沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第四章 数字特征 4.4 协方差与相关系数

-4.4协方差及相关系数一、协方差二、 相关系数沈阳师范大学

一、协方差 二、相关系数 4.4 协方差及相关系数

中一、协方差1.协方差概念的引入对二维随机向量(X,Y)来说,期望E(X),E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,方差D(X),D(Y)只反映了X与Y各自与均值的偏离程度，它们对X与Y之间的相互关系不提供任何信息.我们自然希望有一个数字特征能够在一定程度上反映X与Y之间的联系沈阳师范大学

1. 协方差概念的引入 对二维随机向量(X,Y )来说, 期望E(X), E(Y )只反映 了X与Y各自的平均值, 方差D(X), D(Y )只反映了X 与Y各自与均值的偏离程度, 它们对X与Y之间的相 互关系不提供任何信息. 我们自然希望有一个数字 特征能够在一定程度上反映X与Y之间的联系. 一、协方差

中2.问题的提出若随机变量X和Y相互独立,那么D(X + Y) = D(X) + D(Y)若随机变量X和Y不相互独立D(X + Y) = ?D(X +Y) = E{[(X +Y)- E(X +Y)}?)= D(X)+ D(Y) + 2E{[X - E(X)I[Y - E(Y)])协方差沈阳师范大学

2. 问题的提出 若随机变量 X 和Y 相互独立,那么 D(X + Y ) = D(X) + D(Y ). 若随机变量 X 和Y 不相互独立 D(X + Y ) = ? ( ) {[( ) ( )] } 2 D X +Y = E X +Y − E X +Y = D(X) + D(Y ) + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}. 协方差

3.定义设(X,Y)为二维随机变量,若 E{[X-E(X)I[Y-E(Y)}存在则称E[X-E(X)I[Y-E(Y)}}为随机变量X与Y的协方差记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y) = E{[X -E(X)I[Y -E(Y)})协方差与方差的关系D(X +Y)= D(X) + D(Y)+2Cov(X,Y)沈阳师范大学

( ) Cov( , ) {[ ( )][ ( )]}. Cov( , ), {[ ( )][ ( )]} . , , {[ ( )][ ( )]} , X Y E X E X Y E Y X Y E X E X Y E Y X Y X Y E X E X Y E Y = − − − − − − 记为 即 则称 为随机变量 与 的协方差 设 为二维随机变量 若 存在 3. 定义 协方差与方差的关系 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) + 2Cov(X,Y)

+4.协方差的计算公式() Cov(X,Y)= E{[X - E(X)I[Y - E(YI:设X,Y为离散型随机变量，p.为联合分布列,则Cov(X,Y)= ZZ[x -E(X)]ly, - E(y)]pj设X,Y为连续型随机变量,f(x,y)为联合概率密度,则Cov(X,Y) = (/[x - E(X)y-E(Y)]f(x, y)d xd y沈阳师范大学

4. 协方差的计算公式 (1) Cov(X,Y) = E{[X − E(X )][Y − E(Y)]}; Cov( , )  ( ) ( ) . , , , =  − − i j i j j i i j X Y x E X y E Y p 设 X Y 为离散型随机变量 p 为联合分布列 则 X Y x E(X )y E(Y )f x y x y X Y f x y Cov( , ) ( , )d d , , ( , ) , = − −   + − + − 设 为连续型随机变量 为联合概率密度 则

-5.协方差的计算公式(2) Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y):证明(1)Cov(X,Y) = E{[X - E(X)I[Y - E(Y)])= E[XY -YE(X)- XE(Y)+ E(X)E(Y))= E(XY) -2E(X)E(Y)+ E(X)E(Y)= E(XY)-E(X)E(Y)沈阳师范大学

5. 协方差的计算公式 (2) Cov(X,Y) = E(XY) − E(X )E(Y); 证明 (1)Cov(X,Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = E[XY −YE(X) − XE(Y ) + E(X)E(Y )] = E(XY ) − E(X)E(Y ). = E(XY ) − 2E(X)E(Y ) + E(X)E(Y )

46.性质(1) Cov(X,Y) = Cov(Y,X);(2) Cov(aX,bY)= abCov(X,Y), a, b为常数:(3) Cov(X, + X2,Y) = Cov(Xi,Y) + Cov(X2,Y)沈阳师范大学

6. 性质 (1) Cov(X,Y ) = Cov(Y, X); (2) Cov(aX,bY ) = abCov(X,Y ), a, b 为常数; (3) Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X1 + X2 Y = X1 Y + X2 Y

-(2) Cov(aX,bY) = abCov(X,Y), a, b 为常数;证明 Cov(aX,bY)= E(aX ·bY)-E(aX)E(bY)=abE(XY)-abE(X)E(Y)=ab|E(XY)- E(X)E(Y)= abCov(X,Y)沈阳师范大学

(2) Cov(aX,bY ) = abCov(X,Y ), a, b 为常数; 证明 Cov(aX,bY) = E(aX bY) − E(aX )E(bY) = abE(XY) − abE(X )E(Y ) = abE(XY) − E(X )E(Y ) = abCov(X,Y)

(3) Cov(X + X2,Y) = Cov(Xi,Y) + Cov(X2,Y)证明Cov(X + X2, Y)= E[(X, + X,)Y]- E(X, +X2)E()= E(XY)+ E(X,Y)-[E(X)+E(X2)]E(Y)=[E(XY)-E(X)E(Y)]+[E(X,Y)-E(X2)E(Y)= Cov(Xi, Y) +Cov(X2,Y)沈阳师范大学

(3) Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X1 + X2 Y = X1 Y + X2 Y 证明 E(X X )Y E(X X )E(Y ) = 1 + 2 − 1 + 2 E(X Y) E(X Y) E(X ) E(X )E(Y) = 1 + 2 − 1 + 2 E(X Y ) E(X )E(Y ) E(X Y ) E(X )E(Y ) = 1 − 1 + 2 − 2 ( , ) ( , ) = Cov X1 Y +Cov X2 Y ( , ) Cov X1 + X2 Y

4相关系数二、木中1.相关系数的定义Cov(X,Y)Pxy/D(X) : /D(Y)称为随机变量 X 与 Y的(线性)相关系数其中,D(X)>0, D(Y)>0沈阳师范大学

二、相关系数 1. 相关系数的定义 Cov( , ) ( ) ( ) ( ) . ( ) 0, ( ) 0 XY X Y ρ D X D Y X Y D X D Y =    称为随机变量 与 的 线性 相关系数 其中