沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第4章 不定积分 4.4 反常积分

第四节 反常积分 积分区间有限 常义积分 被积函数有界 推广 反常积分（广义积分） 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分

二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分区间有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分

Ay=(x)f(x)A=dxAx=bx=aobaxy(0,1)y=e-x0bx

( )d b a A  f x x A  y = e -x y O b x (0,1)

无穷限的广义积分一求由曲线y=ex,y轴及x 轴所围成开口例 1 曲边梯形的面积解这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取yb E[0,+ )，在有限区间[o,b] 上，以曲线y=e-x(0,1)为曲边的曲边梯形面积为y=e-xe-xdx =00eb0x

一 、无穷限的广义积分 例 1 求由曲线 y = e -x，y 轴及 x 轴所围成开口 曲边梯形的面积. 解 这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取 b [0, + )，在有限区间 [0, b] 上， 以曲线 y = e - x 为曲边的曲边梯形面积为 . e 1 e d e 1 0 0 b b x b x x        b y = e -x y O x (0,1)

当b→+8时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，即himA = lime-*dx-b-→+oJaV(0,1)y=exb0x

A x b a x b lim e d     1. e 1 lim 1           b b y = e -x y O b x (0,1) 即 当 b  +  时，阴影部分曲边梯形面积的极限就 是开口曲边梯形面积

定义1设函数f(x)在[a,+o)上连续，取实数b>，如果极限limf(x)dxb+oa存在，则称此极限为函数,f(x)在无穷区间[a,+oo)上的广义积分，记作（°f(x)dx，即f(x)dx = limf(x)dx.b+8Ja这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散

定 义 1 设 函 数 f (x ) 在 [a , +  )上 连 续 ，取实 数 b > a，如果极限   b b a lim f (x)dx 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + ) 上的广义积分， ( )d lim ( )d .      b a b a f x x f x x 这时也称广义积分收敛， ( )d ,   a 记作 f x x 即 存在， 否则称广义积分发散

定义 2设函数f(x)在（-o0,b)上连续，取实数a<b,如果极限lim f(x)dxa-8存在，则称此极限值为函数,f(x)在无穷区间（-oo,b]上的广义积分，记作「”f(x)dx，即hf(x)dx = limf(x)dxa→-8Ja否则称广义积分发散这时也称广义积分收敛

定 义 2 设 函 数 f ( x) 在 (-  , b ] 上 连 续， 取 实 数 a < b， 如果极限   b a a lim f (x)dx 则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b] 上的广义积分， ( ) lim ( ) b b a a f x x f x x      d d 这时也称广义积分收敛， ( )d ,  b 记作 f x x 即 存在， 否则称广义积分发散

设函数f(x)在（-o0，+）内连续，且定义3对任意实数c，如果广义积分 f(x)dx与 f f(x)dx都收敛，则称上面两个广义函数积分之和为f(x)在无穷区间(-o0,+)内的广义积分，记作t f(x)dx，即 f(x)dx =f(x)dx+f (x)dx,这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散

定 义 3 设 函 数 f (x ) 在 (-  , +  ) 内 连 续 ，且 对任意实数 c， 如果广义积分 f x x f x x c c ( )d ( )d     与 则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无 穷区间 (- , + ) 内的广义积分， ( )d ( )d ( )d ,          c c f x x f x x f x x 这时也称广义积分收敛， ( )d ,    记作 f x x 即 都收敛， 否则称广义积分发散

若 F(x) 是f(x) 的一个原函数，并记F(+o0) = lim F(x), F(-o0) = lim F(x)x-→+0X-0则定义1，2，3中的广义积分可表示为(~ f(x)dx = F(x)| = F(+o0)- F(a),m f(x)dx = F(x)~= F(b) - F(-o0),~ f(x)dx = F(x)+° = F(+o0)- F(-o0)

若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记 F( ) lim F(x), x   F( ) lim F(x). x   则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为   a f (x)dx   a F(x)  F()  F(a)，  b f (x)dx b F x   ( )  F(b)  F()，    f (x)dx    F(x)  F()  F()

+8求例201+x1+8元元+8解dx = arctanx200221+x+8判断例3cosxdx的收敛性。Jo+8+8解cos xdx = sin x.Jo由于当x→+o时，sinx没有极限，所以广义积分发散

例 2 求 d . 1 1 0 2 x x    解 x x d 1 1 0 2     0 arctan x . 2 0 2      cos d . 0 x x 的收敛性  例 3 判断 解 cos d sin . 0 0     x x x 由于当 x  +  时，sin x 没有极限，所以广义积分 发散

dx+8例4.计算反常积分1+x2dx+8+8解：=[arctan x]21元元2+ xdxX0对吗?思考：2-001+x+8+o x dx分析：原积分发散！22-81+x-8注意：对反常积分，只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质，否则会出现错误

例4. 计算反常积分 . 1 d  2    x x 解:    2 1 d x x    [arctan x ] ) 2 π  ( 2 π   π 思考: 0 ? 1 d 2  对吗    x x x 分析:         ln(1 ) 2 1 1 d 2 2 x x x x 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误