （5） 若 f (x) 在点 x 处连续，则有 F x f x ( ) ( ) = ； （6） 对任意实数 a 有 P X a { } 0 = = ． { } { } { } { } ( ) b a P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx   =   =   =   =  常见分布 均匀分布 X U a b ~ ( , ) 1 , , ( ) 0, a x b f x b a     =  −   其它. 指数分布 X E ~ ( )    0 , 0 ( ) 0 , 0 x e x f x x   −   =    正态分布 2 X N~ ( , )   2 2 ( ) 2 1 ( ) ,( ) 2 x f x e x     − − = −   + *知识框架 *讲授新课 一、二维连续型随机变量的联合分布与边缘分布 1．二维连续型随机变量的联合分布 定义 1 设二维随机变量 ( , ) X Y 的分布函数为 F x y ( ) , ，如果存在非负可积的二元函 数 f x y ( ) , ，使得对任意实数 x、y ，有 ( ) ( , ) x y F x y f u v dudv − − =   , 则称 ( , ) X Y 为二维连续型随机变量，称函数 f x y ( , ) 为二维随机变量 ( , ) X Y 的联合 联合概率密度函数 f x y ( , ) 非负可积，任意实数 x、y ， ( ) ( , ) x y F x y f u v dudv − − =   , 联合概率密度函数的性质： （1）非负性： f x y ( , ) 0  ； （2）规范性： f x y dxdy ( , ) 1 + + − − =   ； （3） f x y ( , ) 在点 ( , ) x y 处连续，则 2 ( ) ( , ) F x y f x y x y  =   ， ； （4） D 是 xoy 平面上区域，则点 (x, y) 落在 D 内的概率为 ( ) ( )  D P X Y D f x y dxdy  =  , , 二维均匀分布 1 , ( , ) ( , ) 0, ( , ) G x y G f x y S x y G    =     二 维 连 续 型 随 机 变 量 边缘概率密度 ( ) ( , ) + − = X  f x f x y dy ( ) ( , ) + − = Y  f y f x y dx

概率密度函数，简称联合密度二维连续型随机变量联合概率密度函数的性质：(1)非负性：f(x,y)≥0;(2）规范性：了了+(x,)dxdy=1;"F(x, )=f(x,y):(3)若f(x,J)在点(x,y)处连续，则有axoy（4）设D是xoy平面上任一区域，则点(x,y)落在D内的概率为P((X, Y)e D)= JJ f(x, y)dxdy几何意义：二元函数f(xy)表示三维空间中的一张曲面，f(x,y)dxdy在几何上就表示xOy平面以上，曲面f(x,y)以下，小区域dxdy为底面积的曲顶柱体的体积.2.二维连续型随机变量的边缘分布设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，由Fr(x)= F(x, +o0)=J[ f(u,v)ddu可知，分量X是一个连续型随机变量，且其概率密度为fx(x)= [ f(x, y)dy同理，分量Y亦是一个连续型随机变量，其概率密度为fr(y)= [- f(x, y)dx定义2设二维连续型随机变量（X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，分别称fx(x)= [ f(x,y)dy, fr(y)= [* f(x, y)dx注二维均匀分布的两个为二维连续型随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度，简称边缘密度.边缘分布未必服从均匀分布.例1设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为若二维随机变量[Cxy, 0≤x<≤1, 0≤y≤1（X.Y）服从矩形区f(x,y)=[o，其它域上的均匀分布，则其两个边缘分布均服求(1) 常数C;(2) P(X+Y<I)，P(Y≤2X)，P(Y<X):(3)(X,Y)关于X从均匀分布：和Y的边缘概率密度；（4）（X,Y)的联合分布函数.二、常见的二维连续型随机变量的分布1.二维均匀分布设G是平面上有界可求面积的区域，其面积为SG，若二维随机变量（X,Y）具有概率[1(x,y)eG密度函数SGf(x,y)=[0,(x,y)&G则称(X,Y)服从区域G上的二维均匀分布.-52-

- 52 - 概率密度函数，简称联合密度． 二维连续型随机变量联合概率密度函数的性质： （1）非负性： f x y ( , ) 0  ； （2）规范性： f x y dxdy ( , ) 1 + + − − =   ； （3）若 f x y ( , ) 在点 ( , ) x y 处连续，则有 2 ( ) ( , ) F x y f x y x y  =   ， ； （4）设 D 是 xoy 平面上任一区域，则点 (x, y) 落在 D 内的概率为 ( ) ( )  D P X Y D f x y dxdy  =  , , 几何意义： 二元函数 f x y ( ) , 表示三维空间中的一张曲面， f x y dxdy ( ) , 在几何上就表示 xOy 平 面以上，曲面 f x y ( ) , 以下，小区域 dxdy 为底面积的曲顶柱体的体积． 2.二维连续型随机变量的边缘分布 设二维连续型随机变量 ( , ) X Y 的联合概率密度为 f x y ( ) , ，由 ( ) ( ) ( , ) ， +  − −   = +  =     x F x F x f u v dv du X 可知，分量 X 是一个连续型随机变量，且其概率密度为 ( ) ( , ) + − = X  f x f x y dy 同理，分量 Y 亦是一个连续型随机变量，其概率密度为 ( ) ( , ) + − = Y  f y f x y dx 定义 2 设二维连续型随机变量 ( , ) X Y 的联合概率密度为 f x y ( ) , ，分别称 ( ) ( , ) + − = X  f x f x y dy ， ( ) ( , ) + − = Y  f y f x y dx 为二维连续型随机变量 ( , ) X Y 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度，简称边缘密度． 例 1 设二维随机变量 ( ) X Y, 的联合概率密度为 0 1 0 1 ( ) 0 Cxy x y f x y      =   ， ， , ， 其它 求（1）常数 C ；（2） P X Y { 1} +  ， P Y X { 2 }  ， P Y X { }  ；（3） (X,Y) 关于 X 和 Y 的边缘概率密度；（4） (X,Y) 的联合分布函数． 二、常见的二维连续型随机变量的分布 1.二维均匀分布 设 G 是平面上有界可求面积的区域，其面积为 G S ，若二维随机变量 (X,Y) 具有概率 密度函数 1 , ( , ) ( , ) 0, ( , ) G x y G f x y S x y G    =     则称 (X,Y) 服从区域 G 上的二维均匀分布． 注 二维均匀分布的两个 边缘分布未必服从均 匀分布． 若二维随机变量 (X,Y) 服从矩形区 域上的均匀分布，则 其两个边缘分布均服 从均匀分布．