沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第4章 不定积分 4.2 积分法（2/2）分部积分法

第四章$ 4.2分部积分法ettiiatthaaditthnt-ntthietisttCstteettttetdtntnietto换元、分部积分法·基本积分法：直接、求导·初等函数初等函数积分、分部积分公式一、积分方法比较二、三、有理函数的积分0lol00lx上页下页返回结束目录

§4.2 分部积分法 三、有理函数的积分 • 基本积分法:直接、换元、分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 第四章 目录 上页 下页 返回 结束 一、分部积分公式 二、积分方法比较

分部积分法分部积分公式一分部积分公式设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.那么(uv)'=u'v+u,移项得uv'=(uv)'-u'v.对这个等式两边求不定积分，得[u'dx=uv-[u'vdx, 或[udv=uv-{vdu这两个公式称为分部积分公式分部积分过程[uv'dx=[ udv=v-[ vdu=uv-[u'vdx=elool0l目录上页下页返回结束

•分部积分公式 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么, (uv) uvuv , 移项得 uv (uv)uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 •分部积分过程 这两个公式称为分部积分公式.   uv dx uv u  vdx , 或    udv uv vdu , uv dx uv u  vdx , 或  udv uv vdu ,              uv dx udv uv vdu uv u vdx  .            uv dx udv uv vdu uv u vdx  .            uv dx udv uv vdu uv u vdx   .            uv dx udv uv vdu uv u vdx . 一、分部积分公式 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程： [u'dx=[udv=v-[ vdu=uv-{u'vdx =...例1[xcos xdx =[ xd sinx= xsinx-[sin xdx=x sin x+cos x+C .例2 [xe*dx={ xdex=xex-[e*dx = xex-e*+C .使用经验例3[x?e*dx =J x?dex =x?ex-[e*dx?=x?ex -2 xe*dx = x?ex -2[ xde}反对幂指三=x?ex-2xe*+2Je*dx在后的微分。=x?ex-2xex+2ex+C=ex(x2-2x+2 )+C.ellol0lx目录上页下页返回结束

例1 x sin xcos xC . 例2 例3 x 2e x2xe x2e xC e x(x 22x2 )C.              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 1    例 1 xcos xdx  xd sin x  xsin x sin xdx    例 1 xcos xdx  xd sin x  xsin x sin xdx    例 1 xcos xdx  xd sin x  xsin x sin xdx    xcos xdx  xd sin x  xsin x sin xdx 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C x x x x x x       例 2 xe dx  xde xe  e dx xe e C. x x x x x x       例 2  xe dx  xde xe e dx xe e C . x x x x x x       例 2  xe dx  xde xe e dx xe e C . x x x x x x       例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x          . 例 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2 例 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx 例 x x x x 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx 例 x x x x 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2 “反对幂指三” 使用经验 在后的凑微分 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：[uv'dx= [ udv=uv- [ vdu=uv-[u'vdx-例4Idx21nx[xlnxdx =dr2x21nxin22例5 [arccos xdx = xarccos x - [xd arccos xX=xarccosx(1-x2) 2d(1-x2)= xarccosx=xarccos x-/1-x2 +C0000x目录上页下页返回结束

例4 例5              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2  x x  xdx  x x x C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 例 2 2 2 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 例 2 2 2 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2  x x  xdx  x x x C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 5   arccos xdx  xarccos x xd arccos x dx x x x x    2 1 1 arccos (1 ) (1 ) 2 1 arccos 2 2 1 2  x x x d x    x x x C 2 arccos 1 . 例 5   例 5 arccos xdx  xarccos x xd arccos x   arccos xdx  xarccos x xd arccos x 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

部积分法分部积分过程：[uv'dx= [udv=uv- [vdu=uv-[u'vdx= 例6arctan xdx2xarctan xdx2-arctanx22+11arctan xX221arctan x+Crctan2220101001x上页下页返回结束目录

例6              分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 6    2 arctan 2 1 xarctan xdx xdx      dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2  x x x arctan xC 2 1 2 1 arctan 2 1 2 . 例 6    2 arctan 2 1 xarctan xdx xdx      dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：「u'dx=「udv=uv-「vdu=uv-{u'vdx=..例7 求[e* sin xdx .解 因为[e" sin xdx = [sin xde' =e' sinx-[e'd sinx=e* sin x-[e* cos xdx =ex sinx-[cos xdex=e"sinx-e"cosx+|e"dcosx=e' sinx-e*cosx+[e*dcos x=e' sinx-e* cosx-[e* sinxdxe"sin xdx=所以(sin x-cosx)+C20101001x上页下页目录返回结束

解 因为 例例77求 e xdx x sin  .    e xdx  xde e x e d x x x x x sin sin sin sin       x x x x e sin x e cos xdx e sin x cos xde  e xe x e d x x x x sin cos cos  e xe x e d x x x x sin cos cos  e xe x e xdx x x x sin cos sin , 所以 e xdx e x x C x x     (sin cos ) 2 1 sin .    e xdx  xde e x e d x x x x x sin sin sin sin    e xdx  xde e x e d x x x x x sin sin sin sin       x x x x e sin x e cos xdx e sin x cos xde              分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：「u'dx=「udv=uv-「vdu=uv-{u'vdx=..例8 求[sec3 xdx .解 因为[ sec3 xdx = [ sec x·sec? xdx = [ sec xd tan x= sec x tan x- [ sec x tan ? xdx= sec xtan x-[ sec x(sec2 x-1)dx= sec x tan x- [ sec3 xdx +[ sec xdx= sec x tan x+ln|sec x+tan x|-[sec3 xdx ,所以[sec3 xdx (secxtan x+ln|secx+tanxD+Clolololx目录上页下页返回结束

             分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 解 因为 例例88求  xdx 3 sec .    sec xdx  sec xsec xdx  sec xd tan x 3 2   x x x xdx 2 sec tan sec tan  sec xtan x sec x(sec x1)dx 2   sec xtan x sec xdx sec xdx 3   x x x x  xdx 3 sec tan ln|sec tan | sec , 所以  xdx 3 sec  (sec xtan xln|sec xtan x|)C 2 1 .    sec xdx  sec xsec xdx  sec xd tan x 3 2    sec xdx  sec xsec xdx  sec xd tan x 3 2 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：「u'dx=「udv=uv-「vdu=uv-{u'vdx=..例9求 ( sin(In x)dx.解sin(ln x)dx= x sin(ln x) - ( xd[sin(ln x)]= x sin(ln x) - J xcos(ln x). = dxx= x sin(ln x) - x cos(ln x) + xd[cos(ln x)]sin(ln x)dx= x[sin(In x) - cos(ln x)]Xsin(ln x)dx=[sin(ln x)- cos(ln x)l + C2ellol0x目录上页下页返回结束

例9 求 sin(ln ) .  x dx 解 sin(ln x)dx   xsin(ln x)  xd[sin(ln x)]     dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln )   xsin(ln x)  xcos(ln x)  xd[cos(ln x)]   x[sin(ln x)  cos(ln x)] sin(ln x)dx sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x                 分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法分部积分过程：「uv'dx=「udv=uv-「vdu=uv-[u'vdx=..求[evxdx.例10解法一令x=2,则dx=2tdt.于是[ev×dx =2[te'dt=2e'(t-1)+C=2e/×(/x-1)+C解法二[evxdx=[e/d(/x)?=2[/xevxd/x=2] VxdeVx =2/xevx-2[evxd/x=2/xeVx-2eVx+C=2e/x(/x-1)+C.eloloox目录上页下页返回结束

解法一 于是 解法二 例例1100求 e dx x  . 令xt2 , 则dx2tdt. e dx x  te dt e t C e x C t t x         2 2 ( 1) 2 ( 1) . e dx e d x xe d x x x x     ( )  2 2 xde xe e d x x x x    2  2 2 xe e C e x C x x x  2 2   2 ( 1) . e dx x  te dt e t C e x C t t x         e dx 2 2 ( 1) 2 ( 1) . x  te dt e t C e x C t t x         e dx 2 2 ( 1) 2 ( 1) . x  te dt e t C e x C t t x        2 2 ( 1) 2 ( 1) . e dx e d x xe d x x x x     ( )  2 2 e dx e d x xe d x x x x     ( )  2 2 xde xe e d x x x x    2  2 2 xe e C e x C x x x  2 2   2 ( 1) .              分部积分过程：uv dx udv uv vdu uv u vdx . 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法

分部积分法二、积分方法比较·第一换积分元法与分部积分法的比较第一步都是凑微分令(x)=u[ f[p(x)]p'(x)dx= [ f[p(x)]dp(x)f(u)du=...[u(x)v(x)dx=[ u(x)dv(x)=u(x)v(x)-[ v(x)du(x)=...注:在前者中(x)是以(x)为中间变量的复合函数，故用换元积分法在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量的复合函数，故用分部积分法0lldl0lx上页下页返回目录结束

在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量 的复合函数, 故用分部积分法. 在前者中f[(x)]是以(x)为中间变量 的复合函数, 故用换元积分法. 第一步都是凑微分 •第一换积分元法与分部积分法的比较 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( )         f u du x u f x x dx f x d x      令 , ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     u x v x dx u x dv x u x v x v x du x . ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( )         f u du x u f x x dx f x d x      令 , ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     u x v x dx u x dv x u x v x v x du x . 注： 二、积分方法比较 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法