沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.1 中值定理

第三章第三章微分中值定理与导数的应用罗尔中值定理推广泰勒公式拉格朗日中值定理中值定理人（第三节）柯西中值定理研究函数性质及曲线性态应用利用导数解决实际问题

第三章 微分中值定理与导数的应用 第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广

第三章微分中值定理包括：罗尔定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，1使所研究的函数在该点具有某种微分性质。微分中值定理是微分学的理论基础是利用导数研究函数性质的理论依据001010?柯西中值定理小结与作业罗尔中值定理拉格朗日中值定理思考与练习上页下页返回结束目录

目录 上页 下页 返回 结束 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 小结与作业 思考与练习 第三章 2 微分中值定理包括：罗尔定理、拉格朗中 值定理、柯西中值定理 微分中值定理是微分学的理论基础。 是利用导数研究函数性质的理论依据。 微分中值定理的共同特点是： 在一定的条件下，可以断定在所给区间内 至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种 微分性质

第三章8 3.1 中值定理罗尔定理(Rolle Theorem)一费马引理(FermatLemma)拉格朗日定理（LagrangeTheorem)柯西定理(CauchyTheorem)eo00lx柯西中值定理小结与作业罗尔中值定理拉格朗日中值定理思考与练习上页下页目录返回结束

§3.1 中值定理 目录 上页 下页 返回 结束 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 小结与作业 思考与练习 第三章 ■ 罗尔定理 (Rolle Theorem) ■ 拉格朗日定理 (Lagrange Theorem) ■ 柯西定理 (Cauchy Theorem) 费马引理 (Fermat Lemma)

费马引理(FermatLemma)某邻域内恒有f(x) ≤f(xo) (或f(x) ≥f(xo) )则 f'(x)= 0.y几何解释：y= f(x)510xE2曲线在峰点和谷点，如果有切线，那肯定是水平的

费马引理 (Fermat Lemma) 某邻域内恒有 f (x) ≤ f (x0) (或 f (x) ≥ f (x0) ) 则 . x y o y  f (x) 1  2  几何解释: 曲线在峰点和谷点, 如果有切线, 那肯定是水平的

证因为在xo 的某领域内恒有f (x) ≤f (xo)所以 f(xo+ △x) -f(xo) ≤0f(xo + △x)- f(xo)≤0f'(x)= lim+△xAx→0*f(x +△x) - f(x)f'(x)= lim≥0ArAx-0因为f(x)在xo 可导所以 f'(x。)= 0

证 因为在 x0 的某领域内恒有 f (x) ≤ f (x0) 所以 f (x0 + Dx) － f (x0) ≤ 0 － +－ － ≤ 0 ≥ 0 因为 f (x) 在 x0 可导, 所以

84.1中值定理理观察与思考设连续光滑的曲线 y=f(x)在端点 A、B处的纵坐标相等J提问：Cy=f(x)f'()=?BA提示：1-uS0f'()=0.bxa0lo00l8柯西中值定理小结与作业罗尔中值定理拉格朗日中值定理思考与练习上页下页目录返回结束

一 、罗尔中值定 理 设连续光滑的曲线 yf(x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等 目录 上页 下页 返回 结束 观察与思考 提问： f () ? 提示： f ()0 §4.1 中值定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 小结与作业 思考与练习

$4.1中值定理罗尔定理(Rolle Theorem)定理如果函数 y=f(x) 满足:(1)在闭区间[a, b] 上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3) f (a) = f (b)则至少存在一点 e(a,b)，使得 f'()=0

罗尔定理 (Rolle Theorem) 定理 如果函数 y = f(x) 满足: (1) 在闭区间 [a, b] 上连续; (2) 在开区间 (a, b) 内可导; (3) f (a) = f (b). 则至少存在一点 , 使得 . §4.1 中值定理

先利用形象思维怎样证明罗尔定理？去找出一个C点来！V想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！CBAC111b0ax

怎样证明罗尔定理 ？ 先利用形象思维 去找出一个C点来！ 想到利用闭区间上连续函数 的最大最小值定理！ C x y o a b A B C

84.1中值定理罗尔定理(Rolle Theorem)简要证明：(1)若(x)是常函数，则f(x)=0，定理的结论显然是成立的.(2)若(x)不是常函数,则(x)在(a, b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点Ee(a,b).于是f(x)- f(E)≥0 ,f()= f'()= lim翼x-5x-→5f(x)-f()<0f'()=f()= limx-5x-→5+因此必有f()=001010108罗尔中值定理柯西中值定理小结与作业思考与练习拉格朗日中值定理上页自录下页返回结束

(2)若f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至少有一个最 大值点或最小值点 不妨设有一最大值点(a b) 于是 因此必有f ()0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim                x f x f f f x  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim                x f x f f f x  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim                x f x f f f x  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim                x f x f f f x  目录 上页 下页 返回 结束 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 小结与作业 思考与练习 简要证明 (1)若f(x)是常函数 则f (x)0 定理的结论显然是成 立的 罗尔定理 (Rolle Theorem) §4.1 中值定理

例1验证y=sinx在[0,元上满足罗尔定理的所有条件，并求出定理中的解（(1)sin x在[0,元]上连续;(2) sin x在(0, 元）内可导;(3) sin (0) = sin (元) = 0;所以y=sinx在[0,元]上满足罗尔定理由 f'()= cos= 0得≤=元 / 2

验证 y = sin x 在 [0, ] 上满足罗尔 定理的所有条件, 并求出定理中的. 解 (1) sin x 在 [0, ] 上连续; (3) sin (0) = sin () = 0; (2) sin x 在 (0, ) 内可导; 所以 y = sin x 在 [0, ] 上满足罗尔定理. 得  =  / 2 由 例1