沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第7章 参数估计 7.3 区间估计

删除标识福昕编辑器福昕PDF编辑器福昕PD第三节区间估计福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器一、区间估计的基本概念二、典型例题福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器福PDF编辑器三、小结福昕PDF编辑器福昕PDF编辑器沈阳师范大学ShentangNiomal Universth

第三节 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题 三、小结 https://editor.foxitsoftware.cn?MD=shanchu

预备知识：分位数1.定义设随机变量X的分布函数为F(x),概率密度函数f(x)对任意α E(0,1),若P(X >Fa)= fr~f(x)dx=α则称F为此分布的上侧α分位数2.性质 1-F(F)=α,F(F)=1-αF3.X是对称分布的连续型随机变量，则F-α=-F沈阳师范大学ShentYang Noemal Unive

预备知识：分位数 1 ( ) , ( ) 1 − = = − F F F F     F F 1−  = − ( ) ( ) ( ) ( ), ( ). 0,1 , F X F x f x P X F f x dx     +   = =  1.定义 设随机变量 的分布函数为 概率密度函数 对任意 若 F . 则称  为此分布的上侧分位数 F 2.性质 3.X是对称分布的连续型随机变量，则

1.单个正态总体条件下的抽样分布定理一设X,X2，…,X,是来自正态总体N(u,α2）的样本,X是样本均值,则有X～N(μ,2 /n)X-μ~ N(0, 1)即 E(冈)=μ，D(冈)=，g/n沈阳师范大学ShenfangNomal Univest

1. 单个正态总体条件下的抽样分布 定理一 , , ~ ( , / ). , , , ( , ) 2 2 1 2 X X N n X X Xn N     的样本 是样本均值 则 有 设  是来自正态总体 ( ) , ( ) , 2 n E X D X  即 =  = ~ (0,1) / N n X  − 

正态总体N(u,α2）的样本均值和样本方差有以下两个重要定理定理二设X,Xz,,X,是总体N(μu,α")的样本X,S2分别是样本均值和样本方差，则有(n-1)s2(1)~ x(n-1);a(2) X与 S2 独立沈阳师范大学ShenYangNoemal Univenit

定理二 (2) . ~ ( 1); ( 1) (1) , , , , , ( , ) , 2 2 2 2 2 2 1 2 与 独 立 分别是样本均值和样本方 差 则 有 设 是总体 的样本 X S n n S X S X X Xn N − −      . ( , ) 2 有以下两个重要定理 正态总体 N   的样本均值和样本方差

定理三设X,X2,,X,是总体N(u,α2)的样本，X,S2分别是样本均值和样本方差,则有X-μ ~ t(n -1).S//n(n -1)s?X-μ~ N(0,1)证明因为x(n-1)g//n且两者独立，由t分布的定义知X-μ(n-1)s2X-μS / Vn ~ t(n-1).α / /n/ Vα2(n-1)沈阳师范大学ShenYangNoemal Unive

~ ( 1). / , , , , , , ( , ) 2 2 1 2 − − t n S n X X S X X Xn N    样本 分别是样本均值和样本方差 则有 设  是总体 的 证明 ~ (0,1), / N n X  −  因为 ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S   且两者独立, 由 t 分布的定义知 S n X n n S n X ( 1) / ( 1) / 2 2     − = − − − ~ t(n −1). 定理三

三大分布：1. 2分布独立的标准正态X = X?+X? +...+X32. t分布XX ~ N(0,1), Y ~ x(n) T/Y/n3.F分布X与Y相互独立X~ x(m), Y~ x(n)X / mF :Y /n

三大分布： 1. 2  分布 独立的标准正态 2 2 2 X X X X = + + + 1 2 n 2. t 分布 2 X N Y n ~ (0,1) , ~ ( )  / X T Y n = 3. F 分布 X 与Y 相互独立 2 2 X m Y n ~ ( ) , ~ ( )   / / X m F Y n =

一、区间估计的基本概念1.置信区间的概念设样本X,X,,,X,来自分布函数为F(x;の)为未知参数)的总体,对于给定的常数α(0<α<1)如果存在两个统计量=Q(X,X2,,X,)和02, = 02(X,X2,..,X,) 满足P(0<0<0)=1-α, V00则称随机区间(①,θ,)是的置信水平为1-α的置信区间0和θ,分别称为置信下限和置信上限,1-α为置信水平洗阳师范大学ShenYang Nommal Uni

一、区间估计的基本概念 1. 置信区间的概念 ( ) 满足 如果存在两个统计量 和 为未知参数 的总体 对于给定的常数 设样本 来自分布函数为 ( , , , ) ( , , , ) , (0 1), , , , ( ; ) 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 n n n X X X X X X X X X F x            = =   ,1 . ( , ) 1 , 1 2 1 2 和 分别称为置信下限和置信上限 为置信水平 则称随机区间 是 的置信水平为 的置信区间        − −   1 , P 1     2 = −  

关于定义的说明1．置信区间(①,2)的上下限都是统计量，故称区间(①,02)为随机区间．该区间随样本观测值的不同而变化，而对于一次抽样结果所得到的区间(①,)是通常意义下的一个确定区间，虽然θ未知，但它是一个常数，该区间或者包含θ的真值，或者没有包含θ的真值，两者必居其一，无概率可言。沈阳师范大学ShenYangNomalUm

关于定义的说明 1． 置信区间( ) 1 2  , 的上下限都是统计量，故称区间( ) 1 2  , 为随机区间．该区间随样本观测值的不同而变化，而对于一 次抽样结果所得到的区间( ) 1 2  , 是通常意义下的一个确定 区间，虽然 未知，但它是一个常数，该区间或者包含 的 真值，或者没有包含 的真值，两者必居其一，无概率可言．

2：参数①的真值是客观存在的确定值，没有任何随机性故不能说参数θ以1-α的概率落在区间(0,,)中，应该说随机区间(①,0,)以1-α的概率包含参数0.沈阳师范大学ShenYangNomal Univent

2．参数  的真值是客观存在的确定值，没有任何随机性， 故不能说参数 以1− 的概率落在区间( ) 1 2  , 中，应该 说随机区间( ) 1 2  , 以1− 的概率包含参数 ．

3.若α=0.01，反复抽样1000次则得到的1000个区间中不包含真值的约为10个福洗阳师范大学ShentangNiomal Univesth

3. 若 = 0.01, 反复抽样1000次, 则得到的1000 个区间中不包含  真值的约为10个