沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第7章 线性变换 7.7 不变子空间

s 7. 7不变子空间2

§7.7 不变子空间 2

预习问题1.特征子空间的定义2.特征子空间的举例3

3 预习问题 1.特征子空间的定义 2.特征子空间的举例

87.7不变子空间第七章线性变换线性变换的值域与核都是V的子空间&V的维数称为的秩，&-1(O)的维数称为的零度

第七章 线性变换 §7.7 不变子空间 线性变换的值域与核都是𝑽的子空间. A V的维数称为A的秩，A －1 (0)的维数称为A的零度

S7.7不变子空间第七章线性变换不变子空间的概念及性质定义7EL(V)，W是数域P上线性空间V的子空间，称W是的不变子空间，简称为&一子空间，如果：对任意的EW，&eW.>即&WW（对线性变换&封闭）性质1 对任意的&EL(V)RWMV,{0是&一子空间（例1）

一、 不变子空间的概念及性质 定义7 A ∈L(V), W是数域P上线性空间V的子空间，称W是A 的不变子空间，简称为A －子空间，如果：对任意的ξ∈W， Aξ∈W .  A W W V 第七章 线性变换 §7.7 不变子空间 ➢ 即 A W W （对线性变换A 封闭）. 性质1 对任意的A∈L(V), V,{0}是A－子空间（例1）

性质2对任意的ELV)，的值域V核&-1(O)是一子空间（例2)证明: 对nEV-→EV-→ME&V,nE& -1(O), M=0Eα-1(0)，故命题成立.性质3&=%α，则V,-1(0)是&一子空间(例3)证明：对任意的BEBV，(B)=B()EBV→V是&一子空间、 对任意的E% -1(O)，= 0，要证明EE B -1(0)，关键证()= 0. 而() = α () = α (0) = 0,口故%-1(0)是&一子空间同理：&V，&-1(0)是－子空间>由于f()=f()&,故f()V,f()-1(O)是 -子空间

性质2 对任意的A ∈L(V), A 的值域A V, 核 A －1 (0)是A －子空间(例2). 证明： 对η∈A V→η∈V→Aη∈A V, η∈A －1 (0) , A η= 0∈A －1 (0)，故命题成立. 性质3 AB =BA ，则B V, B －1 (0)是A －子空间(例3). 证明： 对任意的Bξ∈B V，A (Bξ) = B (Aξ)∈B V → B V是A －子空间. 对任意的ξ∈B －1 (0), Bξ= 0, 要证明 ξ∈B －1 (0)，关键证B (A ξ) = 0. 而 B (A ξ) = A (Bξ) = A (0) = 0, 故B －1 (0)是A －子空间. □ ➢ 同理： A V， A －1 (0)是B －子空间. ➢ 由于A f (A ) = f (A )A ，故 f (A ) V, f (A )－1 (0)是A － 子空间

性质4%ELV，则V的任一子空间是%一子空间V的任一子空间是零变换，单位变换的不变子空间V证明：设W是V的任一子空间，对任意的αEW，由子空间的定义可知，%a=kαEW,故命题成立性质5&EL(V),W是α-子空间，f(x)EP[x]，则W是f()一子空间证明： 据题设，WW→W=(W)_W_W→ "WcW. 取 f()=ann +..+a+a.8 -VEeW,f()s=a,nE+..+a+a.eW - W是f()一子空间口

性质4 K ∈L(V), 则V的任一子空间是K －子空间. ➢ V的任一子空间是零变换，单位变换的不变子空间. 证明：设W是V的任一子空间，对任意的α∈W, 由子空间的定义 可知，Kα= kα∈W, 故命题成立. 性质5 A ∈L(V), W是A －子空间，f (x)∈P[x], 则W是f (A ) －子空间. 证明; 据题设， W W W ( W) W W 2 A A A A A  → =   →  A n W W . 取 n 1 0 ( ) n f a a a A A A E = + + + → n W, ( ) W n 1 0   = + + +  →      f a a a A A A E W 是 f ( ) A − 子空间. □

性质6Wi，W,是&-子空间，则W.+W.，W.nW仍是&一子空间、证明：对任意的a,+a,EW,+W2,(i+α)=a+2EW,+W2.对任意的aEW,nW2,EW,且EW2,故&EWnW，，所以命题成立性质7ELV，则的属于特征值入的特征子空间V是&-子空间证明：对任意的EV,-EV→V,是-子空间、性质8&ELV，则有一维&一子空间的充要条件是：存在EP,对任意的(0)EW,-入,且 W=L()

性质6 W1 , W2是A －子空间，则 W1+W2 , W1∩W2仍是A －子空间. 证明： 对任意的α1+α2∈W1+W2，A (α1+α2 ) = Aα1+Aα2 ∈W1+W2 . 对任意的α∈W1∩W2，Aα∈W1且Aα∈W2，故 Aα∈W1∩W2，所以命题成立. 性质7 A ∈L(V), 则A 的属于特征值λ的特征子空间Vλ是A－ 子空间. 证明： 对任意的ξ∈Vλ , Aξ=λξ∈Vλ → Vλ是A－子 空间. 性质8 A ∈L(V), 则A 有一维A－子空间的充要条件是：存在 λ∈P, 对任意的ξ(≠0)∈W, A ξ=λξ,且 W= L(ξ)

87.7不变子空间第七章线性变换该性质即说：W是&的一维不变子空间的充要条件是：W是&的某特征值2的一维特征子空间V,证明：必要性设W是&α-子空间，dimW=1→取W的基， 即W=L() → &EW,即存在入EP，使得=入成立。充分性设=(+0)→ L()=W显然是V的一维子空间,对任意的αEW，α=x一→应有= (xE) = X = x(E) =(x) = αEW ,即W是一维&一子空间

➢ 该性质即说：W是A 的一维不变子空间的充要条件是： W是A 的某特征值λ的一维特征子空间Vλ . 证明： 必要性 设W是A －子空间，dimW = 1 → 充分性 设Aξ=λξ (ξ≠0) → L(ξ) = W显然是V的一维子空间， 第七章 线性变换 §7.7 不变子空间 取W的基ξ，即W = L(ξ) → A ξ∈W, 即存在λ∈P, 使得 A ξ= λξ成立. 对任意的α∈W，α= xξ → 应有 Aα= A (xξ) = xAξ = x(λξ) =λ(xξ) = λα∈W , 即W是一维A －子空间

87.7不变子空间第七章线性变换二线性变换在子空间上的限制J(&/W)定义&EL(V),W是一子空间，规定&I W: W-W, &I W(a)= &a(aEW)称/W为&在W上的限制VVIWWW

二 线性变换在子空间上的限制（A｜W） 定义 A ∈L(V), W是A －子空间，规定 A｜W：W→W， A｜W(α) = A α(α∈W), 称A｜W为A 在W上的限制. A A｜W V W V W 第七章 线性变换 §7.7 不变子空间

87.7不变子空间第七章线性变换> 实例：1. / α-1(0) 是-1(0) 上的零变换

➢ 实例： 1. A｜A －1 (0) 是A －1 (0) 上的零变换. 第七章 线性变换 §7.7 不变子空间