沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第五章 二次型 5.3 唯一性

S5.3 唯一性2

§5.3 唯一性 2

第五章二次型S5.3唯一性例1（法1）用配方法化f=4x2+3x,2+3x2+2xx为标准形解: f= 4x,2+3x22+3x32+2x2X3=4x+3(x2+号x2X +x3=4x +3(x, +#x) +号x?yi = Xi,X令 2=X2+x3，则f=4y2+3y22+"3J'3 = X3,0010yiX101y1X1注：11/300-1/3y2X2y2X2二U三0010y301X3LX3y3Pyx=

例1（法1） 用配方法化 f = 4x1 2+3x2 2+3x3 2+2x2x3为标准形. 解: f = 4x1 2+3x2 2+3x3 2+2x2x3 4 3( ) 2 3 2 3 3 2 2 2 2 1 = x + x + x x + x 2 3 3 2 8 3 3 1 2 2 1 =4x +3(x + x ) + x 令 则 f = 4y1 2+3y2 2+ −y3 2 . 8 3 x1 x2 x3 = 1 0 0 0 1 1/3 0 0 1 y1 y2 y3 注: .  =   = +   = 1 1 1 2 2 3 3 3 3 y x y x x y x , , ,  x1 x2 x3 = 1 0 0 0 1 −1/3 0 0 1 y1 y2 y3 x = Py 第五章 二次型 §5.3 唯一性

第五章二次型$5.3唯一性例1（法2）用配方法化f=4x，2+3x，2+3x2+2xx，为标准形解： f= 4x,2+3x,2+3xg2+2xzx3=4x +3(x2 +3x2X, +x3)=4x +3(x, +#x,) +号x3f=4y12+3y22+号3[Z1 = 2X1,Z2 = V3x2+ V1/3x3,贝则 f= z? + z2 + z32V8/3x3,/Z300002~1/2(Z1(x1x1Z)注:V3V1/3V1/3-V1/2400Z2X2X222三V3/8V8/300007323X3X3-x=

解: f = 4x1 2+3x2 2+3x3 2+2x2x3 4 3( ) 2 3 2 3 3 2 2 2 2 1 = x + x + x x + x 2 3 3 2 8 3 3 1 2 2 1 =4x +3(x + x ) + x 令 则 f = z1 2 + z2 2 + z3 2 . x1 x2 x3 = z1 z2 z3 注: .  x1 x2 x3 = z1 z2 z3 x = Cz z1 = 2x1 , z2 = 3x2+ 1/3x3 , − z3 = 8/3x3 , 2 0 0 0 3 1/3 0 0 8/3 1/2 0 0 0 1/3 −1/24 0 0 3/8 f = 4y1 2+3y2 2+ −y3 2 . 8 3 第五章 二次型 §5.3 唯一性 例1（法2） 用配方法化 f = 4x1 2+3x2 2+3x3 2+2x2x3为标准形

第五章二次型$5.3唯一性思考可见，通过不同的线性替换可以得到二次型不同的标准形用什么方法可以将不同的标准形统一为同一个呢？在上述例题中看到，总可以通过线性替换，将标准形平方项的系数化为正1或负1，我们把这样的标准形称为规范形

第五章 二次型 §5.3 唯一性 思考 可见，通过不同的线性替换可以得到二次型不同的标准形， 用什么方法可以将不同的标准形统一为同一个呢？在上述例题 中看到，总可以通过线性替换，将标准形平方项的系数化为正1 或负1，我们把这样的标准形称为规范形

S5.3唯一性第五章二次型一、实、复二次型的规范形的定义1.复二次型规范形的定义设f(x1,x2,"，xn)是一个复二次型，经过一适当的复数域上的非退化线性替换后，f(x1,x2,",xn)变成标准形：(1)diyi +d2y2 + .. +dryi,d; + 0,i = 1,2,...,r.r是f(x1,x2,,xn)的秩，再作复数域上一非退化线性替换：1Y1 :21式（1）就变成di(2)zi+z2+..+z式（2）就称为复二次型f(x1,x2,,xn)的Yr=Zrdr规范形，它完全被复二次型f(x1,x2,xn）Yr+1 = Zr+1的秩所确定。6n=Zn

6 第五章 二次型 §5.3 唯一性 一、实、复二次型的规范形的定义 1.复二次型规范形的定义 设𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)是一个复二次型，经过一适当的复数域上的 非退化线性替换后，𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)变成标准形： 𝒅𝟏𝒚𝟏 𝟐 + 𝒅𝟐𝒚𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝒅𝒓𝒚𝒓 𝟐 , 𝒅𝒊 ≠ 𝟎, 𝐢 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝐫. （1） 𝐫是𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)的秩，再作复数域上一非退化线性替换： 𝒚𝟏 = 𝟏 𝒅𝟏 𝒛𝟏 ⋯ ⋯ 𝒚𝒓 = 𝟏 𝒅𝒓 𝒛𝒓 𝒚𝒓+𝟏 = 𝒛𝒓+𝟏 ⋯ ⋯ 𝒚𝒏 = 𝒛𝒏 式（1）就变成 𝒛𝟏 𝟐 + 𝒛𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝒛𝒓 𝟐 （2） 式（2）就称为复二次型𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)的 规范形，它完全被复二次型𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏) 的秩所确定

第五章二次型85.3唯一性2.实二次型规范形的定义设f(x1,x2,…,xn)是一个实二次型，经过一适当的实数域上的非退化线性替换后，f(x1,x2,,xn)变成标准形：diyi + d2y2 + ... + dpyp - dp+1yp+1 -... - dryr,d, + 0,i =（3）r是f(x1,x2,,xn)的秩，再作实数域上一非1,2,...,r.退化线性替换：式（3）就变成12+z2+…+号-z+1-…- (4)式（4）就称为实二次型f(x1,x2,,xn)的规范形，规范形式（4）完全被rp这两个数所决定，p, r-p与p-(r-p)=2p-rZr+1r+1分别叫做实二次型f(x1,x2,…,xn)的正、负Yn=Zn惯性指数与符号差

第五章 二次型 §5.3 唯一性 𝒚𝟏 = 𝟏 𝒅𝟏 𝒛𝟏 ⋯ ⋯ 𝒚𝒓 = 𝟏 𝒅𝒓 𝒛𝒓 𝒚𝒓+𝟏 = 𝒛𝒓+𝟏 ⋯ ⋯ 𝒚𝒏 = 𝒛𝒏 2.实二次型规范形的定义 设𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)是一个实二次型，经过一适当的实数域上的 非退化线性替换后，𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)变成标准形： 𝒅𝟏𝒚𝟏 𝟐 + 𝒅𝟐𝒚𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝒅𝒑𝒚𝒑 𝟐 − 𝒅𝒑+𝟏𝒚𝒑+𝟏 𝟐 − ⋯ − 𝒅𝒓𝒚𝒓 𝟐 , 𝒅𝒊 ≠ 𝟎,𝐢 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝐫. （3）r是𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)的秩，再作实数域上一非 退化线性替换： 式（3）就变成 𝒛𝟏 𝟐 + 𝒛𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝒛𝒑 𝟐 − 𝒛𝒑+𝟏 𝟐 − ⋯ − 𝒛𝒓 𝟐 （4） 式（4）就称为实二次型𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)的 规范形，规范形式（4）完全被𝐫, 𝐩这两个 数所决定，𝐩, 𝐫 − 𝐩与𝐩 − 𝐫 − 𝒑 = 𝟐𝐩 − 𝐫 分别叫做实二次型𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)的正、负 惯性指数与符号差

第五章二次型85.3唯一性二、实、复二次型的规范形的唯一性定理3任意一个复二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，并且规范形是唯一的。定理3（等价说法）任意一个复对称矩阵合同于一个形为1100的对角矩阵，两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等

第五章 二次型 §5.3 唯一性 二、实、复二次型的规范形的唯一性 定理3 任意一个复二次型，经过一适当的非退化线性替换 可以变成规范形，并且规范形是唯一的。 定理3（等价说法） 任意一个复对称矩阵合同于一个形为 1 ⋱ 1 0 ⋱ 0 的对角矩阵，两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等

第五章二次型85.3唯一性二、实、复二次型的规范形的唯一性定理4（惯性定理）任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，并且规范形是唯一的。证明：定理的存在性部分从定义中已说明。下证唯一性。设f(x1,x2,,xn)是一个实二次型，经过一适当的实数域上的非退化线性替换X = BY化成规范形++….+y-y+-….-y而经过非退化线性替换X = Cz也化成规范形zi + z2 + + z - z+1 - …. - z3

第五章 二次型 §5.3 唯一性 二、实、复二次型的规范形的唯一性 定理4（惯性定理） 任意一个实二次型，经过一适当的非 退化线性替换可以变成规范形，并且规范形是唯一的。 证明：定理的存在性部分从定义中已说明。下证唯一性。 设𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)是一个实二次型，经过一适当的实数域 上的非退化线性替换 而经过非退化线性替换 𝑿 = 𝑪𝒁 也化成规范形 𝒚𝟏 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝒚𝒑 𝟐 − 𝒚𝒑+𝟏 𝟐 − ⋯ − 𝒚𝒓 𝟐 , 𝑿 = 𝑩𝒀 化成规范形 𝒛𝟏 𝟐 + 𝐳𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝐳𝒒 𝟐 − 𝐳𝐪+𝟏 𝟐 − ⋯ − 𝐳𝒓 𝟐

第五章二次型S5.3唯一性现在来证明p=q.用反证法，假设p>q.由上可得y++…+-+1-…-=zi + z2 +… + z - z+1 -… - z(7)其中Z = C-1BY(8)令91191291n92n921922C-1B=G="(9n19n19n

第五章 二次型 §5.3 唯一性 现在来证明𝑝 = 𝑞 . 用反证法，假设𝑝 > 𝑞.由上可得 𝒚𝟏 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝒚𝒑 𝟐 − 𝒚𝒑+𝟏 𝟐 − ⋯ − 𝒚𝒓 𝟐 = 𝒛𝟏 𝟐 + 𝐳𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝐳𝒒 𝟐 − 𝐳𝐪+𝟏 𝟐 − ⋯ − 𝐳𝒓 𝟐 (𝟕) 其中 𝒁 = 𝑪 −𝟏𝑩𝒀(𝟖) 令 𝑪 −𝟏𝑩 =G= 𝒈𝟏𝟏 𝒈𝟏𝟐 ⋯ 𝒈𝟐𝟏 𝒈𝟐𝟐 ⋯ ⋮ 𝒈𝒏𝟏 ⋮ 𝒈𝒏𝟏 ⋯ 𝒈𝟏𝒏 𝒈𝟐𝒏 ⋮ 𝒈𝒏𝒏

第五章二次型S5.3唯一性把（8）写出来Z1 = 911y1 + 912y2 + **. + 91nynZ2 = 921y1 + 922y2 +** + 92nyn(9)Zn = 9n1y1 + 9n2y2 + ***+ 9nnyn考虑齐次线性方程组911Y1 + 912Y2 +.. + 91nYn = 0(10).9q1Y1 + 9q2Y2 + ..- + 9qnyn = 0Yp+1 = 0.Jn = 0

第五章 二次型 §5.3 唯一性 把（8）写出来 𝑧1 = 𝑔11𝑦1 + 𝑔12𝑦2 + ⋯ + 𝑔1𝑛𝑦𝑛, 𝑧2 = 𝑔21𝑦1 + 𝑔22𝑦2 + ⋯ + 𝑔2𝑛𝑦𝑛, ⋮ 𝑧𝑛 = 𝑔𝑛1𝑦1 + 𝑔𝑛2𝑦2 + ⋯ + 𝑔𝑛𝑛𝑦𝑛, 考虑齐次线性方程组 𝑔11𝑦1 + 𝑔12𝑦2 + ⋯ + 𝑔1𝑛𝑦𝑛 = 0 ⋮ 𝑔𝐪1𝑦1 + 𝑔𝐪2𝑦2 + ⋯ + 𝑔𝐪𝑛𝑦𝑛 = 𝟎 𝑦𝒑+𝟏 = 𝟎 ⋮ 𝑦𝒏 = 𝟎 (9) (10)