沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布函数

H3.1二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量二、联合分布三、边缘分布沈阳师范大学

一、二维随机变量 二、联合分布 三、边缘分布 3.1 二维随机变量及其分布函数

1一、 二维随机变量1.定义设E是一个随机试验,它的样本空间是=({の)设X=X(の)和Y=Y(の)是定义在上的随机变量由它们构成的一个向量（X,Y),叫作二维随机向量或二维随机变量+.X(0)图示Q2→.Y(0)沈阳师范大学

图示 • •Y( )   •X ( )  , { }, ( ) ( ) , ( , ), . E X X Y Y X Y     = = =  设 是一个随机试验 它的样本空间是 设 和 是定义在 上的随机变量 由它们构成的一个向量 叫作二维随机向量 或二维随机变量 一、二维随机变量 1.定义

二、联合分布函数1.定义设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y，二元函数：F(x,y)=P((X ≤ x)n(Y≤ y))= P(X≤x,Y≤ y)称为二维随机变量（X,Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数沈阳师范大学

二、联合分布函数 1.定义 . ( , ) , ( , ) {( ) ( )} { , } : ( , ) , , , 机变量 和 的联合分布函数 称为二维随机变量 的分布函数 或称为随 二元函数 设 是二维随机变量 对于任意实数 X Y X Y F x y P X x Y y P X x Y y X Y x y =    =  

-F(x,y)的函数值就是随机点落在如图所示区域内的概率。y(x,y)X≤x,Y≤y0t沈阳师范大学

o x y (x, y) • X  x,Y  y . ( , ) 域内的概率 F x y 的函数值就是随机点落在如图所示区

2.性质1° F(x,y)是变量 x和 y的不减函数,即对于任意固定的 y,当xz >x,时 F(x2,)≥F(xi,J)对于任意固定的x,当y, >y,时F(x,y)≥ F(x,J)且有2° 0≤F(x,y)≤1,对于任意固定的 y，F(-o0,J)= lim F(x,y)=0-0对于任意固定的x,F(x,-o)= lim F(x,y)=0沈阳师范大学

2. 性质 , ( , ) ( , ), 1 ( , ) , 2 1 2 1 o y x x F x y F x y F x y x y 意固定的 当  时  是变量 和 的不减函数 即对于任 , ( , ) ( , ). 2 1 2 1 对于任意固定的x 当y  y时F x y  F x y 2 0 ( , ) 1, o  F x y  对于任意固定的 y, (−, ) = lim ( , ) = 0, →− F y F x y x 且有 对于任意固定的x, ( ,−) = lim ( , ) = 0, →− F x F x y y

y(x,y)F(-o0,-o0) = lim F(x, y) = 0,x→-8X≤x,Y≤y--80F(+o0,+oo) = lim F(x, y) = 1.0xx+J-→+o03° F(x,y) = F(x+ 0,y),F(x,y) = F(x,y+ 0)即 F(x,)关于x右连续,关于 y也右连续沈阳师范大学

(+,+) = lim ( , ) = 1. →+ →+ F F x y y x ( , ) , . 3 ( , ) ( 0, ), ( , ) ( , 0), o 即 F x y 关于 x 右连续 关于 y 也右连续 F x y = F x + y F x y = F x y + (−,−) = lim ( , ) = 0, →− →− F F x y y x o x y (x, y) • X  x,Y  y

4°对于任意xi<x2,<2,有P[x <X≤x2,<Y≤y2)=F(x2, y2) - F(x,y2) - F(x2,y) + F(x1,y)Zxx.沈阳师范大学

o 4 , , 1 2 1 2 对于任意 x x y y   有 P x X x y Y y  1 2 1 2     ,  2 2 1 2 2 1 1 1 = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F x y F x y F x y F x y −−+ ( x y 1 2 , ) ( x y 1 1 , ) ( x y 2 1 , ) ( x y 2 2 , ) x y

三、边缘分布函数问题:已知(X,Y)的分布,如何确定X,Y的分布?IF(x,y) = P(X≤x,Y≤y), F(x) = P(X≤x)P(X≤x) = P(X≤x,Y <00) = F(x,00)= Fx(x)D(X,Y)关于X的边缘分布函数沈阳师范大学

三、边缘分布函数 问 题:已 知 (X ,Y )的分布, 如何确定 X ,Y 的分布? F(x, y) = P{X  x,Y  y}, F(x) = P{X  x}, P{X  x} = P{X  x,Y  } = F(x,) F (x) = X (X,Y )关于X的边缘分布函数

定义设F(x,y)为随机变量(X,Y)的分布函数则F(x,y) =P(X≤x,Y≤ y).令 -→ 00, 称 P[X ≤ x} = P[X ≤ x,Y<00} = F(x,00)为随机变量（X，Y）关于X的边缘分布函数记为Fx(x)= F(x,00)同理令X-→8,F(y) = F(00, y) = P[X < 00,Y ≤ y) = P{Y≤ y)为随机变量（XY）关于Y的边缘分布函数沈阳师范大学

F ( y) F( , y) P{X ,Y y} P{Y y} Y =  =    =  为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数. ( , ) . , { } { , } ( , ) ( , ) { , }. ( , ) ( , ) , 为随机变量 关于 的边缘分布函数 令 称 则 设 为随机变量 的分布函数 X Y X y P X x P X x Y F x F x y P X x Y y F x y X Y →   =    =  =   F (x) = F(x,). 记为 X 定义 同理令 x → 

中小结1.二维随机变量的联合分布函数F(x,y)= P(X ≤x,Y≤ y)2.二维离散型边缘分布函数F(y) = F(00, y) = P[X <00,Y≤y) = P[Y≤y)Fx (x) = F(x, 00).3.联合分布边缘分布沈阳师范大学

1. 二维随机变量的联合分布函数 F(x, y) = P{X  x,Y  y}. 2. 二维离散型边缘分布函数 小 结 3. 联合分布 边缘分布 F ( y) F( , y) P{X ,Y y} P{Y y} Y =  =    =  ( ) ( , ). F x F x X = 