沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第6章 线性空间 6.6 子空间的交与和

6. 6 子空间的交与和2

§6.6 子空间的交与和 2

86.6子空间的交与和第六章线性空间预习问题1.子空间的交空间与和空间的定义？2.子空间的交空间与和空间的求法3.维数公式4、“集合的交与并”与“子空间的交与和”5.子空间的并是子空间吗？3

3 预习问题 1.子空间的交空间与和空间的定义？ 第六章 线性空间 §6.6 子空间的交与和 3.维数公式 2.子空间的交空间与和空间的求法 4.“集合的交与并”与“子空间的交与和” 5.子空间的并是子空间吗？

S6.6子空间的交与和第六章线性空间一、子空间的交1、2个子空间的交定理5如果V1，V2是线性空间V的两个子空间，那么它们的交Vi n V2也是V的子空间证明：因为eEW,nW2，所以W,nW,#①.设a,βEW,nW2'则α，βEW，i=l，2．因为W,是子空间，所以α+βEW;kaEW,, VkEF; i=l,2.于是a+βEW,nW2,kaEW,nWz,VkEF.因此,W,nW,是V的子空间

4 第六章 线性空间 §6.6 子空间的交与和 一、子空间的交 1、2个子空间的交 定理5 如果𝐕𝟏,𝐕𝟐是线性空间𝐕的两个子空间，那么它们的交 𝐕𝟏 ∩ 𝐕𝟐也是𝐕的子空间. 证明：因为∈W1∩W2，所以W1∩W2≠． 设α，β∈W1∩W2， 则α，β∈Wi，i=1，2．因为Wi是子空间，所以α+β∈Wi； kα∈Wi，k∈F；i=1,2． 于是α+β∈W1∩W2，kα∈W1∩W2，k∈F．因此，W1∩W2是 V的子空间．

86.6子空间的交与和第六章线性空间一、子空间的交2、子空间的交满足的运算律由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：V1 n V2 = V2 n V1 (交换律),(VinV2)nV3=Vin(V2nV3)（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的交：VinV2 n...nV, = Ui-1 Vi它也是子空间5

5 第六章 线性空间 §6.6 子空间的交与和 一、子空间的交 2、子空间的交满足的运算律 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律： 𝑽𝟏 ∩ 𝑽𝟐 = 𝑽𝟐 ∩ 𝑽𝟏 (交换律)， (𝑽𝟏 ∩ 𝑽𝟐) ∩ 𝑽𝟑 = 𝑽𝟏 ∩ (𝑽𝟐 ∩ 𝑽𝟑)（结合律）. 由结合律，可以定义多个子空间的交： ��=��ڂ = �𝑽� ∩ ⋯ ∩ �𝑽� ∩ �𝑽� 𝒔 𝑽𝒊, 它也是子空间

启示集合的交与子空间的交定义联系紧密，体现了“事物普遍联系”的哲学思想

6 启示 集合的交与子空间的交定义联系紧密，体现了“事物普遍 联系”的哲学思想

86.6子空间的交与和第六章线性空间二、子空间的和1、定义8设Vi,V,是线性空间V的子空间，所谓V,与V,的和，是指由所有能表示成α1+α2,而α1EV,α2EV2的向量组成的子集合，记作V1+V2定理6如果V,V2是线性空间V的子空间，那么它们的和Vi+Vz也是V的子空间证首先V+Vz显然是非空的集合。其次在V+V,中任取两个向量α，β，可设α=α1+α2'β=β1 +β2'其中α1，6iEV1，α2，6,EV2，则α+β= (α1+β1)+ (α2+β2)由于Vi,V2是线性空间V的子空间，所以α1+β1 EVi，α2+β2EV2,从而a+βEVi+V2

第六章 线性空间 §6.6 子空间的交与和 二、子空间的和 1、定义8 设𝑉1,𝑉2是线性空间𝑉的子空间，所谓𝑉1与𝑉2的和，是 指由所有能表示成𝛼1 + 𝛼2,而𝛼1 ∈ 𝑉1, 𝛼2 ∈ 𝑉2的向量组成的子集 合，记作𝑉1 + 𝑉2. 定理6 如果𝑉1,𝑉2是线性空间𝑉的子空间，那么它们的和𝑉1 + 𝑉2 也是𝑉的子空间. 证 首先𝑉1 + 𝑉2显然是非空的集合。 其次在𝑉1 + 𝑉2中任取两个向量α，β，可设 𝛼 = 𝛼1 + 𝛼2， 𝛽 = 𝛽1 + 𝛽2， 其中α1，β1∈𝑽𝟏，α2，β2∈𝑽𝟐，则 𝜶 + 𝜷 = (𝜶 ) 𝟏 + 𝜷𝟏) + (𝜶𝟐 + 𝜷𝟐 由于𝑉1,𝑉2是线性空间𝑉的子空间，所以𝜶𝟏 + 𝜷𝟏 ∈𝑉1， 𝜶𝟐 + 𝜷𝟐 ∈𝑉2，从而α+β∈𝑉1 + 𝑉2．

$6.6子空间的交与和第六章线性空间同样kα=kα1+kα2EV1+V2.因此V1+V2也是V的子空间.由定义有，子空间的和适合下列运算规律：Vi + V2 = V2 + Vi (交换律),(Vi + V2)+ V3 = Vi +(V2 + V3)（结合律）、2、多个子空间的和V1 + V2 + ... + Vs = Zi=1 Vi它是由所有表示成α1 + α2 +..+ αs,αi E Vi(i= 1,2,..,s)的向量组成的子空间

第六章 线性空间 §6.6 子空间的交与和 同样𝒌𝜶 = 𝒌𝜶𝟏 + 𝒌𝜶𝟐 ∈ 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐．因此𝑽𝟏 + 𝑽𝟐也是𝑉的子空间. 由定义有，子空间的和适合下列运算规律： 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉2 + 𝑉1 (交换律)， (𝑉1 + 𝑉2) + 𝑉3 = 𝑉1 + (𝑉2 + 𝑉3)（结合律）. 2、多个子空间的和 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 + ⋯ + 𝑽𝒔 = σ𝒊=𝟏 𝒔 𝑽𝒊. 它是由所有表示成 𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 + ⋯ + 𝜶𝒔 ,𝜶𝒊 ∈ 𝑽𝒊(𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒔) 的向量组成的子空间

$6.6子空间的交与和第六章线性空间三、关于子空间的交与和有以下结论：1.设V,V,W都是子空间，那么由WCV与WCV,可推出W Vi n V2;而由W Vi与W V2可推出W Vi+ V22．对于子空间V,与V2，以下三个论断是等价的：1) Vi C V2;2) Vi n V2 = V1;3) V1 + V2 = V2

第六章 线性空间 §6.6 子空间的交与和 三、关于子空间的交与和有以下结论： 1. 设𝑉1, 𝑉2, 𝑊都是子空间，那么由𝑊 ⊂ 𝑉1与𝑊 ⊂ 𝑉2可推出 𝑊 ⊂ 𝑉1 ∩ 𝑉2；而由𝑊 ⊃ 𝑉1与𝑊 ⊃ 𝑉2可推出𝑊 ⊃ 𝑉1 + 𝑉2. 2. 对于子空间𝑉1与𝑉2，以下三个论断是等价的： 1）𝑉1 ⊂ 𝑉2; 2) 𝑉1 ∩ 𝑉2 = 𝑉1; 3)𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉2

例1在三维几何中用V，表示一条通过原点的直线，V，表示一张通过原点而且与V垂直的平面，那么，V与V,的交是o，而V与V,的和是整个空间.←V

V3 v1 V2 V3 v1 V2 V3 v1 V2

例2在线性空间P"中，用V与V分别表示齐次方程组aiixi+ai2x2+.+anxn=0a21xj+a2x2+..+a2nn=0,asix+as2x2+...+asm,=0与bxi+b2x2+..+binxn=0,b2ilj+b22x2+...+b2nx,=0,buxi+b2x+...+bmx,=0的解空间，那么V.nV，就是齐次方程组a,+a2x2++anx,=0,as+as2x2+..+asnx=0,b+bi2x+...+binxn=0,bnx+b22+.+bmx,=0的解空间11

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