沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第五章 二次型 5.4 正定二次型

S5.4 正定二次型2

§5.4 正定二次型 2

$5.4正定性第五章二次型二次型正定性的图像表示(1) f(x1,x2)= 6x -2x,x, + 5x2(2) f(x1,x,)=3x +4xix2 -2x2(3) f(x1,x2)=-2x +xix2 -3x3(4) f(x1,x2)=3x命令行窗口Figure口Xfx>》subplot(2,2,1);文件(F）编辑(E)查看(V)插入(I）工具(T）桌面(D）口(W)帮助(H)ezmesh（6*x12-2*x1*x2+5*x2*2）：0田0AO包-subplot(2,2,2):ezmesh（3*x12+4*x1*x2-2*x2.2）2-2 x, X,+5 ×,23 x,2+4 x, ×2-2×26xsubplot(2,2,3);ezmesh（-2*x12+x1*x2-3*x2.2.)：500subplot(2,2,4);100ezmesh(3*x12")0-1000555(1)1正定二次型0000-55X2X,xX13x,2(2）不定二次型2X3-3X100-10050（3）负定二次型-200055550000（4）半正定二次型5-5-5-5y×2X1x

二次型正定性的图像表示 2 1 2 2 2 （1） f (x1 , x2 ) = 6x1 − 2x x + 5x （2） 2 1 2 2 2 f (x1 , x2 ) = 3x1 + 4x x - 2x （3） 2 1 2 2 2 f (x1 , x2 ) = -2x1 + x x - 3x （4） 2 1 2 3 1 f (x , x ) = x 第五章 二次型 §5.4 正定性 （1）正定二次型 （3）负定二次型 （2）不定二次型 （4）半正定二次型

S5.4正定性第五章二次型预习思考二次型正定性的定义是什么？有几种分类

预习思考 第五章 二次型 §5.4 正定性 二次型正定性的定义是什么？有几种分类？

第五章二次型$5.4正定性定义4设f(αx1,x2,…,xn)是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数C1,C2,,Cn都有f(C1,C2,,Cn）>0，就称f(x1,x2,",xn)为正定的；如果都有f(C1,C2,,Cn)<0，那么f(x1,x2,,xn)称为负定的；如果都有f(C1,C2,",Cn)≥0，那么f(x1,x2,,xn)称为半正定的；如果都有f(C1,C2,,Cn)≤0，那么f(x1,x2,,xn)称为半负定的；如果实二次型f(x1,x2,…,xn)既不是半正定又不是半负定，那么它就称为不定的。实对称阵A称为正定的、负定的、半正定的、半负定的，如果实二次型X'AX是正定的、负定的、半正定的、半负定的

第五章 二次型 §5.4 正定性 定义4 设𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)是一实二次型，如果对于任意一组 不 全 为 零 的 实 数 𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐𝑛 都 有 𝑓(𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐𝑛) > 0 ， 就 称 𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)为正定的；如果都有𝑓(𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐𝑛) < 0，那么 𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)称为负定的；如果都有𝑓(𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐𝑛) ≥ 0，那 么𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)称为半正定的；如果都有𝑓(𝑐1, 𝑐2, ⋯ , 𝑐𝑛) ≤ 0 ， 那 么 𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛) 称 为 半 负 定 的 ； 如 果 实 二 次 型 𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)既不是半正定又不是半负定，那么它就称为不 定的。 实对称阵𝐴称为正定的、负定的、半正定的、半负定的，如 果实二次型𝑋 ′𝐴𝑿 是正定的、负定的、半正定的、半负定的

正定二次型的判定1. 定理6实二次型f(xi，.……,xn)正定的充要条件是其正惯性指数为n.0)xCAKA1证明：二f正定，设f经可逆XkCiCMm(X=CY)化成的标准型为f=d+0XnCrk正→不妨设其中d,≤0(ke{12,n,x,=Ck,且不全为0=,=0, y=1, 代入X=CY, 得x =Cik,(否则C非可逆)→代入标准型，得f(cik,C)=d,O ++d-O+d,1+dk,O++d,O=d,≤0→不全为0的数cik,,CmR,3 f的值≤0,这与f 正定矛盾→>d>0 (i=l,n)，即f 的正惯性指数为n6

6 正定二次型的判定 1. 定理6 实二次型 f(x1 , ., 𝒙𝒏)正定的充要条件 是其正惯性指数为n. 1 11 1 1 2 2 3 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 , (1 ) 0 {1,2, , } 0, 1 , ( , ) , n n nn n n i k k k n k k k x c c y f f x y x c c y X CY f d y d y d i n d k n y y y y y x c x c X CY − +            =                = = + +   →   → = = = = = = = = = = ： 正定，设 经可逆线性替换 化成的标准型为 其中 不全为 正 不妨设其中 （ ） 取 ，代入 得 证明 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 ( , , ) 0 0 1 , , 0 0 , , 0 0 ( 1, , 0 0 0 ), . k nk k k k n k n nk k nk i f c c d d d d d x c C c c R f f d i d n f n − + = → →   = + + + + + → = +  =  且不全为 （否则 非可逆） 代入标准型，得 不全为 的数 ， 的值 ， 这与 正定矛盾 ＞ 即 的正惯性指数为 1 1 11 1 1 1 0 1 0 k k n k kk n nk nn n nk x c c c c x c c c c x c                           = =                           

一设f的正惯性指数为h一逆替换XY可逆f(x,;x)=db?+ .+dy, 且d o(i-l sn);不全为时·不全为の一>不全为数XER ER 且不全为D>于是有正定定义f(x:;x)=d?+:+dy?0习是定次型*1n阶实对称车A正定A与n弹单合同日n阶阵车G3A=CC证明n阶实对称阵车A正定一实二次型f=XAX是正定的K可逆线生替换X=CY，f=XAX=ZEZA与n阶单阵合同n阶可阵车C2A=CEC=CC

2 2 C 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 ( , , ) 0( 1, , ) , , 0 , , 0 0 , , , , 0 ( , , ) 0 n n n i n n n n n n n f n X CY f x x dy dy d i n x x y y x x R y y R f x x dy dy f  → =  = + + = ⎯⎯⎯→ →    → = + + ⎯⎯⎯⎯→ 可逆 正定定义 设 的正惯性指数为 可逆线性替换 ， ，且＞ 不全为时， 不全为 不全为的数 ， ，且不全为 于是应有 ＞ 是正定二次型. / / / / / / *1 . , . n A A n n C A CC n A f X AX X CY f X AX ZEZ A n n C A CEC CC     =  =  =  = =    = = 阶实对称矩阵 正定 与 阶单位矩阵合同 阶可逆矩阵 ， 证明： 阶实对称矩阵 正定 实二次型 是 正定的 可逆线性替换 与 阶单位矩阵合同 阶可逆矩阵

*2正定矩阵的行列式大Q证明可使得A3alaaCh中的子式2定义6矩阵A-aia2:: aianl(i=l2;n)称为矩阵A的顺字主子式定理实二次型f(x，;x)=X AX正定←>A的顺主子式全大于0.课件2023/3/11

2023/3/11 课件 8 *2 正定矩阵的行列式大于0. 证明： A正定 → 存在可逆矩阵C (|C|≠0), 使得A = C/C → |A| = |C/ ||C| = |C| 2＞0 . 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 / 1 2. 6 ( 1,2, , ) . ( , , ) 0. n i n i n n nn i i ii n a a a a a a a a a a a a A a a a a a a i n A f x x X AX A     =         = =  定义 矩阵 中的子 顺序主子式 式 称为矩阵 的 实二次型 正定 的顺序主子式 全大于 定理7 11 1 11 12 11 21 22 1 , , , , , k k kk a a a a a A a a a a

第五章二次型S5.4正定性aik/a11154ERkxk注: 1) A(1,2,",k) =(ak1akk称为A为第k阶顺序主子矩阵；a11aik.......2) Pk = det A(1,2, , k) =ak1akk称为A的第k阶顺序主子式

第五章 二次型 §5.4 正定性 注：1) 𝐴(1,2, ⋯ , 𝑘) = 𝑎11 . 𝑎1𝑘 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑘1 ⋯ 𝑎𝑘𝑘 ∈ 𝑅 𝑘×𝑘 称为A为第k阶顺序主子矩阵; 2) 𝑃𝑘 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 (1,2, ⋯ , 𝑘) = 𝑎11 . 𝑎1𝑘 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑘1 ⋯ 𝑎𝑘𝑘 称为A的第k阶顺序主子式

第五章二次型85.4正定性3)aijizainilaivikaizilaizi2aizikIQkl =aikiiaiki2aikik称为A的一个k阶主子式

第五章 二次型 §5.4 正定性 𝑸𝒌 = 𝒂𝒊𝟏𝒊𝟏 𝒂𝒊𝟏𝒊𝟐 ⋯ 𝒂𝒊𝟏𝒊𝒌 𝒂𝒊𝟐𝒊𝟏 𝒂𝒊𝟐𝒊𝟐 ⋯ 𝒂𝒊𝟐𝒊𝒌 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒊𝒌𝒊𝟏 𝒂𝒊𝒌𝒊𝟐 ⋯ 𝒂𝒊𝒌𝒊𝒌 3） 称为A的一个k阶主子式

第五章二次型S5.4正定性实二次型定理7222f (X1, X2, , Xn) =aijXixj = X'AXi=1 j=1是正定的一矩阵A的顺序主子式全大于零。证：必要性.设 f(x1,x2,,xn）正定，对每一个k(1≤k≤n)令fk(x1,x2,*,xk) = Z=1Z=1 aijxi XjX1X2= (X1, X2 .., Xk)A(1,2, "*, k)...Xk对任意一不全为零的数c1,C2,,Ck，有

第五章 二次型 §5.4 正定性 定理7 实二次型 𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛) = ෍ 𝑖=1 𝑛 ෍ 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 = 𝑋 ′𝐴𝑋 是正定的⇔矩阵𝐴的顺序主子式全大于零。 证：必要性.设 𝑓(𝑥1, 𝑥2, . , 𝑥𝑛) 正定，对每一个𝑘(1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛), 令𝑓𝑘(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑘) = σ𝑖=1 𝑘 σ𝑗=1 𝑘 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖 𝑥𝑗 = (𝑥1, 𝑥2, . , 𝑥𝑘)𝐴(1,2, ⋯ , 𝑘) 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑘 对任意一不全为零的数𝑐1, 𝑐2, . , 𝑐𝑘, 有