沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第五章 大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律

5.1大数定律一、切比雪夫不等式二、切比雪夫大数定律三、伯努利大数定律四、辛钦大数定律沈阳师范大学

一、切比雪夫不等式 三、伯努利大数定律 二、切比雪夫大数定律 5.1 大数定律 四、辛钦大数定律

一、切比雪夫(Chebyshev)不等式切比雪夫(Chebyshev)不等式：设随机变量X具有数学期望氏X)=μ,方差D(X)=2 ,则对于任意正数> 0,有SP( X-μ≥)≤3 P(X- μ≤c)≥1-g8沈阳师范大学

( ) 2 2 | |   P X −     切比雪夫(Chebyshev)不等式:设随机变量X具有数 学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任意正数ε> 0,有 ( ) 2 2 1    P X −     − 一、切比雪夫(Chebyshev)不等式

-切比雪夫(Chebyshev)不等式：设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=c2,则对于任意正数c> 0,有0P(X-μ)P(X-μ≤e)≥1-%31证明:设X的概率密度为f(x),则有x-uf(x)dx》/f(x)dxP(I X - μ≥) =3[x-μ8[x-+00(x-μ)f(x)dx=??-00沈阳师范大学

| | {| | } ( ) x P X f x dx     −  −  =  证明 :设X的概率密度为f(x),则有 2 2 | | | | ( ) x x f x dx     −  −   2 2 2 2 1 ( ) ( ) x f x dx     + −  − =  ( ) 2 2 | |   P X −     切比雪夫(Chebyshev)不等式:设随机变量X具有数学 期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任意正数ε> 0,有 ( ) 2 2 1    P X −     −

T例1 已知随机变量X的数学期望为E(X)=10.方差 D(X)=0.04试用切比雪夫不等式估计P[9.2<X<11的大小.解 P(9.2<X<11)= P(-0.8<X-10<1)0.04=0.9375≥ P(X-10|<0.8) ≥1-(0.8)P(X -μ≤)≥1-a沈阳师范大学

解 P9.2  X 11= P−0.8  X −10 1  P X −10  0.8 ( ) 2 0.8 0.04 1− = 0.9375 P X 9.2 11    D X( ) 0.04 = 例1 已知随机变量X的数学期望为E(X)=10, 方差 试用切比雪夫不等式估计 的大小. ( ) 2 2 P X 1     −   −

--练习1.设EX=μ,DX=o2,则由切比雪夫不等式可知P(X-μ<30)≥2. 设随机变量X 的EX=71,DX =5估计得P(/X-71≥k≤0.05,则k=8(2)k = 109沈阳师范大学

1 .设 2 EX =μ,DX =σ , 则由切比雪夫不等式可知： P X -  μ< 3σ  . 2.设随机变量 X 的 EX DX = = 71, 5, 估计得 P X k  −   71 0.05  ,则k = , (2) 10 9 8 (1) k = 练习

练习设随机变量X～N(1,1),Y～N(0,1),E(XY)=-0.1.则根据切比雪夫不等式:P(-4<X+2Y<6)≥解： 设Z=X+2Y,则EZ=EX+2EY=1DZ = D(X +2Y) = DX +4DY +2cov(X,2Y)=1+4×0+4(E(XY)- EX.EY)= 4.6P/-4 < X +2Y <6) = P(X +2Y)-1|<5)4.6≥1_ D(X +2Y):0.8162沈阳师范大学25

设随机变量 X N Y N E XY (1,1) , (0,1) , ( ) 0.1. = − 则根据 切比雪夫不等式: P X Y −  +   4 2 6 解：设Z = X + 2Y,则EZ = EX + 2EY =1 DZ = D(X + 2Y) = DX + 4DY + 2cov(X,2Y) = +  + −  = 1 4 0 4( ( ) ) 4.6 E XY EX EY P X Y { 4 2 6} −  +  4.6 1 0.816 25 = − = = + −  P X Y {( 2 ) 1 5} 2 ( 2 )} 1 D X Y  +  − 练习

定义：随机变量依概率收敛的概念设Y,Y2，,Y是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任意正数8有limP{|Y-a|a沈阳师范大学

P Y a n ⎯⎯→ 1 2 n n n→∞ 1 2 n 设Y ,Y , ,Y 是一个随机变量序列, a是一个常数,若对于任意正数ε 有lim P{|Y - a|<ε}= 1,则称序 列Y ,Y , ,Y 依概率收敛于a, 记为 定义：随机变量依概率收敛的概念

P解释：Y.→a意思是:当 n→>80时,Y,落在内的概率越来越大.Vno,n>no(a-ε,a+)Y.aa-sa+8而意思是：>0,n,当 n>nY→aIY-ak8沈阳师范大学

P 解释: Y a n → 意思是:当 a −  a a +  Y n 而 Y a n → 意思是: 0   0,n | | Y a n −   n →  时,Yn落在 (a −,a + ) 内的概率越来越大. ,当 0 0 n , n  n n  n0

二、定理1（切比雪夫大数定律）设X,X.是两两不相关的随机变量序列,若每个X,的方差若存在,且有共同的上界,即D(X)≤C.C为常数(1,2,...).则对于任意>0,都有切比雪夫，ⅡⅡlim P/2x,--E(X,)00YnD(X)≤C证明：因为Xi,X2..两两不相关2x=2Dnnn i=li=l由切比雪夫不等式，得2XCx,-E(X,)122ng8n i=lX-lim PE(X)00

二、定理1（切比雪夫大数定律） 设X1 , X2 ,.是两两不相关的随机变量序列, 若每个 Xi的方差若存在, 且有共同的上界, 即D(Xi ) ≤C, C为常数 (i=1,2,.). 则对于任意ε>0,都有 证明: 1 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 n i n n i i i i i D X n P X E X n n   = = =           −   −      ( ) n C D X n X n D n i i n i i  =         = =1 2 1 1 1 由切比雪夫不等式，得 因为X1 , X2 ,.两两不相关 ( ) 1 1 1 lim 1 1 =        −   = = →  n i i n i i n E X n X n P ( ) 1 1 1 lim 1 1 =        −   = = →  n i i n i i n E X n X n P 2 1 C n  −

中该大数定律表明：无论正数ε怎样小，只要n充分大，事件(,(-,))发生的概率均可任意地接近于1。即当n充分大时，X，差不多不再是随机变量取值接近于其数学期望u的概率接近于1在概率论中，将所表示的收敛性称为随机变量序列 X, X,,., X,,...依概率收敛于u，记为X,Pμ.沈阳师范大学

该大数定律表明：无论正数ε 怎样小, 只要 n充 分大，事件 发生 的概率均可 任意地接近于 1。 X n  ( −  ,  +  ) 即当 n充分大时， 差不多不再是随机变量， 取值接近于其数学期望μ 的概率接近于 1。 Xn 在概率论中，将所表示的收敛性称为随机变量 序列 依概率收敛于μ ， 记为 X1 , X 2 ,  , X n ,  ⎯→  . P X n