沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第2章 随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数

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沈阳师范大学 §2.3 随机变量的分布函数 目录 CONTENTS 分布函数的性质 例题讲解 分布函数的定义 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

*复习引入1.引进随机变量目的对非数值结果的随机试验进行定量的数学处理；随机试验的结果数量化[o,2.数量化的方法X = X()=1,3.结论把试验的结果与实数对应起来，把试验的结果数量化，4. 定义于任意のE2，都有惟一实数X(の）与之对应，则称X(の）为随机变量简记为X5.本质样本点的函数6.与普通函数的区别①随机变量的取值依据试验的结果才能确定；②随机变量取某个值或某个范围内的值也有一定的概率7.用随机变量描述事件8.离散型分布两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布沈阳师范大学

沈阳师范大学 1.引进随机变量目的 对非数值结果的随机试验进行定量的数学处理；随机试验的结果数量化. 2.数量化的方法    = = 1, 0, X X () 3.结论 把试验的结果与实数对应起来，把试验的结果数量化。 4.定义 于任意  ，都有惟一实数 X ( )  与之对应，则称 X ( )  为随机变量， 简记为 X ． 5.本质 样本点的函数 6.与普通函数的区别 ○1 随机变量的取值依据试验的结果才能确定； ○2 随机变量取某个值或某个范围内的值也有一定的概率． 7.用随机变量描述事件 8.离散型分布 两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布. *复习引入

*知识框架（1）F(x)是自变量单调不减函数(2) 0≤F(x)≤1,分布函数x为任意实数，函数F(-o)= lim F(x)=0,F(x)=P!X<x!F(+oo)= lim F(x)=1.儿(3）F(x+O)=F(x)，右连续的离散型变量分布函数的特点(4) P(a<X ≤b)=F(b)-F(a)1.F(x）的图形是一条阶梯形的曲线，段数比x的可P(a≤X <b) = F(b)-F(a)+P(X =a)能取值多一个；2.跳跃点即为随机变量的所有可能取值；3.跳跃值是随机变量可能取值的概率值，4.定义域左闭右开沈阳师范大学

沈阳师范大学 *知识框架 分布函数 x 为任意实数，函数 F x P X x ( ) { } =  （1） F(x) 是自变量单调不减函数 （2） 0 ( ) 1   F x ， ( ) lim ( ) 0, x F F x →− − = = ( ) lim ( ) 1 x F F x →+ + = = . （3） F(x + 0) = F(x) ，右连续的. （4） P a X b F b F a { } ( ) ( )   = − P a X b F b F a P X a { } ( ) ( ) { }   = − + = 离散型变量分布函数的特点 1. F x( )的图形是一条阶梯形的曲线，段数比 x 的可 能取值多一个； 2.跳跃点即为随机变量的所有可能取值； 3. 跳跃值是随机变量可能取值的概率值． 4．定义域左闭右开

分布函数的定义引入连续型随机变量X可以取某个区间[a,b]或全体实数的一切值，要研究随机变量落在一个区间内的概率求随机变量 X落在区间(xi,x2J内的概率。例如P(x x} =1-P(X ≤x)分布函数沈阳师范大学

沈阳师范大学 连续型随机变量X可以取某个区间[a,b]或全体实数 的一切值，要研究随机变量落在一个区间内的概率 . { } P x1  X  x2 { } { } = P X  x2 − P X  x1 { } 1 { } 1 1 P X  x = − P X  x 例如 ( , ] . 求随机变量 X 落在区间 x1 x2 内的概率 引入 ( , ) . 又如 求随机变量 X 落在区间 x1 + 内的概率 分布函数 分布函数的定义

分布函数的定义定义设X是一个随机变量,x是任意实数，函数F(x) = P(X ≤x)称为X的分布函数说明(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况(2)分布函数 F(x)是定义在(-0,+)上,取值于[0,1]的一个函数沈阳师范大学

沈阳师范大学 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. . ( ) { } , , 称 为 的分布函数 定 义 设 是一个随机变量 是任意实数 函 数 X F x P X x X x =  (2) ( ) , , 0,1 ( )   . 分布函数 F x 是 定义在 − + 上 取值于 的一个函数 分布函数的定义

例1抛掷均匀硬币，令[1,出正面，X=[0,出反面.求随机变量X的分布函数1解P(X =1) = P(X = 0) = 2'x01当x<0时，=0;F(x) = P(X ≤x)

例1 抛掷均匀硬币, 令    = 0, . 1, , 出反面 出正面 X 求随机变量 X 的分布函数. 解 P X{ 1} = = = P X{ 0} , 2 1 = • 0 • 1 x 当 x  0时, F x P X x ( ) { } =  = 0;

x01当0≤x<1时,F(x) = P(X≤x}= P(X = 0) 2当x≥1时，0,x<0,F(x) = P(X ≤ x)1= P(X = 0)+ P(X = 1) 0≤x<1,得 F(x):2'1.[1,x ≥1.122

• 0 • 1 x 当 0  x  1时, F(x) = P{X  x}= P{X = 0} ; 2 1 = 当 x  1时, F(x) = P{X  x} = P{X = 0}+ P{X = 1} 2 1 2 1 = + = 1.            = 1, 1. , 0 1, 2 1 0, 0, ( ) x x x 得 F x

分布函数的性质02(1)F(x)是单调不减函数；(2)有界性 0≤ F(x)≤1, xε (- ,);特别地,F(-o)= lim F(x)=0, F(+o)= lim F(x)=l;X→+0x-00(3)右连续 lim F(x)= F(x,)，(-o0 a) =1- F(a)沈阳师范大学

沈阳师范大学 ( 2 ) 0 ( ) 1 , ( , ) ; 有 界 性    −   F x x (1 ) ( ) ; F x 是 单 调 不 减 函 数 x F F x → −  特 别 地 , ( ) lim ( ) 0 , −  = = ( ) lim ( ) 1; x F F x → +  +  = = x x F x F x x + → = −     0 0 0 ( 3 ) lim ( ) ( ), ( ). 右 连 续 F x F x = 0 0 即 ( + 0 ) ( ) . P a X b F b F a P a X b F b F a P X a P X a F a   = −   = − + =  = − { } ( ) ( ), { } ( ) ( ) { } { } 1 ( ). （4） 分布函数的性质

例 2 设离散型随机变量X的分布列为X0-11111P3263D求X 的分布函数F(x),并求PX<<X≤0),P0≤X≤122解xER,讨论x的所有可能取值情况：当x<-1时,F(x)=P(X≤x}= 0当-1≤x<0时,F(x)= P[X≤x}=P[X=-1)=3当0≤x<1时,5F(x) = P(X ≤x) = P(X = -1)+P(X = 0)632

例 2 设离散型随机变量 X 的分布列为 X −1 0 1 P 1 3 2 1 1 6 求 X 的分布函数 F x( )，并求 1 3 { }, { 0}, {0 1} 2 2 P X P X P X  −     ． 解 x R x  ,讨论 的所有可能取值情况： 当x F x P X x  − =  = 1 ( ) { } 0 时， −   =  = = − = x F x P X x P X 1 1 0 ( ) { } { 1} 3 当 时， ； x F x P X x P X P X   =  = = − + = = + = 0 1 1 1 5 ( ) { } { 1} { 0} 3 2 6 当 时， ；

当x≥1时，F(x) = P(X ≤ x) = P(X =-1)+ P(X = 0)+ P(X =1)111整理得326中0,F(x)x<-1,11-1≤x<0,n3二6F(x) :-lm50≤x<1,01-1x61,x ≥1.F(x)的图形是一条阶梯形的曲线，在x=-1,0,1处有跳跃点，跳跃值分别为正是在处的概率值3'2'6

x F x P X x P X P X P X  =  = = − + = + = = + + = 1 ( ) { } { 1} { 0} { 1} 1 1 1 1 3 2 6 当 时， 整理得 F x x ( ) 1,0,1 = − 1 1 1 , , 3 2 6 的图形是一条阶梯形的曲线，在 处有 跳跃点，跳跃值分别为 ，正是在处的概率值． 0, 1, 1 , 1 0, 3 ( ) 5 , 0 1, 6 1 , 1. x x F x x x   −   −    =        