沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第3章 多维随机变量及其分布 3.6 两个随机变量的函数的分布

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二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结 一、问题的引入 §3.6 两个随机变量的函数的分布 1 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

*复习引入一维随机变量函数的分布离散型随机变量：X的所有可能取值及其概率，对应确定Y的所有可能取值和概率连续型随机变量1.定理法①y=g(x)严格单调、连续；②y值域(c,d);③x=h(y)是y=g(x)的反函数fx[h(y)]-| h(y) , c<y<dfr(y) =[0,其它.①Y 的分布函数 Fy(y)；② F'(y)= f,(y)2.分布函数法Fy(y)= P(g(X)≤y)= (r)<Jx(x)dxJg(x)≤)

*复习引入 一维随机变量函数的分布 离散型随机变量： X 的所有可能取值及其概率，对应确定Y 的所有可能取值和概率. 连续型随机变量 1.定理法 ① y g x = ( ) 严格单调、连续； ② y 值域( , ) c d ； ③ x h y = ( )是 y g x = ( ) 的反函数 ' [ ( )] | ( ) |, ( ) 0, X Y f h y h y c y d f y     =   其它. 2.分布函数法 ①Y 的分布函数 ( ) F y Y ； ② ( ) ( ). F y f y Y Y  = ( ) ( ) { ( ) } ( ) Y X g x y F y P g X y f x dx  =  = 

*知识框架1.Z=X+Y:fz(2)= ( f(x,z-x)dxfz(z)= ( f(z-y, y)dyX与Y相互独立fz(2) = ( fx(x)fr(z -x)dxfz(z)= ( fx(z-y)fr(y)dy2. Z = max(X,Y)Fmax (z)= P[max(X,Y)≤z) = P(X ≤z,Y ≤z)= P(X≤z)P(Y≤z) = Fx(2)Fy(2)3. Z = min(X,Y)Fmin(z)=1-[1- Fx(z)]I[1- F(z)]Fmin(z)= P(min(X,Y)≤z)=1-P(min(X,Y)> z)=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P[Y>z)

*知识框架 1. Z X Y = + : ( ) ( , ) + − = − Z  f z f x z x dx ( ) ( , ) + − = − Z  f z f z y y dy X 与Y 相互独立 ( ) ( ) ( ) Z X Y f z f x f z x dx + − = −  ( ) ( ) ( ) Z X Y f z f z y f y dy + − = −  2. Z X Y = max( , ) F z P X Y z max ( ) max( , ) =    =   P X z Y z  ,  =   P X z P Y z     ( ) ( ) = F z F z X Y 3. Z X Y = min( , ) min ( ) 1 [1 ( )][1 ( )] F z F z F z = − − − X Y           min ( ) min( , ) 1 min( , ) 1 , 1 F z P X Y z P X Y z P X z Y z P X z P Y z =  = −  = −   = −  

一、问题的引入有一大群人，令X和Y分别表示一个人的年龄和体重,Z表示该人的血压,并且已知Z与X,Y的函数关系 Z = g(X,Y),如何通过X,Y的分布确定Z的分布为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布沈阳师范大学ShenYangNoemal Univenit

. , ( , ), , , , , 分布确定 的分布 的函数关系 如何通过 的 年龄和体重 表示该人的血压 并且已知 与 有一大群人 令 和 分别表示一个人的 Z X Y Z g X Y X Y Z Z X Y = 为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布. 一、问题的引入 2

离散型随机变量函数的分布例1 设(X,Y)的联合分布列如下，P79-例121X0.20.10.20.10.30.1求(1)Z, = X +Y;(2)Z, = XY;(3)Z, = max(X,Y)的分布列沈阳师范大学3ShenYangNoemal Unsivenit

X Y 0 1 2 0.2 0.1 0.2 2 1 P79-例1 例1 设 (X,Y)的联合分布列如下， 0.1 0.3 0.1 (1) ; 求 Z1 = X +Y (2) ; Z2 = XY (3) max( , ) . Z3 = X Y 的分布列 二、离散型随机变量函数的分布 3

Y12OX0.20.10.220.10.30.1解（1）Z,=X+Y可能的取值为1,2,3,4共四个值，相应的概率为P[Z, = 1) = P[X = 1,Y = 0) = 0.2P[Z, = 2) = P[X = 1,Y =1) + P[X = 2,Y = 0)= 0.1+0.1= 0.2P[Z, = 3) = P[X = 2,Y =1)+P(X =1,Y = 2)= 0.3+0.2= 0.5P[Z, = 4) = P[X = 2,Y = 2) = 0.1洗阳师范大学ShenYang Normal Un

解 （1） Z X Y 1 = + 可能的取值为 1,2,3,4 共四个值，相应的概率为 2 P Z P X Y  1 = = = = = 1 1, 0 0.2     1 2 1, 1 2, 0      0.1 0.1 0.2 P Z P X Y P X Y = = = = + = = = + =  1 3 2, 1 1, 2      0.3 0.2 0.5 P Z P X Y P X Y = = = = + = = = + = P Z P X Y  1 = = = = = 4 2, 2 0.1    X Y 0 1 2 10.2 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1

Y102X0.10.20.220.10.30.1（2）Z，=XY可能的取值为0，1，2，4，相应的概率为P[Z, = 0)= P(X = 1,Y = 0)+ P(X = 2,Y = 0) = 0.2 +0.1= 0.3PZ, = 1) = P(X =1,Y = 1) = 0.1P[Z, = 2) = P(X = 2,Y =1)+ P[X = 1,Y = 2) = 0.3+0.2 = 0.5P[Z, = 4) = P[X = 2,Y = 2) = 0. 1洗阳师范大学ShenYangNormalUniv

（2） Z XY 2 = 可能的取值为 0，1，2，4，相应的概率为 2 X Y 0 1 2 10.2 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 P Z P X Y P X Y  2 = = = = + = = = + = 0 1, 0 2, 0 0.2 0.1 0.3      P Z P X Y  2 = = = = = 1 1, 1 0.1    P Z P X Y P X Y  2 = = = = + = = = + = 2 2, 1 1, 2 0.3 0.2 0.5      P Z P X Y  2 = = = = = 4 2, 2 0.1   

Y102X0.20.10.220.10.30.1（3）Z，=max(X,Y)可能的取值为1,2，相应的概率为P(Z, =1) = PX =1,Y = 0}+P[X = 1,Y =1)= 0.2+0.1= 0.3P[Z, = 2) = 1 - P(Z, =1) =1 -0.3 = 0.7洗阳师范大学ShenYangNoemal Unsivenit

2 X Y 0 1 2 10.2 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 （3） Z X Y 3 = max{ , }可能的取值为 1,2，相应的概率为 P Z P X Y P X Y  3 = = = = + = = = + = 1 1, 0 1, 1 0.2 0.1 0.3      P Z P Z  3 3 = = − = = − = 2 1 1 1 0.3 0.7   

结论若二维离散型随机变量的联合分布律为P(X =x,Y = y;} = Pj, i,j= 1,2,.",则随机变量函数 Z = g(X,Y)的分布律为P(Z = zk) = P(g(X,Y) = zh)py,k = 1,2,....-zk=g(xiyj)沈阳师范大学ShenYangNoemal Univenit

结论 若二维离散型随机变量的联合分布律为 P{X = x ,Y = y } = p , i, j = 1,2,  , i j ij 则随机变量函数 Z = g(X,Y )的分布律为 { } { ( , ) } k k P Z = z = P g X Y = z , 1,2, . ( ) =  =  = p k k i j z g x y ij 7

单选题O3设置1分设二维离散型随机变量(X，Y）的概率分布如下，Y231X00.20.10.210.10.30.1).则 P[min(X,Y = O}C)0. 2B) 0. 30. 4D) 0. 5A)公沈阳师范大学ShentangNiomal Univesth

A B C D 提交 设二维离散型随机变量( , ) X Y 的概率分布如下， Y X 1 2 3 0 0.2 0.1 0.2 1 0.1 0.3 0.1 则 P X Y {min{ , } 0} = （ ）． A) 0.2 B) 0.3 C) 0.4 D)0.5 单选题 1分