沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第4章 数字特征 4.3 常见分布的数学期望和方差

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一、常见分布的期望和方差 二、小结 第三节 常见分布的数学期望和 方差 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

*复习引入E(X)=ExxPx E(X)=[ xf(x)dxE(Y)= E(g(X))= g(x)pk E(Y)= E(g(X))= [tg(x)f(x)dx数学期望k=lE(Z)=Zg(x,y,)pij E(Z)= /m g(x, y)f(x, y)dxdyi==方差D(X)= E(X)-[E(X)}1. E(c) = c : E(cX) = cE(X) ;2. E(X+Y)= E(X)+E(Y) ; E(ZX)=EX3.X,Y相互独立,E(XY)=E(X)E(Y);4.X,X2,,X,相互独立,E(X,X,.X)=EX性质1=1) D(c)=0; 2) D(cX)=c^D(X) ;3)X，Y相互独立=D(X±Y)=D(X)+D(Y);4) Xi,X2,,X,相互独立= D(ZC,X)=CD(X,)=5）D(X)=0的充分必要条件为PX=c=1

*复习引入 数学期望 1 ( ) k k k E X x p  = = ( ) ( ) + − =  E X xf x dx E Y E g X ( ) { ( )} = =   =1 ( ) k k pk g x E Y E g X ( ) { ( )} = = g x f x dx  + − ( ) ( ) E Z( ) =   =  1 =1 ( , ) i i j ij j g x y p E Z( ) = g x y f x y dxdy   + − + − ( , ) ( , ) 方 差 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 1. E(c) = c ; E cX cE X ( ) ( ) = ; 2. E X Y E X E Y ( ) ( ) ( ) + = + ; 1 1 ( ) n n i i i i E X EX = =  = 3. X ,Y 相互独立, E(XY) = E(X)E(Y) ; 4. 1 2 , , , X X X n 相互独立, 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = = 性 质 1） D(c) = 0 ；2） ( ) ( ) 2 D cX = c D X ； 3） X ，Y 相互独立 D X Y D X D Y ( ) ( ) ( )  = + ； 4） X X Xn , , , 1 2  相互独立   = = = n i i i n i D Ci Xi C D X 1 2 1 ( ) ( )． 5） D X( ) 0 = 的充分必要条件为 P X c { } 1 = =

1.两点分布例1已知随机变量X的分布律为X01-ppp则有E(X)=1·p+0.(1-p)=p;DX = EX? -(EX)2= 12 . p+ 02 . (1- p) - p= p(1-p)沈阳师范大学ShenYangNoemal Unsivenit

1. 两点分布 E X p p ( ) 1 0 (1 ) =  +  − X p 1 0 p 1 − p 例1 已知随机变量 X 的分布律为 则有 = p, 2 2 DX EX EX = − ( ) 2 2 2 = 1  p + 0 (1− p) − p p = p(1-p)

2.二项分布例2设随机变量X服从二项分布B(n,P),求E(X)D(X)解引入随机变量X，令1,A在第次试验中发生X, =[0, A在第次试验中不发生X=X, +X, +..·+X,’ 其中X,~(O-1)分布E(X,)= p, D(X,)= p(1- p)E(X)= E(ZX,)= ZE(X,)= npi=1i=1Xi,X2,,X,相互独立，有 D(X)=ZD(X,)=np(1-p)i=1

例2 设随机变量X B n p E X D X 服从二项分布 ( , ), ( ) . 求 、 ( ) 2. 二项分布 解 引入随机变量Xi ，令 1 0 i A i X A i  =   , 在第 次试验中发生 , 在第 次试验中不发生 1 2 . (0 1) X X X X X = + + + − n i ，其中 分布 E X p D X p p ( ) , ( ) (1 ) i i = = − 1 1 ( ) ( ) ( ) n n i i i i E X E X E X np = = ===   1 2 , , , X X X n 相互独立，有 1 ( ) ( ) (1 ) n i i D X D X np p = = = − 

单选题03设置1分设随机变量X~ B(30,),则EX=（ ).4-3A. 5B. 2D.6福提交沈阳师范大学Shentang Nomal Univesth

A B C D 提交 设随机变量 1 ~ (30, ) 6 X B ，则 EX = ( ). A.5 B.2 C. 3 4 D. 6 单选题 1分

3.泊松分布例3 设 X ～ P(a),且分布律为ak-2.P[X = k} :k = 0,1,2,., 2 > 0.二k!则有11k88Z2ZleE(X)=kek!(k -1)!k=lk=0= e-r .e~ = .沈阳师范大学ShenYangNoemal Univenit

3. 泊松分布 e , 0,1,2, , 0. ! { = } = =  −    k  k P X k k 则有   = − =  0 e ! ( ) k k k E X k   1 1 e ( 1)! k k k     − − = = −    = e  e − = . 例3 设 X P ~ ( , ) 且分布律为 

EX? = E[X(X -1)+ X]= E[X(X -1)I+ EXk+80Zk(k-2P十k!k=02k~2+822Z+ = e-~e~ + =? +.e(k - 2)!k=2所以DX = EX?-(EX)2 = 2 +-? = .泊松分布的期望和方差都等于参数2沈阳师范大学ShentYangNoemal Unive

2 EX E X X X = − + [ ( 1) ] = − + E X X EX [ ( 1)]  + = − = −  + 0 e ! ( 1) k k k k k     + = − − + − =  2 2 2 ( 2)! e k k k         = + − e e 2 . 2 =  +  所以 2 2 DX EX EX = − ( ) 2 2 =  +  −  =  . 泊松分布的期望和方差都等于参数. 

单选题03设置1分设X ～ P(2元),则 DX =TB.D. 422A. 2元4元221提交沈阳师范大学ShentangNomal Universth

A B C D 提交 设 X P ~ (2 )  ,则 DX = （ ）. A. 2 B. 1 2 C. 2 1 4 D. 2 4 单选题 1分

4.均匀分布设 X～U(a,b),其概率密度为a<x<b.f(x)=3b-a其他。L0,则有 E(X)= (~ xf(x)dx=xoJab-a(a + b),沈阳师范大学ShenYangNoemal Unsivenit

4. 均匀分布 则有 E(X) xf (x)d x   − =  − = b a x x b a d 1 ( ). 2 1 = a + b        = − 0, . , , 1 ( ) 其他 a x b f x b a 设 X ~ U(a,b), 其概率密度为 ( ). 2 1 a + b

结论均匀分布的数学期望位于区间的中点DX = EX? -(EX)dxb-a(b-a)12沈阳师范大学ShentangNiomal Univesth

结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点. 2 2 DX EX EX = − ( ) 2 2 2 d 1       + − − =  a b x b a x b a . 12 ( ) 2 b − a = 12 ( ) 2 b − a