沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第4章 不定积分 4.2 积分法（1/2）换元分法

第四章 §4.2(1)换元分法 一、直接积分法 二、第一类换元积分法 三、第二类换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题 目录 上页 下页 返回 结束

§4. 2(1) 换元分法 第四章 目录 上页 下页 返回 结束 二、第一类换元积分法 一 、直接积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题 三、第二类换元积分法

直接积分法利用积分公式和不定积分的性质可直接求一些简单函数的不定积分，这种求不定积分的方法称为直接积分法，它是一种最基础的积分方法.01010101?练习题直接积分法小结与作业第一类换元积分法上页下页目录返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、直接积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题

直接积分法一小结：·直接分项·通过代数或三角恒等变形再分项（目标是积分基本公式）分项积分加项减项常用恒等变形方法3，利用三角公式，代数公式，el0l00lx练习题直接积分法小结与作业第一类换元积分法下页目录上页返回结束

3 （目标是积分基本公式 ） 通过代数或三角恒等变 形再分项 直接分项 小结：   目录 上页 下页 返回 结束 一、直接积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式,代数公式 ,

问：I cos 5x dx = ?I cos x dx = sin x + C或「cosudu= sinu+C视 5x=u利用微分形式不变性d(sin 5x) = cos 5x d(5x)d(5x) = 5dxcos 5x dxcos5xd(5x) = =sin 5x +C55elolo0x练习题直接积分法小结与作业第一类换元积分法上页下页目录返回结束

4 cos 5  ?  问： x dx 1 1 cos5 cos5 (5 ) sin5 5 5 x dx  x d x  x  C   视 5x  u cos x dx  sin x  C  cosu du  sin u  C 或  利用微分形式不变性 d(sin 5x)  cos 5x d(5x) d(5x)  5dx 目录 上页 下页 返回 结束 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题

换元积分法二、第一类换元法问题cos2xdx季 sin 2x + C,在一般情况下：设 F'(u) = f(u), 则 (f(u)du= F(u)+C.如果u=β(x）（可微)dF[p(x)] = f[Φ(x)lp'(x)dxJ f[p(x)]p'(x)dx = F[p(x)]+ C=[] f(u)dulu=8(x)由此可得换元法定理elololol练习题直接积分法小结与作业第一类换元积分法目录上页下页返回结束

问题  cos2xdx sin 2x  C, 二、第一类换元法 在一般情况下： 设 F(u)  f (u), 则 ( ) ( ) .  f u du  F u  C 如果u  ( x)（可微）  dF[(x)]  f [(x)](x)dx   f [(x)](x)dx  F[(x)] C    ( ) [ ( ) ] u x f u du  由此可得换元法定理 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题

换元积分法二、第一类换元法定理1设f(u)具有原函数，u=β(x)可导则有换元公式J f[p(x)]o'(x)dx = [f f(u)dulu=8(x)第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将[ g(x)dx 化为[ f[(x)]p(x)dx.elolol0lx练习题直接积分法第一类换元积分法小结与作业上页下页目录返回结束

设 f (u)具有原函数，  f [( x)]( x)dx    ( ) [ ( ) ] u x f u du  第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将  g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) .  f  x  x dx u  ( x)可导， 则有换元公式 定理1 二、第一类换元法 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题

换元积分法二、第一类换元法例1求[sin2xdx.解（一）「sin2xdxsin 2xd(2x)21=cos2x +C;2解（二）J sin 2xdx = 2J sin xcos xdx= 2 sin xd(sin x)= (sin x) + C;解（三）（sin2xdx =2Jsinxcosxdx= -2[ cos xd(cos x)= -(cos x) + Celol00lx直接积分法练习题第一类换元积分法小结与作业目录上页下页返回结束

例1 求 sin2 .  xdx 解（一） sin2xdx   sin2 (2 ) 2 1 xd x cos2 ; 2 1   x  C 解（二） sin2xdx   2 sin xcos xdx   2 sin xd(sin x) sin  ; 2  x  C 解（三） sin2xdx   2 sin xcos xdx   2 cos xd(cos x) cos  . 2   x  C 二、第一类换元法 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题

换元积分法二、第一类换元法1求例2 dx.3+2x1解dx.d(3 + 2x)3+ 2x2.3+2xdu =Inu+C ==In(3+ 2x)+C2u22一般地[ f(ax + b)dx :f(u)dulu=ax+b?elol00lx练习题直接积分法小结与作业第一类换元积分法上页下页结束目录返回

例2 求 . 3 2 1 dx x   解 dx x  3  2 1 1 1 d(3 2 ) 2 3 2 x x      du u   1 2 1  lnu  C 2 1 ln(3 2 ) . 2 1   x  C  f (ax  b)dx   uaxb f u du a [ ( ) ] 一般地 1 二、第一类换元法 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题

换元积分法二、第一类换元法1例3求dx.x(1 + 2ln x)11解dxd(Inx)x(1 + 2ln x)1+2lnx1d(1 + 2ln x)2J1+2lnxu=1+2lnxdu=ln|ul+C =n|1+21nx+C.el0l00lx练习题直接积分法小结与作业第一类换元积分法上页下页目录返回结束

例3 求 . (1 2ln ) 1 dx x x   解 dx x x  (1 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x    (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 d x x     u  1  2ln x   du u 1 2 1 1 ln 2  u C 1 ln 1 2ln . 2   x  C 二、第一类换元法 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题

换元积分法二、第一类换元法x求例4JrCxx+1解dx =dx323(1+x)1x-11Jd(1xx)2(1+x)11+C.1+ x2(1 + x)elol00lx练习题直接积分法小结与作业第一类换元积分法上页下页返回结束目录

例4 求 . (1 ) 3dx x x   解 dx x x   3 (1 ) dx x x      3 (1 ) 1 1 ] (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 [ 2 3 d x x x       . 2(1 ) 1 1 1 2 C x x       二、第一类换元法 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题