沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第4章 不定积分 4.1 不定积分的概念与性质

第四章不定积分taknagihonahontnnnnan微分法：F(x)=（？）互逆运算积分法：（？）=f(x)

第四章 不定积分 微分法: F(x)  ( ? ) 积分法: ( ? )  f (x) 互逆运算

8 4.1不定积分的概念与性质iocichnonincnahcnitenin原函数与不定积分的概念基本积分表二、三、不定积分的性质0000x小结与作业练习题原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质上页下页返回结束目录

§4.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 目录 上页 下页 返回 结束 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结与作业 练习题

不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念心原函数的概念如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为(x)，即对任一xEI,都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或(x)dx)在区间I上的原函数·原函数举例因为(sinx)=cos x，所以sin x是cos x的原函数 所以√x是因为(Vx)=的原函数2/x2Vx0l0l0l0lx小结与作业练习题原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质目录上页下页返回结束

一、原函数与不定积分的概念 v原函数的概念 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对 任一xI, 都有 F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. •原函数举例 因为(sin x) cos x , 所以sin x是cos x的原函数. 因为 x x 2 1 ( )  , 所以 x 是 2 x 1 因为 的原函数. x x 2 1 ( )  , 所以 x 是 2 x 1 的原函数. 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结与作业 练习题

不定积分的概念与性质一原函数与不定积分的概念1提问：cosx和还有其它原函数吗？2V/x研究原函数，必须解决下面两个问题：（1）在什么条件下一个函数的原函数存在？如果存在是否只有一个？(2) 若已知某函数的原函数存在，怎样将它们求来？e0l0lx小结与作业练习题原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质上页下页目录返回结束

一、原函数与不定积分的概念 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结与作业 练习题 研究原函数，必须解决下面两个问题： （1）在什么条件下一个函数的原函数存在？如果存在， 是否只有一个？ （2）若已知某函数的原函数存在，怎样将它们求来？ 提问：cos x 和 2 x 1 还有其它原函数吗？

下定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念1、心原函数存在定理如果函数(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一xEI都有F'(x)=f(x).简言之：连连续函数一定有原函数(1）若F'(x)=f(x)，则对于任意常数C，两点说明F(x)+C都是f(x)的原函数(2）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数则 F(x)-G(x)=C（C为任意常数）elolol0lx练习题原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质小结与作业目录上页下页返回结束

v原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可 导函数F(x), 使对任一xI 都有 F (x)f(x). 两 点 说 明一、原函数与不定积分的概念 简言之：连续函数一定有原函数. （1）若F(x)  f (x) ，则对于任意常数 C ， F( x)  C 都是 f ( x)的原函数. （2）若F(x)和G(x)都是 f (x) 的原函数， 则 F(x)  G(x)  C （C为任意常数） 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结与作业 练习题

练习·若f(x)的一个原函数是x3，则f(x)的导数等于（）.2./x是（）的一个原函数3.设曲线通过点（1，2），月其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，则此曲线方程为（

练习1. 2. 3

不定积分的概忘与性质、原函数与不定积分的概念不定积分的定义：在区间I内,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I内的不定积分，记为f(x)dx .f(x)dx= F(x)+C被积表达式任意常数被积函数积分号积分变量elolololx小结与作业练习题原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质上页下页目录返回结束

一、原函数与不定积分的概念 任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分的定义： 在区间I内，  f (x)dx 被  F(x)  C 积 表 达 式 积 分 变 量 称为 f (x)在区间I内的  f (x)dx . 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结与作业 练习题

定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念一、如果F(x)是(x)的一个原函数,则「f(x)dx=F(x)+C例1因为sin x是cos x的原函数，所以Icosxdx=sinx+C.因为/x是的原函数，所以2Vxdx=/x +C.lool0l基本积分表小结与作业练习题原函数与不定积分的概念不定积分的性质上页下页目录返回结束

例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 如果F(x)是f(x)的一个原函数,则  f (x)dx  F(x)C . cosxdx sin xC . 因为 x 是 2 x 1 的原函数, 所以 dx x C x    2 1 . 一、原函数与不定积分的概念 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结与作业 练习题

定积分的概与性质原函数与不定积分的概念I、例2 求函数 f(x)=:的不定积分，x解当x>0 时，(ln x)"=x[- dx=ln x+C (x>0);x当 x<0 时，[ln(-x)]'=-xA[- dx=ln(-x)+C (x<0).r合并上面两式，得到dx=ln|x|+C (x#0)xell0l0lx小结与作业练习题原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质目录上页下页返回结束

解：当 x>0 时, (ln x) x 1  , 例 2. 求函数 x f x 1 例2 ( ) 的不定积分. 合并上面两式, 得到 解 dx x C x    ln 1 (x>0) 当 x<0 时, [ln(x)] x x 1 ( 1) 1      , dx x C x     ln( ) 1 (x<0). dx x C x    ln| | 1 (x0). 一、原函数与不定积分的概念 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结与作业 练习题

定积分的概与性质一、原函数与不定积分的概念例3设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程解设所求的曲线方程为y=(x),则曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为y'=f'(x)=2x,即(x)是2x的一个原函数.因为[2xdx = x? +C ,故必有某个常数C使(x)=x2+C，即曲线方程为y=x2+C.因所求曲线通过点(1,2)，故2=1+C, C=1.于是所求曲线方程为y=x2+1.eloloox基本积分表不定积分的性质练习题原函数与不定积分的概念小结与作业目录上页下页返回结束

例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为yf(x), 则曲线上任一点(x, y) 处的切线斜率为 y f (x)2x, 即f(x)是2x 的一个原函数. 故必有某个常数C使f(x)x 2C, 即曲线方程为yx 2C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故 21C, C1. 于是所求曲线方程为yx 21. 因为  xdx  x C 2 2 , 一、原函数与不定积分的概念 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结与作业 练习题