沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程授课教案（讲义）第六章 数理统计的基本知识

第六章数理统计的基本知识总体，样本，统计量的有关概念，1本章统计学的三大分布：2分布、1分布、F分布2.内容分位数的概念.3.提要4.正态总体条件下的抽样分布总体与个体总体与随机变量简单随机样本样本(两重性)样本的概率分布样本均值样本方差本章常用统计量概率统计的基础知识样本标准差知识样本k阶原点矩结构样本k阶中心矩体系2分布t分布三大分布F分布单个正态总体条件下的抽样分布正态总体条件下的抽样分布两个正态总体条件下的抽样分布1.总体，样本，统计量的有关概念2.样本均值、样本方差的定义及计算重点3.x2分布、t分布、F分布的典型模式及查表计算分析4.分位数的概念及查表计算5.单个正态总体条件下的抽样分布.难点统计量及其分布.分析

第六章 数理统计的基本知识 本章 内容 提要 1. 总体,样本,统计量的有关概念. 2. 统计学的三大分布: 2  分布、 t 分布、 F 分布. 3. 分位数的概念. 4. 正态总体条件下的抽样分布. 本 章 知 识 结 构 体系 重点 分析 1.总体,样本,统计量的有关概念. 2.样本均值、样本方差的定义及计算. 3. 2  分布、t 分布、 F 分布的典型模式及查表计算. 4.分位数的概念及查表计算. 5.单个正态总体条件下的抽样分布. 难点 分析 统计量及其分布

第二十一讲$6.1总体与样本$6.2统计学的三大分布、总体与个体本节二、样本内容三、统计量提要四、三大分布教学理解统计学的三个基本概念：总体、样本、统计量，掌握三大分布的定义和性质，分位数的概目的念要求重点统计学的三个基本概念：总体、样本、统计量：三大分布的定义和性质难点三个基本概念：总体、样本、统计量：分位数的概念2学时学时与总体与个体15分钟主要样本25分钟内容统计量20分钟时间三大分布25分钟分配小结及练习5分钟教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验总结

第二十一讲 §6.1 总体与样本 §6.2 统计学的三大分布 本节 内容 提要 一、总体与个体 二、样本 三、统计量 四、三大分布 教学 目的 要求 理解统计学的三个基本概念：总体、样本、统计量，掌握三大分布的定义和性质，分位数的概 念 重点 统计学的三个基本概念：总体、样本、统计量；三大分布的定义和性质 难点 三个基本概念：总体、样本、统计量；分位数的概念 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 总体与个体 15 分钟 样本 25 分钟 统计量 20 分钟 三大分布 25 分钟 小结及练习 5 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结

教学过程附注引入前面五章的研究属于概率论的范畴.从本章开始，我们将学习数理统计的有关内容.数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论为理论基础，研究如何科学地收集、整理、分析数据资料，进而对随机现象的客观规律性做出种种合理的估计和推断本章介绍数理统计中的一些基本概念讲授新课一、总体与个体总体：研究对象的全体所组成的集合个体：总体中的每一个元素总体：数量指标的全体，是一个随机变量，记作X，即随机变量在统计学中称为总体个体：X中这样那样的数总体的分类：X作为随机变量有一维与多维，离散与连续之分作为集合有有限、无限之分。二、简单随机样本1.抽样要满足以下两个条件：（1）随机性即每次抽取时，总体中的每一个个体被抽到的可能性相等(2）独立性即每次抽取的结果互不影响满足以上两个条件的抽样称为简单随机抽样，由此得到的样本称为简单随机样本，2.样本的定义：定义设随机变量X,X·,X，相互独立，且与总体X具有相同的分布，则称X,X2""X，为来自总体X的简单随机样本，简称样本它的观测值x,x2，""x称为样本观测值（或样本观察值)，n称为样本容量样本具有二重性：抽样前是随机变量，用大写字母X，X，X表示；抽样后是一组数值，用小写字母,x2…,x，表示设总体X的分布函数为Fx)，则样本X,X，，"",X的联合分布函数为F(x, x2, ,x)=IIF(x)

教学过程 附 注 引入 前面五章的研究属于概率论的范畴.从本章开始,我们将学习数理统计的有关 内容.数理统计是具有广泛应用的一个数学分支,它以概率论为理论基础,研究如何 科学地收集、整理、分析数据资料,进而对随机现象的客观规律性做出种种合理的 估计和推断. 本章介绍数理统计中的一些基本概念 讲授新课 一、总体与个体 总体：研究对象的全体所组成的集合．． 个体：总体中的每一个元素．． 总体：数量指标的全体，是一个随机变量，记作 X ，即随机变量在统计学中称为总 体 个体： X 中这样那样的数 总体的分类： X 作为随机变量有一维与多维，离散与连续之分 作为集合有有限、无限之分. 二、简单随机样本 1.抽样要满足以下两个条件: (1) 随机性 即每次抽取时,总体中的每一个个体被抽到的可能性相等. (2) 独立性 即每次抽取的结果互不影响. 满足以上两个条件的抽样称为简单随机抽样,由此得到的样本称为简单随机样本. 2.样本的定义： 定义 设随机变量 1 2 , , , X X X n 相互独立,且与总体 X 具有相同的分布,则称 1 2 , , , X X X n 为来自总体 X 的简单随机样本,简称样本.它的观测值 1 2 , , , n x x x 称为样本观测值(或样本观察值), n 称为样本容量. 样本具有二重性: 抽样前是随机变量，用大写字母 1 2 , , , X X X n 表示; 抽样后是一组数值，用小写字母 1 2 , , , n x x x 表示. 设总体 X 的分布函数为 F x( ) ,则样本 1 2 , , , X X X n 的联合分布函数为 1 2 1 ( , , , ) ( ) n n i i F x x x F x = = 

附注教学过程若总体X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则样本X,X,,X的联合概率密度函数为f(x, x2,, x,)=f(x)若总体X是离散型随机变量，其概率分布列为P(X =x)= p(x) (i=1, 2, ..)则样本X,X,X的联合概率分布列为P(X,=x, X, =x2,,X, = x)-IIp(x,)fel例1设总体X~E()，X,X2，",X,是来自X的一个样本求样本XX，X的联合概率密度函数Ne-ix, x>0解因为X~E(a)，所以f(x)=10x≤0从而a"expx,>0, i=1,2,",n.Xf(x,x2,,x)=f(x)i=li=l0,其它例2设总体XP()，X,X，,X是来自X的一个样本.求样本X,X,,X,的联合概率分布列.解由X~P(a)，P(X=x)=e,.x=0,12,..x!得-e-= e-nP(X,= x,X, = x2,,X, = x) =i=l x,!lx,三、常用统计量样本来自总体，样本观测值中含有总体各方面的信息，但这些信息较为分散，有时显得杂乱无章.在实际应用中，往往需要对样本进行数学上的加工，最常用的加工方法就是构造样本的函数，不同的函数反映总体的不同特征定义设X,X",X，是来自总体X的一个样本，若样本函数

教学过程 附 注 若总体 X 是连续型随机变量,其概率密度函数为 f x( ) ,则样本 1 2 , , , X X X n 的联合概率密度函数为 1 2 1 ( , , , ) ( ) n n i i f x x x f x = =  若总体 X 是离散型随机变量 , 其概率分布列为   ( ) ( 1, 2, ) P X x p x i = = = i i 则样本 1 2 , , , X X X n 的联合概率分布列为  1 1 2 2  1 , , , ( ) n n n i i P X x X x X x p x = = = = = 例1 设总体 X E( )  , 1 2 , , , X X X n 是来自 X 的一个样本. 求样本 1 2 , , , X X X n 的联合概率密度函数. 解 因为 X E( ) ,  所以 , 0 ( ) 0, 0 x e x f x x   −   =    从而 1 2 1 ( , , , ) ( ) n n i i f x x x f x = =  1 exp 0, 1,2, , . 0, n n i i i   x x i n =       −  = =       其它 例2 设总体 X P( )  ， 1 2 , , , X X X n 是来自 X 的一个样本. 求样本 1 2 , , , X X X n 的联合概率分布列. 解 由 ( ) , , 0,1,2,   ! x X P P X x e x x    − = = = 得  1 1 2 2  1 1 , , , . ! ! i i n n x x n n n i i i i P X x X x X x e e x x   − −   = = = = = = =   三、常用统计量 样本来自总体,样本观测值中含有总体各方面的信息,但这些信息较为分散,有 时显得杂乱无章.在实际应用中,往往需要对样本进行数学上的加工,最常用的加工 方法就是构造样本的函数,不同的函数反映总体的不同特征. 定 义 设 1 2 , , , X X X n 是来自总体 X 的一个样本 , 若 样 本 函 数

附注教学过程g(X,X2X)中不含有任何未知参数，则称g(X,X,.,X）为统计量.Tx..x2,min例如，若X.X.X为样本，则>都是统X...Yi=li=lX--X2等均不是统计量.计量.而当μ,未知时，X+3μ，a统计量是一个随机变量，它是样本的函数.由样本的二重性可知，统计量也具有二重性设X,X2，,X，是来自总体X的样本，x,x2，,x为样本观测值，常用的统计量有：11nX=!1.样本均值：其观测值为：>X:x=->x.nnil2=1（-x)，其观测值为；2.样本方差：n-1=l53=1-x)?.S称为样本标准差(xn-1台在参数估计中还常会遇到统计量S=(X-X)，称为未修正的样本方-ni=l差.易见，二者之间有如下关系：S2=n-1月k=12....3.样本k阶原点矩：4.ni=lk=1,2,..其观测值为：Xa=-ni=l1n(X,-X)*, k=1,2...4.样本k阶中心矩：B, =Vn1n(x -x), k=1,2,...其观测值为：b,=n上述统计量统称为样本的矩统计量，简称为样本矩.显然，样本均值X为样本一阶原点矩A，未修正的样本方差S2为样本二阶中心矩B

教学过程 附 注 1 2 ( , , , ) n g X X X 中不含有任何未知参数,则称 1 2 ( , , , ) n g X X X 为统计量. 例如,若 1 2 , , , X X X n 为样本,则  1  2 2 1 1 , ,min , , , n n i i n i i X X X X X = =   都是统 计量.而当  , 未知时, 1 2 1 3 , X X X   − + 等均不是统计量. 统计量是一个随机变量,它是样本的函数.由样本的二重性可知,统计量也具有 二重性. 设 1 2 , , , X X X n 是来自总体 X 的样本, 1 2 , , , n x x x 为样本观测值,常用的 统计量有: 1.样本均值: 1 1 n i i X X n = =  . 其观测值为: 1 1 n i i x x n = =  . 2. 样本方差 : 2 2 1 1 ( ) 1 n i i S X X n = = − −  . 其观测值为 : 2 2 1 1 ( ) 1 n i i s x x n = = − −  . S 称为样本标准差. 在参数估计中还常会遇到统计量 2 2 1 1 ( ) n n i i S X X n = = −  ,称为未修正的样本方 差.易见,二者之间有如下关系: 2 2 1 n n S S n = − . 3.样本 k 阶原点矩: 1 1 , 1,2, . n k k i i A X k n = = =  其观测值为: 1 1 , 1,2, n k k i i a x k n = = =  4.样本 k 阶中心矩: 1 1 ( ) , 1,2, n k k i i B X X k n = = − =  其观测值为: 1 1 ( ) , 1,2, n k k i i b x x k n = = − =  上述统计量统称为样本的矩统计量,简称为样本矩.显然,样本均值 X 为样本 一阶原点矩 A1 ,未修正的样本方差 2 n S 为样本二阶中心矩 B2

教学过程附注5.顺序统计量：设X,X,,X是来自总体X的样本，将样本中的各分量按其观测值由小到大的顺序排列成：Xo)≤X(2) ≤...≤X(n)则称X(),X(2)",X(m为顺序统计量，X称为第i个顺序统计量.其中Xa和X(m分别称为最小和最大统计量，即Xa = min[X,X2,",X,),X() = max[X,X2,**, X.)1-证明S?=(Zx?-nx2)例3n-1i=lS =2(X-X)=1(x? -2x,X+X2)证明3n-1n-1iel=一(x-2x+x)An-14iol2x-2n*+n*)n-1=(x? -nx)n-1四、三大分布1.x分布定义1 设X,X,,,X,为n个独立的标准正态随机变量，则称随机变量X=X?+X ++X(2.1)服从自由度为n的分布，记作X～×（n)此处，自由度是指（2.1）式右端包含的独立随机变量的个数。分布具有以下性质：性质1若X~x(n)，则EX=n，DX=2n性质2（可加性）若X~×(m)，Y~×(n)，且X与Y相互独立,则

教学过程 附 注 5.顺序统计量: 设 1 2 , , , X X X n 是来自总体 X 的样本,将样本中的各分量 按其观测值由小到大的顺序排列成: X X X (1) (2) ( )    n 则称 (1) (2) ( ) , , , X X X n 为顺序统计量, X()i 称为第 i 个顺序统计量. 其中 X(1) 和 X( ) n 分别称为最小和最大统计量,即 X X X X (1) 1 2 = min , , ,  n , X X X X ( ) 1 2 n n = max , , ,   . 例 3 证明 2 2 2 1 1 ( ) 1 n i i S X nX n = = − −  证明 2 2 1 1 ( ) 1 n i i S X X n = = − −  = 2 2 1 1 ( 2 ) 1 n i i i X X X X n = − + −  = 2 2 1 1 1 1 ( 2 ) 1 n n n i i i i i X X X X n = = = − + −    = 2 2 2 1 1 ( 2 ) 1 n i i X nX nX n = − + −  = 2 2 1 1 ( ) 1 n i i X nX n = − −  . 四、三大分布 1. 2  分布 定义 1 设 1 2 , , , X X X n 为 n 个独立的标准正态随机变量，则称随机变量 2 2 2 X X X X = + + + 1 2 n （2.1） 服从自由度为 n 的 2  分布，记作 2 X n  ( ) . 此处，自由度是指（2.1）式右端包含的独立随机变量的个数。 2  分布具有以下性质： 性质 1 若 2 X n  ( ) ，则 EX n DX n = = , 2 . 性质 2 (可加性) 若 2 2 X m Y n   ( ), ( ), 且 X 与 Y 相互独立,则

教学过程附注X+Y ~x'(m+n).定义2设随机变量X~×(n),对于给定的α(0xa(n)= Jtm f(x)dx=α的数x(n)为×分布的上侧α分位数(见图6.1)0X0图6.1分布的上侧α分位数对于不同的α,n，上侧α分位数%(n)的值可以从附表3中查到.例如：α=0.01,n=30，查表得xoo(30)=50.892但该表只详列到n=50为止.当自由度n充分大时，2分布可以近似地看作正态分布.此时有xa(n)==(ua +/2n-1)2(2. 4)其中u。是标准正态分布N(O,1)的上侧α分位数.由上侧α分位数的定义，有(2. 5)Φ(u.)=1-α例如α=0.01,n=100,由(2.5)式得Φ(uo01)=1-0.01=0.99.查标准正态分布表可得：uo.01=2.33,代入(2.4)式可以计算出所求的x(n)为(2.33+/199)°=135.083x0.01(100)=2.1分布定义 3设随机变量X~N(O,1)，Y~(n),且X与Y相互独立，则称随机变量X(2. 6)T =JYIn

教学过程 附 注 2 X Y m n + +  ( ) . 定义 2 设随机变量 2 X n  ( ) ,对于给定的   (0 1)   ,称满足条件   2 2 ( ) ( ) ( ) n P X n f x dx      +  = =  (2.3) 的数 2 ( ) n  为 2  分布的上侧  分位数(见图 6.1). 图 6.1 2  分布的上侧  分位数 对于不同的 , n ,上侧  分位数 2 ( ) n  的值可以从附表 3 中查到.例如:  = = 0.01, 30 n ,查表得: 2 0.01  (30) 50.892 = . 但该表只详列到 n = 50 为止.当自由度 n 充分大时, 2  分布可以近似地看作正 态分布.此时有 2 2 1 ( ) ( 2 1) 2 n u n    + − (2.4) 其中 u 是标准正态分布 N(0,1) 的上侧  分位数.由上侧  分位数的定义,有 ( ) 1 u  = −   (2.5) 例如  = = 0.01, 100, n 由(2.5)式得 0.01  = − = ( ) 1 0.01 0.99. u 查标准正 态分布表可得: 0.01 u = 2.33 , 代入(2.4)式可以计算出所求的 2 ( ) n  为 2 2 0.01 1 (100) (2.33 199) 135.083 2   + = . 2. t 分布 定义 3 设随机变量 2 X N Y n (0,1) , ( )  ,且 X 与 Y 相互独立,则称随 机变量 / X T Y n = (2.6)

教学过程附注服从自由度为n的t分布，记作T～(n)定义4设随机变量T~t(n).对于给定的α(0ta(n)=J的数t。(n)为t分布的上侧α分位数（见图6.2)0to图6.2t分布的上侧α分位数由于t分布的概率密度是偶函数，所以有ti-α(n)=-ta(n)，即(2. 9)ta(n)=-i-α(n).t分布的上侧α分位数t(n)的值可以从附表4中查到.当α较大(接近于1)时，可由(2.9)式求出t。(n)的值。例如lo.os(12)=1.782,fog9(20)=-2.528.可以证明，t分布的极限分布是标准正态分布.因此，在实际应用中，当n充分大时,有ta(n)=ua.3.F分布定义5设随机变量X~x(m)，Y~×(n)，且X与Y相互独立，则称随机变量F=X/m(2. 11)YIn服从自由度为(m,n)的F分布，记作F~F(m,n)。1由定义可知,若F~F(m,n),则-~F(n,m)F定义6设随机变量F~F(m,n).对于给定的α(0F(m,n)=J

教学过程 附 注 服从自由度为 n 的 t 分布,记作 T t n( ) . 定义 4 设随机变量 T t n( ) .对于给定的   (0 1)   ,称满足条件   ( ) ( ) ( ) t n P T t n f x dx    +  = =  (2.8) 的数 t n( )  为 t 分布的上侧  分位数(见图 6.2). 图 6.2 t 分布的上侧  分位数 由于 t 分布的概率密度是偶函数,所以有 1 t n t n ( ) ( ) −  = − ,即 1 t n t n ( ) ( )   = − − . (2.9) t 分布的上侧  分位数 t n( )  的值可以从附表 4 中查到.当  较大(接近于 1) 时,可由(2.9)式求出 t n( )  的值. 例如 0.05 0.99 t t (12) 1.782, (20) 2.528 = = − . 可以证明, t 分布的极限分布是标准正态分布.因此,在实际应用中,当 n 充分大 时,有 t n u ( ) .    3. F 分布 定义 5 设随机变量 2 2 X m Y n   ( ) , ( ) ，且 X 与 Y 相互独立,则称随 机变量 / / X m F Y n = (2.11） 服从自由度为 ( , ) m n 的 F 分布，记作 F F m n ( , ) . 由定义可知,若 F F m n ( , ) ,则 1 F n m ( , ) F 定义 6 设随机变量 F F m n ( , ) .对于给定的   (0 1)   ,称满足条件   ( , ) ( , ) ( ) F m n P F F m n f x dx    +  = =  (2.14)

附注教学过程的数F(m,n)为F分布的上侧α分位数(见图6.3).Ly0FaX图6.3F分布的上侧α分位数1(2. 15)由(2.13)式可知：F(m,n)=Fi-α(n,m)F分布的上侧α分位数F.（m,n)的值可以从附表5中查到.当α较大时，可由(2.15)式求出Fa(m,n)的值.11例如Fo.0s(10,8)=3.35，Fo9s(8,10)=Fo.os(10,8)3.35例 1设随机变量T~t(n)，证明 T?~F(1,n)X设T=证明其中X~N(O,1),~(n)且X与相互独立,V/nX?T22于是所以而X~×(1)且X与Y相互独立，Y/nT?~ F(1,n)例 2 设X,X2,,X1o是来自总体X~N(0,0.3'）的样本，求10X>1.44.解R军：X~N(0,0.3")且相互独立i=X.～N(0,1）且相互独立，i=1,2,,100.32o由分布的定义知x(10）．因此

教学过程 附 注 的数 F m n ( , )  为 F 分布的上侧  分位数(见图 6.3). 图 6.3 F 分布的上侧  分位数 由(2.13)式可知: 1 1 ( , ) ( , ) F m n F n m  − = (2.15) F 分布的上侧  分位数 F m n ( , )  的值可以从附表 5 中查到.当  较大时,可由 (2.15)式求出 F m n ( , )  的值. 例如 0.05 0.95 0.05 1 1 (10,8) 3.35 , (8,10) (10,8) 3.35 F F F = = = 例 1 设随机变量 T t n( ) ，证明 2 T F n (1, ) 证明 设 X T Y n = ，其中 2 X N Y n (0,1), ( )  且 X 与 Y 相互独立, 于 是 2 2 X T Y n = , 而 2 2 X  (1) 且 2 X 与 Y 相互独立 . 所 以 2 T F n (1, ) . 例 2 设 1 2 10 X X X , , , 是来自总体 2 X N(0,0.3 ) 的样本 , 求 10 2 1 1.44 i i P X =         .解 ∵ 2 (0,0.3 ) X N i 且相互独立 ∴ (0,1) 0.3 Xi N 且相互独立, i =1,2, ,10. 由 2  分布的定义知 10 2 2 1 ( ) (10) 0.3 i i X  =  . 因此

教学过程附注P(/x>14-/261-9-(20>10-0.P>（=0.3[i=l小结：统计学的三个基本概念：总体、样本、统计量；统计学的三大分布：x分布、1分布、F分布.作业：超星学习平台线上作业；习题六：1，2，3，4，10，11

教学过程 附 注 10 2 1 1.44 i i P X =         = 10 2 2 1 1.44 ( ) 0.3 0.3 i i X P =         =   2 P  (10) 16  = 0.1. 小 结: 统计学的三个基本概念：总体、样本、统计量；统计学的三大分布: 2  分 布、 t 分布、 F 分布. 作业：超星学习平台线上作业；习题六 ：1，2，3，4，10，11