沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.4 函数的单调性与极值

曲线的性态Z,即是极值点又是拐　点,y,922极大值点单调性发生变化的临界点极小值点拐点凹凸性发生变化的临界点

曲线的性态 极大值点 极小值点 拐 点

投票07设置最多可选4项通过刚刚的分析猜一猜：判单调性可能发生变化的临界点（极值点)断哪些点？端点函数值为零的点B一阶导数为零的点 (驻点）一阶导数不存在的点D提交

通过刚刚的分析猜一猜： 单调性可能发生变化的临界点（极值点）判 断哪些点？ 端点 函数值为零的点 一阶导数为零的点（驻点） 一阶导数不存在的点 A B C D 提交 投票 最多可选4项

投票07设置最多可选4项通过刚刚的分析猜一猜：单调性发生变化的临界点（极值点）一定不会是哪些点？端点最值点B一阶导数为零的点 (驻点）一阶导数不存在的点D提交

通过刚刚的分析猜一猜： 单调性发生变化的临界点（极值点）一定不 会是哪些点？ 端点 最值点 一阶导数为零的点（驻点） 一阶导数不存在的点 A B C D 提交 投票 最多可选4项

极值的哲学启迪盛极而衰，否（pi）极泰来中国古典哲学过犹不及，物极必反：乐极生悲，居安思危。自然界和社会发展的普遍规律：好的事情到了极致就会向坏的方向转化，而坏的事情到了极致也会向好的方向转化。不论顺境亦或逆境，保持良好心态！顺境时做好遇到挫折的准备，逆境时学会忍耐、垫伏！

极值的哲学启迪  p     中国古典哲学 过犹不及，物极必反； 乐极生悲，居安思 盛极而衰，否（ ǐ）极 危。 泰来； 自然界和社会发展的普遍规律： 好的事情到了极致就会向坏的方向转化，而坏的事 情到了极致也会向好的方向转化。不论顺境亦或逆 境，保持良好心态！顺境时做好遇到挫折的准备， 逆境时学会忍耐、蛰伏！

曲线的性态Z,分92单调性：升降趋势两性凹凸性：弯曲方向三个定义：极值点、拐点、凹凸性任务两个必要条件：极值点、拐点六个充分条件：单调性、凹凸性、极值、拐点

曲线的性态    单调性：升降趋势 两性 凹凸性：弯曲方向      三个定义：极值点、拐点、凹凸性 任务 两个必要条件：极值点、拐点 六个充分条件：单调性、凹凸性、极值、拐点

83.4 i函数的单调性与极值函数单调性的判定法二、函数极值的判定法三、最值的求法

§3.4 函数的单调性与极值 一 、函数单调性的判定法 三、最值的求法 二、函数极值的判定法

函数单调性的判定法1J=/(x)f'(x)>0f'(x)<0ObxaC

f (x)>0 f (x)<0 一、 函数单调性的判定法

函数单调性的判定法定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，f'(x)>0(f'(x)0，xI,任取 Xi,X,EI (x,05e(xi,x,)故 f(x)<f(x,).这说明 f(x)在I内单调递增证毕

一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 f (x) 若f (x) > 0 ( f (x) 0, x  I,任取 1 2 1 2 x , x  I (x 0 故 1 2 f (x ) < f ( x ). 这说明 在 I 内单调递增. f (x) 在开区间 I 内可导, 证毕

例1.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间解：定义域为(-0,+)f'(x) = 6x2 -18x +12 = 6(x -1)(x - 2)令 f'(x)=0,得 x=1,x=2(1, 2)12(-80, 1)(2, + 80)x0+0+f'(x)21f(x)Z2故f(x)的单调增区间为(-,1),(2,+);f(x)的单调减区间为(1,2)012X

例1. 确定函数 3 2 f (x)  2x  9x  12x  3 的单调区间. 解: 2 f (x)  6x 18x  12  6( x  1)( x  2) 令 f (x)  0 , 得 x  1, x  2 x f (x) f (x) ( , 1) 2 0 0 1 (1 , 2) (2,  )    2 1 故 f (x) 的单调增区间为 ( , 1), (2,  ); f (x) 的单调减区间为 (1 , 2). 1 2 O x y 1 2 定义域为 ( ,  )

例2讨论函数V=3/x2 的单调性解 函数的定义域为(一80,+80),2(x0)，函数在x=0处不可导33/x因为x0时，y'>0,所以函数在[0,+8)上单调增加y701x

解 函数的定义域为( ) 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 )上单调增加 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单调减少 例例32 讨论函数 3 2 y  x 的单调性 3 3 2 x y   (x0) 函数在 x0 处不可导