沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第6章 线性空间 6.5 线性子空间

§6.5 线性子空间2

§6.5 线性子空间 2

86.5线性子空间第六章线性空间预习问题1.线性空间的子空间的定义2.线性空间的子空间的证明方法3.常用子空间的举例

3 预习问题 1.线性空间的子空间的定义 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 2.线性空间的子空间的证明方法 3.常用子空间的举例

86.5线性子空间第六章线性空间子空问的概念1.定义7W称为数域p上线性空间v的（线性）子空间1) 0+wcv：2）W对V的两种运算构成P上的线性空间寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条件是子空间研究的一个重要问题一定理2V的非空子集W是V的子空间Vα,βEW,vkEP,α+β、kαEW证明：必要性是显然的、现证充分性口据题设→W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1），2），5），6)，7)， 8)、→取k =0,则kα= 0α= 0EW;取k=-1,则ka=(-1)α=-αEW即算律3），4）成立→W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间→据定义7即知W是V的子空间子空问本身就是一个线性空间一线性空间维数，基，坐标的概念及性质在子空间上仍然成立设W是V的子空间，则dimW<dimV

֎ ⇔ ∀𝛼, 𝛽 ∈ W, ∀𝑘 ∈ P, 𝛼 + 𝛽、𝑘𝛼 ∈ W 一. 子空间的概念 1.定义7 W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间 1） ； 2） W 对 V 的两种运算构成P上的线性空间 ⚫ 寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条 件是子空间研究的一个重要问题 → 定理2 V的非空子集W是V的子空间 证明： 必要性是显然的. 现证充分性. □据题设 → W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1), 2), 5), 6), 7), 8). → 取k = 0, 则kα= 0α= 0∈W； 取k = －1, 则kα= (－1)α=－α∈W 即算律3), 4)成立 → W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间 → 据 定义7即知W是V的子空间. ⚫ 子空间本身就是一个线性空间 → 线性空间维数，基，坐标的概念及 性质在子空间上仍然成立 . ⚫ 设W是V的子空间，则dimW≤dimV . ∅ ≠ 𝐖 ⊂ 𝐕 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间

第六章线性空间86.5线性子空间补充命题：线性空间V的非空子集W是V的子空间Va,βeW,va,bEP,aα+bβeW1证明：必要性显然成立，现证充分性取a=b=l,据题设Vα,βeW,α+β=1α+1βEW;取b=0，据题设Vα,βEW, Va,oEP, aα=aα+oβEW,由定理2即知W是V的子空间口实例：例1-2取V的子集{O]，则{O是V的子空间，称为V的零子空间；取V的子集V，则V是V的子空间→子空间O和V统称为V的平凡子空间，其余的子空间称为V的非平凡子空间

⇔ ∀𝛼, 𝛽 ∈ W, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑃, 𝑎𝛼 + 𝑏𝛽 ∈ W. 补充命题： 线性空间V的非空子集W是V的子空间 证明：必要性显然成立，现证充分性. 取a = b = 1, 据题设 取b = 0, 据题设 由定理2即知W是V的子空间. □ ∀𝛼, 𝛽 ∈ W, 𝛼 + 𝛽 = 1𝛼 + 1𝛽 ∈ W； ∀𝛼, 𝛽 ∈ W， ∀𝑎, 0 ∈ P, 𝑎𝛼 = 𝑎𝛼 + 0𝛽 ∈ W, 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 ⚫ 实例： 例1-2 取V的子集{0}，则{0}是V的子空间，称为V的零子空间；取V的子 集V，则V是V的子空间 → 子空间{0}和V统称为V的平凡子空间，其余的子 空间称为V的非平凡子空间

第六章线性空间S6.5线性子空间例3实系数多项式全体构成之集W是全体实函数构成线性空间的子空间。证明：取任两实系数多项式 f(x)=a,xn+ ···+a,x+aozg(x)= bmxm+ · · · +b,x+bo,不妨设n≤m，对任意实数c，d,cf(x)+dg(x) =(cbm+dO)xm+ : : : +(cb,+dan)xn+ : : : +(cb,+da)x+(cbo+dao)显然cf(x)+dg(x)仍是实系数多项式，故W是子空间例4 P[x]n是线性空间 P[x] 的子空间

例3 实系数多项式全体构成之集W是全体实函数构成线性空间的 子空间。 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 证明： 取任两实系数多项式 f(x) = anx n+ ··· +a1x+a0 , g(x) = bmx m+ ··· +b1x+b0 , 不妨设n≤m, 对任意实数c, d, cf(x)+dg(x) = (cbm+d0)x m+···+(cbn+dan )x n+···+(cb1+da1 )x+(cb0+da0 ) 显然cf(x)+dg(x)仍是实系数多项式，故W是子空间. 例4 𝑃[𝑥]𝑛是线性空间 𝑃[𝑥] 的子空间

第六章线性空间86.5线性子空间例5线性空间Pn中，齐次线性方程组a11x1 + a12x2 +... +a1nxn = 0a21x1+a22x2+...+a2nXn=0as1x1+as2x2+...+asnxn=0全部解向量构成之集W是Pn的一个子空间，称为该齐次线性方程组的解空间证明： 用矩阵方程AX=0表示该齐次线性方程组，则W={αIAα= 0}.对任意的α,βEW,a,bEP,A(aα+bβ)=a Aα+bAβ=0 + 0 =0,故知aa+bβEW，据补充命题可知，W是Pn的一个子空间

例5 线性空间Pn中，齐次线性方程组 全部解向量构成之集W是Pn的一个子空间，称为该齐次线性 方程组的解空间. 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒔𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒔𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 证明： 用矩阵方程AX = 0表示该齐次线性方程组，则W ={α｜ Aα= 0}. 对任意的α,β∈W, a,b∈P, A(aα+bβ) =a Aα+bAβ= 0 + 0 = 0, 故 知aα+bβ∈W , 据补充命题可知，W是Pn的一个子空间. □ 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间

第六章线性空间86.5线性子空间补充例题：过原点的直线是二维平面V2的子空间，过原点的平面是三维几何空间V.的子空间证明：过原点的直线上任意两个向量的和，任意一个向量的数乘均仍在该直线上，故符合补充命题的条件，所以过原点的直线是V2的子空间．过原点的平面对矢量加法，数乘运算仍然封闭，故是V3的子空间这里之所以要求过原点，是为了保证0α=0EW成立

补充例题： 过原点的直线是二维平面𝑽𝟐的子空间，过原点的 平面是三维几何空间𝑽𝟑的子空间. 证明： 过原点的直线上任意两个向量的和，任意一个向量的数乘 均仍在该直线上, 故符合补充命题的条件，所以过原点的直线是 𝑽𝟐的子空间. 过原点的平面对矢量加法，数乘运算仍然封闭，故 是𝑽𝟑的子空间. 这里之所以要求过原点，是为了保证 0𝜶=0∈ 𝑾成立. 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间

86.5线性子空间第六章线性空间预习问题1.生成子空间的定义2.线性空间的生成元3.基扩张定理的内容

9 预习问题 1.生成子空间的定义 第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 2.线性空间的生成元 3.基扩张定理的内容

第六章线性空间86.5线性子空间定义设α1,α2，αr是线性空间V中一组向量，这组向量所有可能的线性组合kia1+k2a2+...+krar所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V的一个子空间，这个子空间叫做由α1,α2,αr生成的子空间，记为L(a1,a2, .,ar).由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向量α1,α2,",αr，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含L(α1,α2,αr)作为子空间

第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 定义 设𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟是线性空间𝑉中一组向量，这组向量所有 可能的线性组合 𝑘1𝛼1 + 𝑘2𝛼2 + ⋯ + 𝑘𝑟𝛼𝑟 所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是𝑉的 一个子空间，这个子空间叫做由𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟生成的子空间 ，记为 𝐿(𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟). 由子空间的定义可知，如果𝑉的一个子空间包含向量 𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说 ，一定包含𝐿(𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟)作为子空间

第六章线性空间S6.5线性子空间在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设W是V的一个子空间，W当然也是有限维的.设α1,α2,…αr是W的一组基，就有W = L(α1,α2, ..,αr)

第六章 线性空间 §6.5 线性子空间 在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上 ，设𝑊是𝑉的一个子空间，𝑊当然也是有限维的.设𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑟是 𝑊的一组基，就有 𝑾 = 𝑳(𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ ,𝜶𝒓）