沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第6章 线性空间 6.2 线性空间的定义与简单性质

第6章线性空间$ 6. 2线性空间的定义与简单性质$ 6.3维数，基与坐标$ 6.4基变换与坐标变换$6.5线性子空间$6.6子空间的交与和$6.7子空间的直和$6.8线性空间的同构2

第6章 线性空间 2 §6.2 线性空间的定义与简单性质 §6.3 维数，基与坐标 §6.4 基变换与坐标变换 §6.5 线性子空间 §6.6 子空间的交与和 §6.7 子空间的直和 §6.8 线性空间的同构

S6.2 线性空间的定义与简单性质

§6.2 线性空间的定义与简单性质 3

86.2线性空间的定义与简单性质第六章线性空间预习问题1.线性空间的定义中“2+8”条是哪些？2.线性空间中有哪些必不可少的特殊元素？

4 预习问题 1.线性空间的定义中“2+8”条是哪些？ 第六章 线性空间 §6.2 线性空间的定义与简单性质 2.线性空间中有哪些必不可少的特殊元素？

S6.2线性空间的定义与简单性质第六章线性空间一、线性空间的定义与简单性质设集合Vの，F是数域，称αeV是向量，V是F上的向量空间，如果1)Vα,βeV→α+βEV(向量加法)：2)VαeV,VaeF → aαeV (数量乘法)（统称为运算封闭性），且满足算律：15α+β=β+α;(ab)α = a(bα) ;?1.α=α;(αβ)+=α+(β+) ;30eV,VαeV,0+α=α;73a(α+β)=aα+aβ :8VαEV,3αEV,α+α=0:(a+b)α =aα +bα

第六章 线性空间 §6.2 线性空间的定义与简单性质 设集合 V≠  ，F 是数域，称 V 是向量，V 是 F 上的向量 空间，如果 1)   →      , V V ＋ (向量加法)； 2)     →    V, a F a V (数量乘法) （统称为运算封闭性），且满足算律： ①     ＋ = ＋ ； ⑤ (ab)α = a(bα) ； ② ( ) ( )       ＋ ＋ = ＋ ＋ ； ⑥ 1 =   ； ③     + = 0 , ,0 V V    ； ⑦ a( ) a a     + = + ； ④ / /     + =     V V , , 0； ⑧ (a b) a b + = +    . 一、线性空间的定义与简单性质

S6.2线性空间的定义与简单性质第六章线性空间一、线性空间的定义与简单性质P直观模型：?Xaa

第六章 线性空间 §6.2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义与简单性质

S6.2线性空间的定义与简单性质第六章线性空间启示当向量集合满足向量加法和向量数乘的封闭性时，这个集合称为向量空间。向量集合：一组坚定的共产主义信仰者类比为一个集合；向量数乘：集合中任意一个人随着年龄增加，他的信仰不会变换（类比）；向量加法：集合中任意两个人培养出来的新人一定也是共产主义信仰者（类比）：这样一组坚定的共产主义信仰者集合可以称为向量空间。一个人的信仰不应随时间的变化而发生变化，引出“不忘初心，牢记使命”，为中国的繁荣强盛而努力奋斗

7 一个人的信仰不应随时间的变化而发生变化，引出“不忘初 心，牢记使命”，为中国的繁荣强盛而努力奋斗。 第六章 线性空间 §6.2 线性空间的定义与简单性质 启示 当向量集合满足向量加法和向量数乘的封闭性时，这个集合 称为向量空间。 向量集合：一组坚定的共产主义信仰者类比为一个集合； 向量数乘：集合中任意一个人随着年龄增加，他的信仰不会变 换（类比）； 向量加法：集合中任意两个人培养出来的新人一定也是共产主 义 信仰者（类比）； 这样一组坚定的共产主义信仰者集合可以称为向量空间

S6.2线性空间的定义与简单性质第六章线性空间“特殊元素”理解乘谁得谁乘法单位元：加法零元：加谁得谁这两类元素虽然“平凡”，但是线性空间里却不可缺少雷锋精神

第六章 线性空间 §6.2 线性空间的定义与简单性质 “特殊元素”理解 乘法单位元：乘谁得谁 加法零元：加谁得谁 这两类元素虽然“平凡”，但是线性空间里却不可缺少， 雷锋精神

雷锋精神1960年1月12日，雷锋写道：“虽然是细小的螺丝钉，是个细微的小齿轮，然而如果缺了它，那整个的机器就无法运转了，慢说是缺了它，即使是一枚小螺丝钉没拧紧，一个小齿轮略有破损，也要使机器的运转发生故障的，尽管如此，但是再好的螺丝钉，再精密的齿轮，它若离开了机器这个整体，也不免要当作废料，扔到废铁料仓库里去的

1960年 1月12日，雷锋写道： “虽然是细小的螺丝钉，是个细微的小 齿轮，然而如果缺了它，那整个的机器 就无法运转了，慢说是缺了它，即使是 一枚小螺丝钉没拧紧，一个小齿轮略有 破损，也要使机器的运转发生故障的， 尽管如此，但是再好的螺丝钉，再精密 的齿轮，它若离开了机器这个整体，也 不免要当作废料，扔到废铁料仓库里去 的。” 雷锋精神

S6.2线性空间的定义与简单性质第六章线性空间例1平面（空间）解析几何中的典例：V2=（αα：平面直角坐标系原点为始点的矢量？VBα+βaaα>X易验证V2关于失量的加法和数乘运算构成一个实数域R上的向量空间。V3有类似的结论

第六章 线性空间 §6.2 线性空间的定义与简单性质 例1 平面（空间）解析几何中的典例： V2 = {  ：平面直角坐标系原点为始点的矢量} y    + a  X 易验证 V2 关于矢量的加法和数乘运算构成一个实数域 R 上的向 量空间。V3 有类似的结论

S6.2线性空间的定义与简单性质第六章线性空间例2数域F上m行n列矩阵组成的典例：设Mm×n={A：数域P上mXn矩阵}，显然VA,Be Mmxn, keP → ABeMmxn, kAe Mmxn,即Mmxn对矩阵加法和数乘运算封闭；易验证8条算律亦成立Mm对矩阵加法和数乘运算构成数域P上的向量空间Mixn =(a,a2,,an)la,eP,i=1,2,,n)为 P上 n元行空间，Mnx1=((aj,a2,",a,.)la,P,i=1,2,,n)为P上n元列空间，统一记为pn

第六章 线性空间 §6.2 线性空间的定义与简单性质 例2 数域F上m行n列矩阵组成的典例： 设 Mm×n = {A：数域 P 上 m×n 矩阵}，显然   A,B Mm×n ,  k P →  AB Mm×n，k A  Mm×n , 即 Mm×n 对矩阵加法和数乘运算封闭；易验证 8 条算律亦成立 → Mm ? n 对矩阵加法和数乘运算构成数域 P 上的向量空间. ⚫ M1×n = 1 2 n i {(a , a , , a ) a P,i 1, 2, , n}   = 为 P 上 n 元行空 间，Mn×1 = / 1 2 n i {(a , a , , a ) a P,i 1,2, ,n}   = 为 P 上 n 元列空 间，统一记为 P n