沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程授课教案（讲义）第四章 数字特征

第四章数字特征本章1.随机变量的常用数字特征的定义、性质以及它们所刻画的意义内容随机变量的数字特征的计算方法，随机变量函数的数学期望的计算，2.3.几种重要分布的期望和方差，提要定义期望性质计算随机变量函数的数学期望的计算随机变量的数字特征定义方差本章性质知识计算结构定义体系协方差性质计算定义性质相关系数计算独立与不相关的关系重点随机变量的数字特征的定义和意义1.随机变量的数学期望的计算。2.分析难点随机变量函数的数学期望的计算。L.随机变量的相互独立与不相关的关系，2.分析

第四章 数字特征 本章 内容 提要 1． 随机变量的常用数字特征的定义、性质以及它们所刻画的意义． 2． 随机变量的数字特征的计算方法，随机变量函数的数学期望的计算． 3． 几种重要分布的期望和方差． 本 章 知 识 结 构 体系 重点 分析 1． 随机变量的数字特征的定义和意义． 2． 随机变量的数学期望的计算． 难点 分析 1． 随机变量函数的数学期望的计算． 2． 随机变量的相互独立与不相关的关系． 矩 方差 期望 随机变量函数的数学期望的计算 性质 计算 定义 性质 计算 定义 协方差 性质 计算 定义 相关系数 性质 计算 定义 独立与不相关的关系 随 机 变 量 的 数 字 特 征

第十六讲4.1数学期望本节数学期望的概念（计算）内容三、数学期望的性质提要教学目的理解数学期望的概念和性质，会计算随机变量及其函数的期望要求重点数学期望的概念、意义和性质难点随机变量函数的期望的计算学时2学时与主要数学期望的概念（计算）50分钟内容数学期望的性质30分钟时间小结及练习10分钟分配教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验总结

第十六讲 4.1 数学期望 本节 内容 提要 一、数学期望的概念（计算） 三、数学期望的性质 教学 目的 要求 理解数学期望的概念和性质，会计算随机变量及其函数的期望 重点 数学期望的概念、意义和性质 难点 随机变量函数的期望的计算 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 数学期望的概念（计算）50 分钟 数学期望的性质 30 分钟 小结及练习 10 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结

教学过程附注引入随机变量的分布全面描述了随机变量的统计规律性。但在许多实际问题中，随机变量的分布不易求得。并且有时人们并不需要全面地考察随机变量的变化情况，而只对分布的几个特征指标感兴趣．例如，要评定不同地区水稻产量，一般只要比较平均产量就够了：再如检查一批学生成绩时，既需要注意学生的平均成绩，又需要注意学生成绩与平均成绩的偏离程度，平均成绩较高、偏离程度较小，教学质量就较好：从上面的例子可以看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征.本章将介绍随机变量的四个数字特征：数学期望、方差、协方差、相关系数，它们的总称为矩.本节来学习数学期望讲授新课先看一个例子：某班共有学生30人，在一次考试中（5分制），有10人的成绩为3分，15人的成绩为4分，5人的成绩为5分，则班级平均成绩为3×10+4×15+5×510155=3x= 3.5+4×+5X30303030从计算中可以看到，平均成绩并不是3，4，5这三个分数的简单的算术平3+4+5均：=4，而是以取得这些值的人数与班级总人数的比值（频率）为权重的3加权平均，频率在n很大时就稳定在其概率的附近，对随机变量，要计算它的平均值，也应该有权重。我们引入如下定义：、数学期望的定义1ZxPk，离散型k=lE(X):xf(x)dx，连续型(-00例1设X的分布列如下X-101P0. 30.60. 1求EX.解EX=ZPk=(-1)×0.3+0×0.6+1×0.1=-0.2k=l[2x,0≤x≤1例2随机变量X的密度函数为f(x)=求X的数学期望.其它，0,解EX-Jxf(x)dx=J'x2xdx=2

教学过程 附 注 引入 随机变量的分布全面描述了随机变量的统计规律性．但在许多实际问题中，随 机变量的分布不易求得．并且有时人们并不需要全面地考察随机变量的变化情况， 而只对分布的几个特征指标感兴趣．例如，要评定不同地区水稻产量，一般只要比 较平均产量就够了；再如检查一批学生成绩时，既需要注意学生的平均成绩，又需 要注意学生成绩与平均成绩的偏离程度，平均成绩较高、偏离程度较小，教学质量 就较好．从上面的例子可以看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描 述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征． 本章将介绍随机变量的四个数字特征：数学期望、方差、协方差、相关系数， 它们的总称为矩. 本节来学习数学期望. 讲授新课 先看一个例子: 某班共有学生 30 人，在一次考试中（5 分制），有 10 人的成绩 为 3 分，15 人的成绩为 4 分，5 人的成绩为 5 分，则班级平均成绩为 3 10 4 15 5 5 10 15 5 3 4 5 3.5 30 30 30 30 从计算中可以看到，平均成绩并不是 3，4，5 这三个分数的简单的算术平 均: 345 4 3 + + = ,而是以取得这些值的人数与班级总人数的比值（频率）为权重的 加权平均，频率在 n 很大时就稳定在其概率的附近． 对随机变量，要计算它的平均值，也应该有权重．我们引入如下定义： 一、数学期望的定义 1 , ( ) ( ) n k k k x p E X xf x dx = + −    =       离散型 ，连续型 例 1 设 X 的分布列如下 X −1 0 1 P 0．3 0．6 0．1 求 EX ． 解 1 ( 1) 0.3 0 0.6 1 0.1 0.2 k k k EX x p  = = = −  +  +  = −  例 2 随机变量 X 的密度函数为      = 0, 其它 2 , 0 1 ( ) x x f x ，求 X 的数学期望． 解 3 2 ( ) 2 1 0 = = =   + − EX x f x dx x xdx

教学过程附注之g(x)Ppe，离散型i=E(g(X)) :J g(x)f(x)dx,连续型例3对于例1中的分布求EX?、EX|、E(3X-2)解EX?=ZxP=(-1)×0.3+02×0.6+12×0.1=0.4k=lE|X=2xCx|P=-1|×0.3+0×0.6+×0.1=0.4E(3X-2)=Z(3xx -2)Pkk=l=[3×(-1)-2×0.3+(3×0-2)x0.6+(3×1-2)×0.1=-2.6注EX?的求法还可以先求出X?的分布列，再由期望的定义计算得到E(3X-2)的求法，在学习了期望的性质后，可以利用期望的性质计算得到.读者可以对比哪种方法更简便？例4对于例2中的分布求EX?['x2.2xdx=解EX?=x"f(x)dx=[推广到两个或两个以上随机变量的情形，ZZG(x,y)p(X,Y)为离散型;E[G(X,Y)I=JG(x,)f(x,y)dxdy,(X,Y)为连续型。例5设二维随机变量（X，Y)的概率分布为.Y0123X103/83/8031/8001/8求E(XY)解

教学过程 附 注 1 ( ) (g(X)) ( ) ( ) , n k k i g x p E g x f x dx = + −    =       ，离散型 连续型 例 3 对于例 1 中的分布求 2 EX 、 E X 、 E X (3 2) − ． 解 2 2 2 2 2 1 ( 1) 0.3 0 0.6 1 0.1 0.4 k k k EX x p  = = = −  +  +  =  1 1 0.3 0 0.6 1 0.1 0.4 k k k E X x p  = = = −  +  +  =  1 (3 2) (3 2) k k k E X x p  = − = −  =  − −  +  −  +  −  = − [3 ( 1) 2] 0.3 (3 0 2) 0.6 (3 1 2) 0.1 2.6 注 2 EX 的求法还可以先求出 2 X 的分布列，再由期望的定义计算得 到． E X (3 2) − 的求法，在学习了期望的性质后，可以利用期望的性质计算得到．读 者可以对比哪种方法更简便？ 例 4 对于例 2 中的分布求 2 EX ． 解 2 1 ( ) 2 1 0 2 2 2 = =  =   + − EX x f x dx x xdx 推广到两个或两个以上随机变量的情形．        =    +  + － － ， 为连续型。 ， 为离散型； ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) [ ( , )] G x y f x y dxdy X Y G x y p X Y E G X Y i j i j i j 例 5 设二维随机变量 (X ，Y) 的概率分布为 Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 求 E XY ( ) 解

教学过程附注2.3+1x2xE(XY) =>Zxy/-p,=l×0×0+1x1x88i=l j=l19+1×3×0+3×0×==+3×1×0+3×2×0+3×3x848例6设二维随机变量(X,Y)在矩形区域D:0<x<1,0<y<1上服从均匀分布， 求E(X),E(Y),E(XY).解(X,Y)的概率密度为[1,0<x<1, 0<y<1f(x,y)=[0,其它由定理2得E(X)= (x,y)dxd=Jxdx'dy=E()(,ddy a-E()=(,)ddy=xl'=注E(X),E(Y)的求法还可以先求出X和Y的边缘密度函数，再由期望的定义计算得到．可以对比哪种方法更简便？二、数学期望的性质1.设c是常数，则有E(c)=c.2．设X是随机变量，设c是常数，则有E(cX)=cE(X).3.设X，Y是随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+EY)：该性质可推广到有限个随机变量之和的情况，即E(X+X+X.)--ZEX,.i=l4.设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X)E（Y）该性质可推广到有限个随机变量之积的情况，即若X，X，",X，相互独立，[EX,E(X,X,.X,):

教学过程 附 注 2 4 1 j 1 3 3 ( ) 1 0 0 1 1 1 2 8 8 i i ij i E XY x y p = = =   =   +   +     1 1 9 1 3 0 3 0 3 1 0 3 2 0 3 3 8 8 4 +   +   +   +   +   = 例 6 设二维随机变量 (X,Y) 在矩形区域 D x y : 0 1,0 1     上服从均匀 分布，求 E X E Y E XY ( ), ( ), ( )． 解 (X,Y) 的概率密度为 1 0 1 0 1 ( , ) 0 x y f x y      =   其它 ， ， ， 由定理 2 得 1 1 0 0 1 ( ) ( , ) 2 E X xf x y dxdy xdx dy + + − − = = =     1 1 0 0 1 ( ) ( , ) 2 E Y yf x y dxdy dx ydy + + − − = = =     1 1 0 0 1 ( ) ( , ) 4 E XY xyf x y dxdy xdx ydy + + − − = = =     注 E X E Y ( ), ( ) 的求法还可以先求出 X 和 Y 的边缘密度函数，再由期望的定 义计算得到．可以对比哪种方法更简便？ 二、数学期望的性质 1． 设 c 是常数，则有 E(c) = c ． 2． 设 X 是随机变量，设 c 是常数，则有 E(cX) = cE(X ) ． 3． 设 X ，Y 是随机变量，则有 E(X + Y) = E(X ) + E(Y) ． 该性质可推广到有限个随机变量之和的情况，即 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = + + + =  ． 4． 设 X ，Y 是相互独立的随机变量，则有 E(XY) = E(X )E(Y) ． 该性质可推广到有限个随机变量之积的情况，即若 1 2 , , , X X X n 相互独立， 则 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = = ．

教学过程附 注例7一民航班车上共有20名旅客，自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求EX（设每位旅客再各车站下车是等可能的）.[o, 在第站无人下车，解引入随机变量X.:i-12...10在第站有人下车1，易见X=X,+X,+..+Xio9，因此，20位旅客都不在第按题意，任一旅客在第i站不下车的概率是，10(9)209i站下车的概率为从而，在第i站有人下车的概率为1-，也就是1010说，X,的分布律为X,01(%)1-(%)PEX, =1于是i=1,2,,10进而有 Z EX, =10|1EX=E=8.784X10i=l也就是说，平均停8.784次，本题若是直接去求X的分布，然后再求X的数学期望将会十分繁琐，换个角10度，将X分解成数个随机变量之和X=X，然后利用随机变量和的期望等于期i=l望之和，即通过EX.算出EX，这种处理方法具有一定的普遍意义，我们称之为随机变量的分解法，这类通过分解手法能将复杂的问题化为较简单的问题，它是处理概率论问题中常采用的一种方法．分解法的关键是引入合适的X，使X=Xi=l小结：本节学习了随机变量的数学期望的概念和性质，它描述了随机变量取值的平均水平

教学过程 附 注 例 7 一民航班车上共有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车， 如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车的次数，求 EX （设每位旅 客再各车站下车是等可能的）． 解 引入随机变量 0, i i X i  =   在第 站无人下车， 1， 在第 站有人下车. i =1,2, ,10 易见 X X X X = + + + 1 2 10. 按题意，任一旅客在第 i 站不下车的概率是 9 , 10 因此，20 位旅客都不在第 i 站下车的概率为 20 9 10       ，从而，在第 i 站有人下车的概率为 20 9 1 10   −     ，也就是 说， Xi 的分布律为 Xi 0 1 P 20 9 10       20 9 1 10   −     于是 20 9 1 , 10 EXi   = −     i =1,2, ,10 进而有 20 10 10 1 1 9 10 1 8.784. 10 i i i i EX E X EX = =       = = = − =                 也就是说,平均停 8．784 次． 本题若是直接去求 X 的分布,然后再求 X 的数学期望将会十分繁琐，换个角 度，将 X 分解成数个随机变量之和 10 1 i i X X = = ,然后利用随机变量和的期望等于期 望之和,即通过 EXi 算出 EX ．这种处理方法具有一定的普遍意义,我们称之为随机 变量的分解法．这类通过分解手法能将复杂的问题化为较简单的问题,它是处理概 率论问题中常采用的一种方法．分解法的关键是引入合适的 Xi ,使 1 n i i X X = = ． 小 结: 本节学习了随机变量的数学期望的概念和性质，它描述了随机变量取值的 平均水平

教学过程附注思考题：正态分布的参数中有表示期望的吗？作业：超星学习平台线上作业；P111习题四：1，3，6，7，10，11，17

教学过程 附 注 思考题： 正态分布的参数中有表示期望的吗？ 作业：超星学习平台线上作业；P111 习题四 ：1，3，6，7，10，11，17

第十七讲4.2方差一、方差的概念本节二、方差的计算公式内容三、常见分布的期望与方差提要四、方差的性质教学目的理解方差的概念和性质，会计算方差要求重点方差的概念和性质难点方差的意义和性质学时2学时与主要方差的概念20分钟内容方差的计算公式、常见分布的期望与方差30分钟时间方差的性质30分钟分配小结及练习10分钟教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验总结

第十七讲 4.2 方差 本节 内容 提要 一、方差的概念 二、方差的计算公式 三、常见分布的期望与方差 四、方差的性质 教学 目的 要求 理解方差的概念和性质，会计算方差 重点 方差的概念和性质 难点 方差的意义和性质 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 方差的概念 20 分钟 方差的计算公式、常见分布的期望与方差 30 分钟 方差的性质 30 分钟 小结及练习 10 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结

教学过程附注引入随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价.在许多实际问题中还需要了解随机变量的其它特征。比如，在投资决策中，我们选择投资某一项目或购买某种资产（如股票、基金等），不仅关心其未来的收益水平，还关心其未来收益的不确定性程度，前者通常用数学期望来度量，后者通常称为风险程度，有许多种衡量的方法，最简单、直观的方法就是用收益与平均收益的偏离程度来度量，偏离程度越小，风险就越小，收益就越稳定。用怎样的量去度量这个偏离程度呢？用E(X-EX)来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消，因此，通常用E（X-EX）来描述随机变量与均值的偏离程度，讲授新课一、方差的概念定义设X是随机变量，E([X-E(X)}"}存在，就称其为X的方差，记为D(X)(或DX)，即D(X)=E([X -E(X)})称D(X)为标准差，记为α(X)，或αx：意义：它们都是用来描述随机变量X的取值与其数学期望E(X)的偏离的平均程度若DX)较小，则X的取值比较集中在数学期望E(X）的附近；反之，若D(X)较大，则表明X的取值比较分散.因此D(X)、Cx是刻画X取值的集中与分散程度的两个特征数.若X是离散型随机变量，分布律为P=P(X=x),k=1,2,；则D(X)= Z[x - E(X)}" Pkk=l若X是连续型随机变量，它的密度函数为f(x），则D(X)= f[x- E(X)} f(x)dx二、计算公式随机变量X的方差可按下列公式计算：

教学过程 附 注 引入 随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价．在许多实际问题中还 需要了解随机变量的其它特征．比如，在投资决策中，我们选择投资某一项目或购 买某种资产（如股票、基金等），不仅关心其未来的收益水平，还关心其未来收益 的不确定性程度，前者通常用数学期望来度量，后者通常称为风险程度，有许多种 衡量的方法．最简单、直观的方法就是用收益与平均收益的偏离程度来度量，偏离 程度越小，风险就越小，收益就越稳定． 用怎样的量去度量这个偏离程度呢？用 E X EX ( ) − 来描述是不行的，因为这 时正负偏差会抵消，因此，通常用 2 E X EX ( ) − 来描述随机变量与均值的偏离程度． 讲授新课 一、 方差的概念 定义 设 X 是随机变量， {[ ( )] } 2 E X − E X 存在，就称其为 X 的方差，记为 D X( ) (或 DX )，即 D(X ) = {[ ( )] } 2 E X − E X 称 D(X) 为标准差，记为  ( ) X ，或  X ． 意义：它们都是用来描述随机变量 X 的取值与其数学期望 E X( ) 的偏离的平均 程度．若 D(X ) 较小，则 X 的取值比较集中在数学期望 E X( ) 的附近；反之，若 D(X ) 较大，则表明 X 的取值比较分散．因此 D(X ) 、 X 是刻画 X 取值的集中 与分散程度的两个特征数． 若 X 是离散型随机变量，分布律为 pk = P(X = xk ), k = 1,2,  ；则 D X( ) =   = − 1 2 [ ( )] k k E X pk x 若 X 是连续型随机变量，它的密度函数为 f (x) ，则 D X( ) =  + − [x − E(X )] f (x)dx 2 二、计算公式 随机变量 X 的方差可按下列公式计算：

教学过程附注D(X)=E(X)-[E(X)P证明由方差的定义及数学期望的性质得D(X)= E([X - E(X)P}= E(X? -2XE(X)+[E(X)})=E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)=E(X")-[E(X)]例1设随机变量X服从参数为p的0—1分布，求E(X)、D(X)解X的分布列为X01pP1-pE(X)=0×(1-p)+1×p= p为了求方差，还须求出E(X)E(X2)=0°×(1-p)+1×p= pD(X)= E(X2)-[E(X)P = p-p2 = p(1- p)例2设随机变量X服从参数为入的指数分布X～E()，求E(X)，D(X)[e-,x≥0解由于指数分布的密度函数为f(x)=[0,x<0E(X)=[ xf(x)dx=J xe-dx=-], xde* =-xe +[, ed-a-E(x)-Jxf(x)dx=Jax'edx=-xde-**=-x?e-x +["2xe-d)2 r+0xde --xe+d元Jo元102e-n+_2l

教学过程 附 注 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 证明 由方差的定义及数学期望的性质得 D X( ) = 2 E X E X {[ ( )] } − = { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 E X − XE X + E X 2 2 = − + E X E X E X E X ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 2 = − E X E X ( ) [ ( )] 例 1 设随机变量 X 服从参数为 p 的 0—1 分布，求 E X( ) 、 D(X ) ． 解 X 的分布列为 X 0 1 P 1− p p E X p p p ( ) 0 (1 ) 1 =  − +  = 为了求方差，还须求出 2 E X( ) 2 2 2 E X p p p ( ) 0 (1 ) 1 =  − +  = 2 2 2 D X E X E X p p p p ( ) ( ) [ ( )] (1 ) = − = − = − 例 2 设随机变量 X 服从参数为  的指数分布 X E( )  ，求 E X( ) ，D(X ) ． 解 由于指数分布的密度函数为 0 ( ) 0 0 x e x f x x   −   =    ， ， 0 ( ) ( ) x E X xf x dx x e dx   + + − − = =   0 0 0 x x x xde xe e dx    + + − − + − = − = − +   0 x 1 e dx   + − = =  2 2 2 0 0 ( ) ( ) x E X x f x dx x e dx   + + − = =   2 2 0 0 0 2 x x x x de x e xe dx    + + + − − − = − = − +     + − + − + − = − = − + 0 0 0 2 2 2 xde xe e dx x x x    2 0 2 2 2    = − = + − x e