沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第1章 函数、极限、连续 1.8 函数的连续性

1.8函数的连续性连续函数的概念2函数的间断点3连续函数的性质4团区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质 函数的间断点 连续函数的性质 连续函数的概念 1.8 函数的连续性 1 2 3 4

第1讲内容函数在一点处连续的概念（*）函数的连续性判别函数在一点处是否连续的条件一点处连续与极限存在的关系函数在开区间(a,b)内连续的定义函数在闭区间[a,b]上连续的定义

一点处连续与极限存在的关系 函数在闭区间[a,b]上连续的定义 函数在开区间(a,b)内连续的定义 函 判别函数在一点处是否连续的条件 数 的 连 续 性 第1讲 内 容 函数在一点处连续的概念(*)

1函数在点x处连续的概念*变量的增量变量的微小变化设函数y=(x)在点x的某一个邻域U(x)内有定义在邻域U(x)内，若自变量x从初值x变到终值x1,则称△x=x;-x为自变量x的增量y=f(xo)f(xo+x)称△y=(xo+△x)-(xo)函数y的增量为.A1f(xo)问题：增量可以为负吗？Ax答：可以为负！0xo+△xxoX

v变量的增量 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义 称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量为 在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1  则称Dx=x1-x0为自变量x的增量 Dx Dy 1 函数在点x0处连续的概念 变量的微小变化 问题：增量可以为负吗？ 答:可以为负！

心函数在一点处连续的定义设函数 y=f(x)在点x的某一个邻域内有定义，如果lim Ay=0,△x-0那么就称函数y=(x)在点xo处连续提示：从曲线上看，连续函数是连绵不断的，在xo点处有定义自变量的增量趋于0时，因变量的增量也趋于零

v函数在一点处连续的定义 提示: 设函数 y=f (x) 在点x0的某一个邻域内有定义 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 lim 0 0 D = D  y x  或 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x =   从曲线上看，连续函数是连绵不断的，在x0点处有定义. 如果 自变量的增量趋于0时，因变量的增量也趋于零

lim △y=0,x eU(x)Ax->0自变量的定点：Xo记作x，即x=xo+△x自变量的动点：xo+△xAx->0 x →xoAy=f (xo+△x)-f (xo)lim_Ay=0 < lim [f(x)-f(xo)]=0Ax0→Xo← lim f(x)= f(xo)连续性的等价定义x-→xo

lim 0 0 D = D  y x  lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 - =  f x f x x x  lim ( ) ( )0 0 f x f x x x =   lim 0 0 D = D  y x  或 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x =   Dy=f (x0+Dx)-f (x0) lim 0 0 D = D  y x  lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 - =  f x f x x x  lim ( ) ( )0 0 f x f x x x =   lim 0 0 D = D  y x  lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 - =  f x f x x x  lim ( ) ( )0 0 f x f x x x =   ( ) 0 x x 自变量的定点：x0 自变量的动点：x0+Dx 记作 x，即 x =x0+Dx Dx0  x  x0 连续性的等价定义

2判别函数在一点处连续的条件lim f(x)= f(xo)连续性的等价定义x→Xo函数f(x)在点x,处连续必须同时满足三个条件：(1),f(x)在点x,处有定义;(2) lim f(x)存在;x→xo(3) lim f(x) = f(x).x→xo

0 函数 f (x)在点x 处连续必须同时满足三个条件: 0 (1) f (x)在点x 处有定义; (2) lim ( ) ; 0 f x 存在 xx (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x =  2 判别函数在一点处连续的条件 连续性的等价定义 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x  =

函数f(x)在点x处连续的第1个条件：(1) f(x)在点x,处有定义;2例1函数y=tanx在点 x=处是否连续？解函数在该点处无定义，所以不连续tanxx2

y = tan x 2  x y o 0 (1) f (x)在点x 处有定义; 解 函数在该点处无定义，所以不连续 0 函数 f (x)在点x 处连续的第1个条件: y = tan x 2  例1 函数 在点 x = 处是否连续？

函数f(x)在点x处连续的第2个条件：(2) lim f(x)存在;x→xox0解因为 f(0-)= lim f(x)= lim(x-1)=-1,x-0-01f(0t)= lim f(x)= lim(x+1)=1,0x-0+x-→0*x-1即函数在x=0点处无极限，不满足连续的第2个条件所以函数在x=0点处不连续

(2) lim ( ) ; 0 f x 存在 xx x y o 1 -1 0 0 (0 ) lim ( ) lim( 1) 1, x x f f x x - - -   = = - = - 0 0 (0 ) lim ( ) lim( 1) 1, x x f f x x + + +   == = + = 0 函数 f (x)在点x 处连续的第2个条件: 例2 函数 在x=0点处是否连续？ 1 , 0 ( ) 0 , 0 1 , 0 x x f x x x x  -   =  =   +  解 因为 即函数在x=0点处无极限，不满足连续的第2个条件， 所以函数在x=0点处不连续

函数,f(x)在点x,处连续的第3个条件：(3) lim f(x) = f(xo)x-→xox±1x,函数,f(x)=例3在x=1点处是否连续？0,x=1解国因为f(1) = 0,lim f(x) = limx =1± f(1)x→>1X→不满足连续的第3个条件所以函数在x=1点处不连续

(3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x =  0 函数 f (x)在点x 处连续的第3个条件: 例3 函数 在x=1点处是否连续？ , 1 ( ) 0, 1 x x f x x   =   = 1 1 lim ( ) lim 1 (1), x x f x x f   = =  解 因为 f (1) = 0, 不满足连续的第3个条件. 所以函数在x=1点处不连续

3一点处连续与极限存在的关系xeU°(x,)一点处极限存在：lim f(x)= Ax→xolim f(x)= f(x) x eU(x,)一点处连续：x-→xo都是xo点处的极限表达式形式上的相同点：隐含的不同点：定义域要求不同；极限值不一定相同函数在xo点处连续，则极限必存在；二者关系：极限存在，却不一定连续

3 一点处连续与极限存在的关系 一点处极限存在： 0 lim ( ) x x f x A  = 一 点 处 连 续 ： 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x  = 表达式形式上的相同点 ： 隐含的不同点 ： 0 x  ( x ) 0 ( ) o x   x 都是x0点处的极限 定义域要求不同； 极限值不一定相同. 二者关系： 函数在x0点处连续，则极限必存在； 极限存在，却不一定连续