沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第6章 线性空间 6.8 线性空间的同构

S6.8 线性空间的同构2

§6.8 线性空间的同构 2

86.8线性空间的同构第六章线性空间预习问题1.线性空间同构的定义2.线性空间同构的证明方法3.线性空间同构保持的元素与性质

预习问题 1.线性空间同构的定义 第六章 线性空间 §6.8 线性空间的同构 2.线性空间同构的证明方法 3.线性空间同构保持的元素与性质

S6.8线性空间的同构第六章线性空间研究线性空间主要研究它的代数结构。前面从线性空间的向量之间关系及子空间的角度来进行讨论，而本节是以分类的思想，利用映射的方法从两个线性空间之间的联系来研究它的代数结构。本节内容具有将未知的有限维空间的研究转化为对已知的有限维空间来研究，并且对有限维线性空间进行分类研究。设1,2,，n是线性空间V的一组基，在这组基下，V中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成Pn元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V到pn的一个映射显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V与Pn的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设

第六章 线性空间 §6.8 线性空间的同构 研究线性空间主要研究它的代数结构。前面从线性空间的向量 之间关系及子空间的角度来进行讨论，而本节是以分类的思想，利 用映射的方法从两个线性空间之间的联系来研究它的代数结构。本 节内容具有将未知的有限维空间的研究转化为对已知的有限维空间 来研究，并且对有限维线性空间进行分类研究。 设𝜺𝟏, 𝜺𝟐, ⋯ , 𝜺𝒏是线性空间𝐕的一组基，在这组基下，𝐕中每 个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成𝑷 𝒏元素，因 此向量与它的坐标之间的对应实质上就是𝐕到𝑷 𝒏的一个映射. 显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间 𝐕与𝑷 𝒏的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系 上.设

86.8线性空间的同构第六章线性空间a=a1&1+a2&2+"+anEnβ= b1&1 +b2&2 + ...+ bnEn而向量α,β的坐标分别是(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)，那么α +β =(a1 + b1)e1 + (a2 + b2)e2 +... +(an + bn)en;ka =kaie +kaze2 +...+kanen.于是向量α+β,kα的坐标分别是(a1 + b1,a2 + b2,",an +bn) = (a1,a2,",an) + (b1,b2,",bn)(kai,ka2,."-,kan)=k(ai,a2,",an).以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间V的讨论也就可以归结为Pn的讨论

第六章 线性空间 §6.8 线性空间的同构 𝛼 = 𝑎1𝜀1 + 𝑎2𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝜀𝑛 𝛽 = 𝑏1𝜀1 + 𝑏2𝜀2 + ⋯ + 𝑏𝑛𝜀𝑛 而向量𝛼, 𝛽的坐标分别是(𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛),(𝑏1, 𝑏2, ⋯ , 𝑏𝑛)，那么 𝛼 + 𝛽 = (𝑎1 + 𝑏1)𝜀1 + (𝑎2 + 𝑏2)𝜀2 + ⋯ + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝜀𝑛; 𝑘𝛼 = 𝑘𝑎1𝜀1 + 𝑘𝑎2𝜀2 + ⋯ + 𝑘𝑎𝑛𝜀𝑛. 于是向量𝛼 + 𝛽, 𝑘𝛼的坐标分别是 (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, ⋯ , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = (𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛) + (𝑏1, 𝑏2, ⋯ , 𝑏𝑛), (𝑘𝑎1, 𝑘𝑎2, ⋯ , 𝑘𝑎𝑛) = 𝑘(𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛). 以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归 结为它们坐标的运算.因而线性空间𝑉的讨论也就可以归结为𝑃 𝑛 的讨论

86.8线性空间的同构第六章线性空间线性空间同构的概念一定义1设V，V'是数域P上的线性空间，：V→V'称为同构映射，并记VVI，如果1）是V到V'的双射；2) 对任意的α,βEV，(α+β)=o(α)+o(β);3) 对任意的kEP,αEV, o(kα)=ko(α),②，3）的意义是保持运算不变，即“和的像等于像的和：数乘的像等于像的数乘”。其几何意义如图示：

一、线性空间同构的概念 定义1 设V，V/是数域P上的线性空间，σ：V→V/称为同构 映射，并记V≌V/ ，如果 1) σ是V到V/的双射； 2) 对任意的α,β∈V，σ(α+β)=σ(α)+σ(β)； 3) 对任意的k∈P,α∈V, σ(kα)=kσ(α). ⚫ 2), 3)的意义是保持运算不变，即“和的像等于像的和 ；数乘的像等于像的数乘”。其几何意义如图示： 第六章 线性空间 §6.8 线性空间的同构

BVα(β)o(α)αα+βa(αβ)=g(α)Fo(β)

V β V/ σ(β) α σ(α) α＋β σ(α＋β)=σ(α)+σ(β)

PPkαoakαα(kα)= ko(α

P P k α σ(α) kα σ(kα)= kσ(α)

哲学思想1.线性空间同构的哲学思想透过现象看本质，不能只看表面现象。即使两个线性空间的元素、运算截然不同，也可能同构。2.看问题要抓主要矛盾。对于有限维的线性空间，主要矛盾是维数。只要维数相同，线性空间就同构，其余的都是次要矛盾，例如元素具体形式，线性空间里的运算等都是次要矛盾，即使不同，也可以同构

9 哲学思想 1.线性空间同构的哲学思想透过现象看本质，不能只看表面 现象。 2.看问题要抓主要矛盾。 即使两个线性空间的元素、运算截然不同，也可能同构。 对于有限维的线性空间，主要矛盾是维数。只要维数相同，线 性空间就同构，其余的都是次要矛盾，例如元素具体形式，线性空 间里的运算等都是次要矛盾，即使不同，也可以同构

86.8线性空间的同构第六章线性空间二、线性空间同构映射的性质1.α(0）=0（保持零向量不变）2.α(-α）=一α(α).（保持负向量不变）3.o(kiα1 + k2α2 + ... +krαr) = k10(α1) + k20(α2) + ... +krα(αr).（保持线性关系不变）4.V中向量组α1,α2,,αr线性相关它们的象o(α1),α(α2),,α(αr)线性相关.（保持线性相关、线性无关性不变)5.如果V是V的一个线性子空间，那么，V在。下的象集合o(V) = (o(α)lα E V)是α(V)的子空间，并且V,与α(V)维数相同.（保持子空间结构不变）

第六章 线性空间 §6.8 线性空间的同构 二、线性空间同构映射的性质 3. 𝝈(𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒓𝜶𝒓) = 𝒌𝟏𝝈(𝜶𝟏) + 𝒌𝟐𝝈(𝜶𝟐) + ⋯ + 𝒌𝒓𝝈(𝜶𝒓).（保持线性关系不变） 4. 𝑽 中 向 量 组 𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ ,𝜶𝒓 线 性 相 关 ⇔ 它 们 的 象 𝝈(𝜶𝟏), 𝝈(𝜶𝟐), ⋯ , 𝝈(𝜶𝒓)线性相关.（保持线性相关、线性无关性不 变） 5. 如果𝑉1是𝑉的一个线性子空间，那么，𝑉1在𝜎下的象集合 𝜎(𝑉1) = 𝜎(𝛼)|𝛼 ∈ 𝑉1 是𝜎(𝑉)的子空间，并且𝑉1与𝜎(𝑉1)维数相同.（保持子空间结构不变） 2. 𝝈(−𝜶) = −𝝈(𝜶).（保持负向量不变） 1. 𝝈(𝟎) = 𝟎（保持零向量不变）

哲学思想1.线性空间同构的哲学思想透过现象看本质，不能只看表面现象。即使两个线性空间的元素、运算截然不同，也可能同构。2.看问题要抓主要矛盾。对于有限维的线性空间，主要矛盾是维数。只要维数相同，线性空间就同构，其余的都是次要矛盾，例如元素具体形式，线性空间里的运算等都是次要矛盾，即使不同，也可以同构。11

11 哲学思想 1.线性空间同构的哲学思想透过现象看本质，不能只看表面 现象。 2.看问题要抓主要矛盾。 即使两个线性空间的元素、运算截然不同，也可能同构。 对于有限维的线性空间，主要矛盾是维数。只要维数相同，线 性空间就同构，其余的都是次要矛盾，例如元素具体形式，线性空 间里的运算等都是次要矛盾，即使不同，也可以同构