沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第一章 随机事件及其概率1.5 全概率公式与贝叶斯公式

H1.5全概率公式与贝叶斯公式一、全概率公式二、贝叶斯公式沈阳师范大学

一、全概率公式 二、贝叶斯公式 1.5 全概率公式与贝叶斯公式

一、全概率公式1.样本空间的划分定义设Q为样本空间,A,A,A,为一组事件,若(i）A,A,",A,互不相容;(ii) AUA U...UA, =Q.则称 A,A,A,为样本空间Q的一个划分称A,A,A,为完备事件组(2沈阳师范大学

1. 样本空间的划分 一、全概率公式 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , (i) , , , (ii) . , , , . , , , n n n n n A A A A A A A A A A A A A A A  =   定义 设 为样本空间 为 一组事件 若 互不相容； 则称 为样本空间 的一个划分 称 为完备事件组. A2 A1 A3 A n−1 A n 

H2.全概率公式设样本空间为Q,B为事件,A,A，,A,为Q的一个划分,且 P(A)>0(i=1, 2,,n),则P(B)= P(A)P(BA)+ P(A)P(BA)+::+ P(A,)P(BAn)简记: P(B)=Z P(A)P(BA)i=l沈阳师范大学

2. 全概率公式 1 2 , , , , , , ( ) 0( 1, 2, , ), n i B A A A P A i n    = 设样本空间为 为事件 为 的一个划分 且 则 1 ( ) ( ) ( ) n i i i P B P A P B A = 简记： = 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n P B P A P B A P A P B A P A P B A = + + +

说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果QMABA4n沈阳师范大学

说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个 复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件 的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终 结果. A2 A3 A1 An An−1 B 

例1设一批产品中的50%、30%、20%依次是甲、乙、丙三厂生产的，且甲、乙、丙三厂的次品率分别为1o，J15，V20.现从这批产品中任意抽取一件，求抽取的是正品的概率解设事件A=【甲厂生产的产品}，A,=【乙厂生产的产品]，A={丙厂生产的产品}，B={抽取的产品是正品】．据题意，有253PP(A)P(A101010Z9甲1P(B|A)丙1010沈阳师范大学

例1 设一批产品中的50%、30%、20%依次是 甲、乙、丙三厂生产的，且甲、乙、丙三厂的 次品率分别为 .现从这批产品中 任意抽取一件，求抽取的是正品的概率． 1 1 1 , , 10 15 20 甲 乙 丙 解 设事件 A1 = {甲厂生产的产品}， A2 = {乙厂生产的产品}， A3 = {丙厂生产的产品}，B = {抽取的产品是正品}．据题意，有 1 5 ( ) , 10 P A = 2 3 ( ) , 10 P A = 3 2 ( ) , 10 P A = 1 1 9 ( | ) 1 , 10 10 P B A = − =

解设事件A=【甲厂生产的产品}，A=【乙厂生产的产品}，A={丙厂生产的产品}，B={抽取的产品是正品}．据题意，有14191P(B/A) =P(B|A)=120201515P(B) = P(AB + A,B + A,B)= P(A,B)+ P(A,B)+ P(A,B)= P(A)P(B|A)+P(A)P(BIA)+P(A)P(B/A,)5932192314X10251010102015沈阳师范大学

解 设事件 A1 = {甲厂生产的产品}， A2 = {乙厂生产的产品}， A3 = {丙厂生产的产品}，B = {抽取的产品是正品}．据题意，有 2 1 14 ( | ) 1 , 15 15 P B A = − = 3 1 19 ( | ) 1 20 20 P B A = − = 1 2 3 1 2 3 P B P A B A B A B P A B P A B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + 1 1 2 2 3 3 = + + P A P B A P A P B A P A P B A ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 5 9 3 14 2 19 23 . 10 10 10 15 10 20 25 =  +  +  =

例2有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个白球、2个黑球，乙盒中有2个白球、5个黑球．任意选中一个盒子，并从中任意抽取一球，求取到白球的概率解设事件A=（在甲盒中抽取}，A=（在乙盒中抽取}B三（任意抽取一球为白球}：由全概率公式P(B) = P(A,B)+ P(A,B)= P(A)·P(BA)+ P(A)· P(BA)2311 1 372702 5甲沈阳师范大学

例2 有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个白球、2个黑球， 乙盒中有2个白球、5个黑球．任意选中一个盒子，并 从中任意抽取一球，求取到白球的概率. 甲 乙 解 设事件 A1 ＝｛在甲盒中抽取｝， A2 ＝｛在乙盒中抽取｝， B ＝｛任意抽取一球为白球｝.由全概率公式 1 2 P B P A B P A B ( ) ( ) ( ) = + 1 1 2 2 =  +  P A P B A P A P B A ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 31 2 5 2 7 70 =  +  =

贝叶斯公式二、贝叶斯资料定理设试验E的样本空间为S.A为E的事件,BB2,,B,为 S的一个划分,且 P(A)>0,P(B)>0,(i = 1,2,.,n), 则P(AB)P(B). i=1,2,...,n.P(B;A)="WP(AB,)P(B,)j=1称此为贝叶斯公式沈阳师范大学

称此为贝叶斯公式. , 1,2, , . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ), , , , ( ) 0, ( ) 0, . , 1 2 1 i n P AB P B P AB P B P B A i n B B S P A P B E S A E B n j j j i i i n i    = = =   = 则 为 的一个划分 且 定理 设试验 的样本空间为 为 的事件 二、 贝叶斯公式 贝叶斯资料

贝叶斯资料贝叶斯 Thomas Bayes,英国数学家．1702年出生于伦敦，1742年成为英国皇家学会会员。贝叶斯在数学方面主要研究概率论他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数统计推断、统计的估算等做出了贡献．贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今沈阳师范大学

贝叶斯 Thomas Bayes， 英国数学家. 1702年出生于伦敦. 1742年成为英国皇家学会会员. 贝叶斯在数学方面主要研究概率论. 他首先将归纳推理法用于概率论基础理论， 并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、 统计推断、统计的估算等做出了贡献. 贝叶斯 所采用的许多术语被沿用至今. 贝叶斯资料

例3设一批产品中的50%、30%、20%依次是甲、乙、丙三厂生产的，且甲、乙、丙三厂的次品率分别为J1o，J15，V20.从这批产品中任意抽取一件.求已知抽取的是正品，该正品是甲厂生产的概率解设事件A,=【甲厂生产的产品}，B={抽取的产品是正品}.23591P(B)P(A)P(B|A)=2510101095Z45P(A)P(BA)P(A,B)10 10甲P(A IB) =2392P(B)P(B)丙25沈阳师范大学

求已知抽取的是正品，该正品是甲厂生产的概率． 甲 乙 丙 例3 设一批产品中的50%、30%、20%依次是甲、 乙、丙三厂生产的，且甲、乙、丙三厂的次品率分 别为 1 1 1 10 15 20 , , . 从这批产品中任意抽取一件． 解 设事件 A1 = {甲厂生产的产品}，B = {抽取的产品是正品}． 1 5 ( ) , 10 P A = 1 1 9 ( | ) 1 10 10 P B A = − = 23 ( ) 25 P B = 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) P A B P A P B A P A B P B P B = = 5 9 10 10 45 23 92 25  = =