沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第9章 欧氏空间 9.1 定义与基本性质

第9章欧氏空间

第9章 欧氏空间

欧几里得的故事如果要问，古往今来，在浩如烟海的科学著作中，发行最广，沿用时间最长的书是哪一部？肯定的回答是：欧几里得的>。欧几里得简介欧几里得把毕生的精力献给了科学事业，他一生刻苦钻研，治学严谨，他在科学事业上的伟大成就，正是通过自己的辛勤劳动换来的。因此，他始终反对那种不想付出辛勤劳动，而指望通过走捷径、投机取巧来取得成绩的治学态度。欧几里得，古希腊嫩学家公元前330年~275年：被称为几何之父

欧几里得简介 如果要问，古往今来，在浩如烟海的科学著作中，发行最广、 沿用时间最长的书是哪一部?肯定的回答是：欧几里得的>。 欧几里得的故事 欧几里得把毕生的精力献给了科学 事业，他一生刻苦钻研，治学严谨，他 在科学事业上的伟大成就，正是通过自 己的辛勤劳动换来的。因此，他始终反 对那种不想付出辛勤劳动，而指望通过 走捷径、投机取巧来取得成绩的治学态 度

发展简史001《几何原本》是欧几里得利用公理【吉希籍】歌儿服得/器儿何原本化的方法对当时的数学知识进行了系建空调我字最失利限通统化、公理化的总结，形成了演绎数Euclid'sElements物图全本学的公理化体系

《几何原本》是欧几里得利用公理 化的方法对当时的数学知识进行了系 统化、公理化的总结，形成了演绎数 学的公理化体系

S9.1 定义与基本性质

§9.1 定义与基本性质 5

概念引入物理学上力F所做之功：CFW=SFcos0空间解析中，矢量的数Fcoso量积一般表示：E,nEV31) E,n均不为0: n=llm/cosER;2）或n为0：规定n=0E.n15[=E-5, cOs=且有性质Ie/ Inl(1) n=n5; (2)(ε +n) s =Ss+ns;;(3)(a)n=a(En)由数量积最本质的属性出发，采用公理化方法在线性空间中引入内积概念，从而建立欧几里得几何的基本特征

概念引入 • 物理学上力F所做之功： W=SFcosθ F • 空间解析中, 矢量的数 量积一般表示：ξ,η∈V3 Fcosθ 1) ξ,η均不为0：ξη=|ξ||η|cos∈R； 2) ξ或η为0：规定ξη=0. • → 由数量积最本质的属性出发，采用公理化方法在线性空 间中引入内积概念，从而建立欧几里得几何的基本特征. , cos , , 1 2 3 ( ) ( ) a a                     =   =   = + = + = 质 ( ) ；( ) ( ) ；( ) 且有性 Θ

s9.1定义与基本性质第九章欧氏空间一、欧几里得空间的定义定义1V是R上的线性空间，V上定义二元实值函数，称为内积，是指对任意的α,β,EV，对任意的kER，存在唯一的(α,β)ER, 使得1) (α,β) =(β,α);2) (ka,β) = k(α,β3) (α+β,) = (α,) + (β,)4)(α,α)≥0 ，并且α=0 当且仅当 (α,α)=0这时，称V是欧几里得空间公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称为恒正性对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功）的基本属性在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念，这均为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的，故称为欧氏空间

公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称为恒正性 对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功）的基本属性. 定义1 V是R上的线性空间，V上定义二元实值函数，称为 内积，是指对任意的α,β,γ∈V，对任意的k∈R, 存在唯 一的(α,β)∈R, 使得 1) (α,β) = (β,α)； 2) (kα,β) = k(α,β) 3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ) 4) (α,α)≥0 ，并且α = 0 当且仅当 (α,α) = 0 这时，称V是欧几里得空间. 在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念，这均 为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的，故称为欧氏空间. 一、欧几里得空间的定义 第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质

89.1定义与基本性质第九章欧氏空间例1 R"中，对任意的=(，,x,),n=(y,",y,)ER",规定（,n）=X,yi+＋X,yn’则R"对此构成欧氏空间证明：显然(S,n)ER,且具唯一性对任意的,n,ER",kER,1) (E,n)=xiyi+ : : : +xnyn=yixi+: + y,x, =(n,).2) (kE,n)=kxiyi+ : : . +kxny,=k(xiyi+ : : +xny)= k (S,n) .3)($+n, S)=(xi+yi)z,+ · . · +(x,+yn)z,=(xiz)+ . . . +xnzn)+(yizi + : : · +ynZn)=(S,S)+(n,S).4)(S,F)=x,2 +···+x,2≥0.而E=0 当且仅当=X,= 0 当且仅当(,F)= x,2 + ···+x,2=0.X =X =故R"关于（En）构成一个欧氏空间

例1 Rn中，对任意的ξ= (x1 , ···, xn ), η= (y1 ,···, yn )∈Rn , 规定 (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn , 则Rn 对此构成欧氏空间. 证明：显然(ξ,η)∈R, 且具唯一性. 对任意的ξ,η,ζ∈Rn , k∈R, 1) (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn = y1x1 + ··· + ynxn = (η,ξ). 2) (kξ,η) = kx1y1 + ··· +k xnyn = k(x1y1 + ··· + xnyn ) = k (ξ,η) . 3) (ξ+η, ζ) = (x1+ y1 )z1 + ··· + (xn+yn )zn = (x1 z1+ ··· + xn zn ) + (y1 z1 + ··· + yn zn ) = (ξ,ζ) + (η,ζ). 4) (ξ,ξ) = x1 2 + ··· + xn 2≥0 . 而 ξ= 0 当且仅当 x1 = x2 = ··· = xn = 0 当且仅当 (ξ,ξ) = x1 2 + ··· + xn 2 = 0. 故 Rn 关于 (ξ,η) 构成一个欧氏空间. □ 第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质

S9.1定义与基本性质第九章欧氏空间例2C(a，b)=（定义在[a，b]上的实值连续函数?关于如下规定的二元函数构成R上的欧氏空间对任意的f(x), g(x) EC(a, b), (f(x),g(x)= [~ f(x)g(x)dx证明分析：根据定积分的性质，易证欧氏空间定义中4条公理成立，故C(a,b)关于（f, g）构成欧氏空间.注：R[xl,R[xl关于如上定义的（f,g）也构成欧氏空间

例2 C(a, b) = {定义在[a, b]上的实值连续函数}关于如下规 定的二元函数构成R上的欧氏空间. 对任意的f(x), g(x)∈C(a, b), 证明分析： 根据定积分的性质，易证欧氏空间定义中4条 公理成立，故C(a, b)关于（f, g）构成欧氏空间. 注： R[x], R[x]n 关于如上定义的（f, g）也构成欧氏空 间. ( ( ), ( )) ( ) ( ) b a f x g x f x g x dx =  第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质

S9.1定义与基本性质第九章欧氏空间基本性质5(α, kβ) = k(α, β)(α, kβ) = (kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) (α,β+y) = (α,β) + (α,y)(α,β+) = (β+,α) =(β,α) + (,α)= (α,β) + (α,)(0,α)=(α,0)=0 （对任意的αEV)(0,α) = (0 : 0,α) = 0, (0,α) = 0 = (α,0)8）对任意的βEV，(αβ)=0，则α=0取β=α， 则(α,α)= 0,据公理4得α= 0、9)(a,α, b,β,)=ab,(α, β,)

二 基本性质 5） (α, kβ) = k(α, β) 1 1 1 1 ( , ) ( , ) r s r s i i j j i j i j i j i j a b a b     = = = =    = 第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质 ◆ (α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) . 6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ) ◆ (α,β+γ) = (β+γ,α) = 7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的α∈V ) (β,α) + (γ,α) = (α,β) + (α,γ) . ◆ (0,α) = (0·0,α) = 0, (0,α) = 0 = (α,0) . 8) 对任意的β∈V，(αβ) = 0, 则α= 0 取β=α, 则 (α,α) = 0, 据公理4得α= 0 . 9)

(2a,α, Zb,β,) =(2a,αa, b,β+b,β +b,β,)i=li=lj=l(2a,α, bβ )+(Za,αa, b,β, )+(a,α,b,β)i-li-li-l= (aαi, bβ)+(a,α2, bβ)+.+(aαr, bβ) → Z(a,α, bβ)=a,b(α, β)+(aαi, b,β2)+(aα2, b,β)+.+(a,αr, b,β)-Z(aα, b,β)=Zab,(α, B)i=l↓+(aα, b,β,)+(a,, b,β,)+.+(aα, b,β) Z(aa, b,β,)=ab,(α, β)i=li=lZab(α, β)+Zab,(α, β,)++Za,b,(α, β)=ab,(α, β,)i-1i=li=lj-l i=lZab,(α, β,),i=l j-l