沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第4章 不定积分 4.3 定积分的换元积分法与分部积分法

5.3 定积分的换元积分法 与分部积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法 三、小结

三、小结 二、定积分的分部积分法 一 、定积分的换元积分法 5.3 定积分的换元积分法 与分部积分法

定积分的换元积分法一定理假设(1）f(x)在[a,b]上连续;(2）函数x=(t)在[α,β]上是单值的且有连续导数；(3）当t在区间[α,β]上变化时，x=β(t)的值在[a,b]上变化， 且β(α)=a、(β)=b,则 有[" f(x)dx = f" f[p(t)lp'(t)dt.该公式叫做定积分换元公式沈阳师范大学

一 、定积分的换元积分法 定理 （3）当t在区间[,  ]上变化时， x  (t)的值 在[a,b]上变化，且( )  a、( )  b， 则 有 f x dx f t t dt b a      ( ) [( )] ( ) . 该公式叫做定积分换元公式．

应用换元公式时应注意(1）用x=Φ(t)把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变(2)求出,f[p(t)lp'(t)的一个原函数Φ(t)后，不必象计算不定积分那样再要把Φ(t)变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入Φ(t)然后相减就行了

应用换元公式时应注意: （1） （2） 用 x  (t)把变量x换成新变量t时，积分限也 相应的改变

计算例12x·erdxJo解设x2=t.当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.则

计算 . 1 2 0 2 x x e dx  1 2 1 2 2 0 0 2 x x x e dx  e dx   1 0 t  e dt  1 0 t  e  e 1 例1

练习125计算cos' x sin xdx.Jo解令dt = -sin xdx.t = cosx,元t=0,x=0=t=1,x=2元25cos' x sinxdxJo

计算 cos sin . 2 0 5   x xdx 解 令 t  cos x, 2  x   t  0, x  0 t  1,   2 0 5 cos x sin xdx    0 1 5 t dt 1 0 6 6 t  . 6 1  dt  sin xdx, 练习1

例2I'Vi- x? dx .计算解令x=sint(0≤x≤1)，则dx= costdt元当x=0时，{=0；当x=1时，{=．于是1+cos2tI'Vi-xdx = [cost.costdtdt2JO元元sin2t22410

． 计算 . 1 2 0 1 x dx  1 2 2 0 0 1 x dx cost costdt       2 0 1 cos 2 2 t dt     1 sin 2 ( ) 2 2 2 0 t t    4   ． 例2

若f(x)在[-a,al上连续，证明例3①f(x)为偶函数，则F", f(x)dx = 2f" f(x)dx ;②f(x)为奇函数，则["f(x)dx =0证 ", (x)dx = J°. f(x)dx+ J" (x)dx,在[f(x)dx中令x=-t

证 ( ) ( ) ( ) , 0 0      a a a a f x dx f x dx f x dx 在 0 ( ) a f x dx中令x  t, 例3

f f(x)dx =- f° f(-t)dt =J" f(-t)dt,①f(x)为偶函数，则 f(-t)= f(t)" J(x)dx = f" (x)dx + f" f(x)dxJ°f(-t)dt +J f(t)dt =2f" f(t)dt;②f(x)为奇函数，则f(-t)=-f(t)" f(x)dx = J" f(x)dx + f" f(x)dx= 0

  0 ( ) a f x dx     0 ( ) a f t dt ( ) , 0  a f t dt ① f ( x)为偶函数，则 f (t)  f (t),      a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ; 0  a f t dt ② f ( x)为奇函数，则 f (t)   f (t),      a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( )  0. 0 ( ) a  f t dt  0 ( ) a  f t dt 

练习22x? + xcosx计算dx1+1-x222x2xcos x原式={解dxdx +1+/1-x1+/1-x奇函数偶函数V1-x2x(1Xdx1-(1-x2)/1-x1+: 4f" (1- ~1-x)dx = 4-4f /1-xdx单位圆的面积=4-元

奇函数 计算 解 . 1 1 1 2 cos 1 2 2     dx x x x x 原式     1 1 2 2 1 1 2 dx x x     1 1 2 1 1 cos dx x x x 偶函数     1 0 2 2 1 1 4 dx x x       1 0 2 2 2 1 (1 ) (1 1 ) 4 dx x x x     1 0 2 4 (1 1 x )dx     1 0 2 4 4 1 x dx  4  . 单位圆的面积 练习2

例4若函数f(x)是连续的周期函数，周期为T,证明对任意常数a,都有 f(x)dx =(1) f(x)dxatnf(x)dx=n[°f(x)dx (ne N), 并由此计算(2)/1+ sin2x dx证: (1)记Φ(a)= [a+ f(x)dx, 则@(a)= f(a+T)- f(a) = 0可见Φ(α)与a无关，因此Φ(a)=Φ(O),，即?a+Tf(x)dx = (° f(x)dx

f x x f x x a T T a (1) ( )d ( )d  0   证:(1)记 I x x n 1 sin 2 d 0    (a) f (x)dx, a T a    (a)  f (a T)  f (a)  0 可见 (a)与a无关，因此 (a)  (0), (2) ( )d ( )d ( ), 0    N  f x x n f x x n a nT T a 并由此计算 则 即 f x x f x x a T T a ( )d ( )d  0   若函数 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明对 任意常数a,都有 例4