沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第3章 多维随机变量及其分布 3.3 二维连续型随机变量

删除标识福昕编辑器福AFPDFS3.3二维连续型随机变量一维连续型随机变量的分布二、常见二维连续型随机变量的分布福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器三、小结福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器

一、二维连续型随机变量的分布 二、常见二维连续型随机变量的分布 三、小结 §3.3 二维连续型随机变量 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

*复习引入一维连续型随机变量定义X取某个间[a,bl或(-o0,+0)的一切值f(x)f(x)非负可积函数，使得对于任意实数x，有F(x)=「f(t)d: {+f(x)dx =1.（1）定义域(-0,+o)；（2）非负性：f(x)≥0；（3）规范性：(4)任意实数a,b，且a≤b，有P(a0f(x)=分布0,x<0(x-μ))122f(x)(-8<x<+8)正态分布 X～N(μ,α2)e12元0

*复习引入 一维连续型随机变量 定义 X 取某个间[a,b]或(−,+) 的一切值 f x( ) f (x) 非负可积函数，使得对于任意实数 x ，有 ( ) ( ) x F x f t dt − =  f x( ) 性质 （1）定义域( , ) − + ；（2）非负性： f x( ) 0  ；（3）规范性： f x dx ( ) 1 + − =  ． （4）任意实数a,b，且 a  b，有 { } ( ) b a P a X b f x dx =  ； （5） 若 f (x) 在点 x 处连续，则有 F x f x ( ) ( ) = ； （6） 对任意实数a 有 P X a { } 0 = = ． { } { } { } { } ( ) b a P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx   =   =   =   =  均匀分布 X U a b ~ ( , ) 1 , , ( ) 0, a x b f x b a     =  −   其它. 指数分布 X E ~ ( )    0 , 0 ( ) 0 , 0 x e x f x x   −   =    常见 分布 正态分布 2 X N~ ( , )   2 2 ( ) 2 1 ( ) ,( ) 2 x f x e x     − − = −   +

*知识框架联合概率密度函数f(x,y)非负可积，任意实数x、y，F(x,y)=f(u,v)dudy二维均匀分布一维连续型随机变量(x,y)eGf(x,y)=S.联合概率密度函数的性质：[0,(x,y)&G（1）非负性：: f(x,y)≥0 ;[-" -" f(x, y)dxdy=1 ;（2）规范性：边缘概率密度(3) (x,y) 在点(s, ) 处连续, 则"F("= (x,1):fx(x)= [ f(x, y)dyaxay（4）D是xoy平面上区域，则点（x，y)落在D内的概率为fr(y)= [f(x, y)dxP((X, Y)e D)= ([ f(x,y)dxdyD

*知识框架 联合概率密度函数 f x y ( , ) 非负可积，任意实数 x、y ， ( ) ( , ) x y F x y f u v dudv − − =   , 联合概率密度函数的性质： （1）非负性： f x y ( , ) 0  ； （2）规范性： f x y dxdy ( , ) 1 + + − − =   ； （3） f x y ( , ) 在点( , ) x y 处连续，则 2 ( ) ( , ) F x y f x y x y  =   ， ； （4） D 是 xoy 平面上区域，则点(x, y) 落在 D 内的概率为 ( ) ( )  D P X Y D f x y dxdy  =  , , 二维均匀分布1 , ( , ) ( , ) 0, ( , ) G x y G f x y S x y G    =     二 维 连 续 型 随 机 变 边缘概率密度 量 ( ) ( , ) +  − = X  f x f x y dy ( ) ( , ) +  − = Y  f y f x y dx

二维连续型随机变量的分布1.联合概率密度(P63-定义1)对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,J),如果存在非负的函数f(x,y)使对于任意x,J有F(x,y) = ffmf(u,v) dudv,则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,J)称为二维随机变量（XY）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度洗阳师范大学ShenYangNoemal Univen

. ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) d d , ( , ) , ( , ) ( , ), 机变量 和 的联合概率密度 称为二维随机变量 的概率密度 或称为随 则 称 是连续型的二维随机变量 函 数 如果存在非负的函数 使对于任意 有 对于二维随机变量 的分布函数 X Y X Y X Y f x y F x y f u v u v f x y x y X Y F x y y x − − = 1.联合概率密度 (P63-定义1) 一、二维连续型随机变量的分布

2.性质(P64-性质(1)-(4)(1) f(x,y)≥ 0. 非负性(2) [~f~ f(x,y) dxd y = F(0,0) =1. 规范性(3)设G是xoy平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为P((X,Y)e G) = [[ f(x, y) dxd y.Gα"F(x,y)(4)若f(x,y)在(x,y)连续,则有= f(x,y).axay沈阳师范大学ShenYangNoemal Unsi

(2) ( , ) d d = (,) = 1.   + − + − f x y x y F {( , ) } ( , ) d d .   = G P X Y G f x y x y (1) f (x, y)  0. 2.性质 (P64-性质(1)-(4)) 内的概率为 设 是 平面上的一个区域 点 落 在 G (3) G xoy , (X,Y ) ( , ). ( , ) (4) ( , ) ( , ) , 2 f x y x y F x y f x y x y =    若 在 连续 则有 非负性 规范性

3.说明几何上,z=f(x,J)表示空间的一个曲面tft f(x,y)dxd y = 1,表示介于f(x,J)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.P((X,Y)eG) = (I f(x,y) dxd y,P((X,Y)EG的值等于以G为底,以曲面z= f(x,J)为顶面的柱体体积。沈阳师范大学ShenYangNoemal Unsi

表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1. { ( , ) } ( , ) d d ,   = G P X Y G f x y x y ( , )d d = 1,   + − + − f x y x y 3.说明 . {( , ) } , ( , ) 为顶面的柱体体积 P X Y G 的值等于以G为底 以曲面z = f x y 几何上, z = f (x, y) 表示空间的一个曲面

设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,)Fx(x) = F(x, +o0)= f _-~ f(u, v)dvdu分量X是一个连续型随机变量，其概率密度为fx(x) = / f(x, y)dy同理，分量Y亦是一个连续型随机变量，其概率密度为f(y)= /f(x,y)dx洗阳师范大学ShenYangNoemal Unive

设二维连续型随机变量( , ) ( ) X Y f x y 的联合概率密度为 , ， ( ) ( ) ( , ) x F x F x f u v dv du X +  − −   = +  =   ，   分量X是一个连续型随机变量，且其概率密度为 ( ) ( , ) +  −  = X  f x f x y dy 同理，分量Y亦是一个连续型随机变量，其概率密度为 ( ) ( , ) +  −  = Y  f y f x y dx

2.边缘概率密度（P64-定义2)设二维连续型随机变量(X.Y)的联合概率密度为f(x,y)，分别称fx(x)= ( f(x,y)dyfr(y) = / f(x, y)dx为二维连续型随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度，简称边缘密度沈阳师范大学ShenYang Noemal Univent

2.边缘概率密度 (P64-定义2) ( , ) ( ) X Y f x y 设二维连续型随机变量 的联合概率密度 为 , ，分别称 ( ) ( , ) +  −  = X  f x f x y dy ( ) ( , ) +  −  = Y  f y f x y dx ( , ) X Y X Y 为二维连续型随机变量 关于 和 边缘概率密度 关于 的 ，简称边缘密度．

单选题SO3设置1分下列二元函数中，（）可以作为连续型随机变量的联合概率密度。元≤XS"0≤y≤1cosx,22A. f(x,y)=其他.0,元元0≤<xcosx,V222B. f(x,y) =其他.0,Bcosx,0≤x≤元,0≤≤1c. f(x,y) =0,其他.-0≤x≤元,0≤≤cosx,2D. f(x,y)=其他.0,提交沈阳师范大学ShentangNomal Universth

A B C D 提交 下列二元函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的联合概率密度。 A. cos , ,0 1 ( , ) 2 2 0, x x y f x y     −     =    ， 其他. B. 1 cos , ,0 ( , ) 2 2 0, x x y f x y     −     =    ， 2 其他. C. cos , ,0 1 ( , ) 0, x x y f x y       =   0 ， 其他. D. 1 cos , ,0 ( , ) 0, x x y f x y        =    0 ， 2 其他. 单选题 1分

例1设二维随机变量(X.Y)的密度函数为P65-例1Ce-y, x>0, y>x,f(x,y)=0,其他.求(1)常数C;(2)P[X>2)；(3）（X,Y)关于X,Y的边缘概率密度解（1）利用二维随机变量联合概率密度的规范性，f(x,y)在阴影部分不为0，其余均为0，从而1= f-f-~ f(x,y)dxdy = J。dxJrCe-"dy =CC=1洗阳师范大学ShenYangNormal U

例1 设二维随机变量( X,Y )的密度函数为 ( ) , 0, , , 0, . y Ce x y x f x y −    =   其他 求(1)常数C;(2)P{X>2};(3) ( X,Y ) 关于X ,Y的边 缘概率密度. P65-例1 1 f x y ( ) 0 0 （ ）利用二维随机变量联合概率密度的规范性， , 在阴影部分不为 ，其余均为 解 ，从而 0 1 ( , ) y x f x y dxdy dx Ce dy C + + + + − − − = = =     C =1