沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第7章 线性变换 7.6 线性变换的值域与核

S7.6线性变换的值域与核2

§7.6线性变换的值域与核 2

预习问题1.线性变换的值域与核的定义2.线性变换的秩与零度的定义

3 预习问题 1.线性变换的值域与核的定义 2.线性变换的秩与零度的定义

S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换引入概念定义6(ELV)的值域V=EV;的核α -1(0) =[ = 0,FEV),也将&的值域和核表示为&V = Im.&,& -1(O) =Ker&VV/ -1(0)NO

一、 引入概念 定义6 A (∈L(V)) 的值域 A V = { Aξ| ξ∈V}；A 的 核 A －1 (0) = {ξ| Aξ= 0,ξ∈V}. ➢ 也将A 的值域和核表示为： A V = ImA , A －1 (0) = KerA . v A V 0 A V A －1 (0) 第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核

S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换线性变换的值域与核都是V的子空间&V的维数称为的秩，&-1(O)的维数称为的零度

第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 线性变换的值域与核都是𝑽的子空间. A V的维数称为A的秩，A －1 (0)的维数称为A的零度

S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换&αV，α-1(0)是 V 的子空间证明：对任意的&α，βEV,α+β= & (α+β), k&α=& (kα)E& V,且αV非空，故&V是V的子空间对任意的α,βEα -1(O)→ &α=β=0 —→(α+β)=α+β=0, (ka)= kα= 0→α+β，kαE-1(0)，且 -1(0)非空，故α-1(0)是V的子空间称dim&V为&的秩，dim-l(）为&的零度

➢ 称dimA V为A 的秩，dimA －1 (0) 为A 的零度. ➢ A V , A －1 (0) 是 V 的子空间. 证明： 对任意的A α，A β∈A V， 第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 A α+A β= A (α+β)， 对任意的α,β∈A －1 (0) → A α=A β= 0 → kA α= A (kα)∈A V， 且A V非空，故A V是V的子空间. A (α+β) =A α+A β= 0，A (kα)= kA α= 0 → α+β， kα∈A －1 (0) , 且 A －1 (0) 非空，故A －1 (0) 是V的子空间. □

S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换例1在线性空间P[xln中，令D(f(x)) = f'(x)则の 的值域就是P[x]n-1，① 的核就是子空间P.定理10设A是n维线性空间V的线性变换，E1,&2，…,En是V的一组基，在这组基下A的矩阵是A，则1）A的值域AV是由基像组生成的子空间，即AV =L(AE1, A&2, ""-, Aen)2）A的秩=A的秩(L(8), ,En)) = L(vE1, "", vE)

第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 例1 在线性空间𝑷[𝒙]𝒏中，令 D(𝒇(𝒙)) = 𝒇 ′ (𝒙) 则D 的值域就是𝑷[𝒙]𝒏−𝟏，D 的核就是子空间𝑷. 定理10 设A是𝑛维线性空间𝑉的线性变换，𝜀1, 𝜀2, ⋯ , 𝜀𝑛 是𝑉的一组基，在这组基下A的矩阵是𝐴，则 1） A的值域A𝑽是由基像组生成的子空间，即 A𝑽 =𝑳(𝑨𝜺𝟏,𝑨𝜺𝟐, ⋯ , 𝑨𝜺𝒏) 2） A的秩=𝐴的秩. ➢ A（L(ε1 , ···,εn )）= L(A ε1 , ···, A εn )

97.6线性变换的值域与核第七章线性变换证明1）设是V中任一向量，可用基的线性组合表示为=X1E1 +X2&2+...+xnEnA=XiAE1+X2A&2+..+XnAenAEL (A1, A&2, ..., An)AV包含在L（A1，A&2，…"，An）这个式子还表明基像组的线性组合还是一个像，因此L（Aε1，A&2，…，Aen)包含在AV内，这样AV=L（A&1，A&2，…., Aen)

第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 证明 1) 设𝜉是V中任一向量，可用基的线性组合表示为 𝜉 = 𝑥1𝜀1 + 𝑥2𝜀2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝜀𝑛 A𝜉 = 𝑥1𝐴𝜀1 + 𝑥2𝐴𝜀2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝐴𝜀𝑛 A𝜉 ∈ 𝐿（𝐴𝜀1，𝐴𝜀2，⋯ ，𝐴𝜀𝑛) AV包含在𝐿（𝐴𝜀1，𝐴𝜀2，⋯，𝐴𝜀𝑛) 这个式子还表明基像组的线性组合还是一个像，因此𝐿（𝐴𝜀1 ，𝐴𝜀2，⋯，𝐴𝜀𝑛) 包含在 AV 内 ， 这 样 AV = 𝐿（𝐴𝜀1，𝐴𝜀2，⋯ ，𝐴𝜀𝑛)

S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换2)根据1），A的秩等于基像组的秩，另一方面，矩阵A是由基像组的坐标按列排成的。若在n维线性空间V中取定了一组基之后，把V的每一个向量与它的坐标对应起来，我们就得到V到pn的同构对应。同构对应保持向量组的一切线性关系，因此基像组与它们的坐标组（即矩阵A的列向量组）有相同的秩。注：定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变

第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 2)根据1），A的秩等于基像组的秩，另一方面，矩阵A是 由基像组的坐标按列排成的。 若在n维线性空间V中取定了一组基之后，把V的每一个向量 与它的坐标对应起来，我们就得到V到𝑃 𝑛的同构对应。 同构对应保持向量组的一切线性关系，因此基像组与它们 的坐标组（即矩阵A的列向量组）有相同的秩。 注：定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变

S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换定理11设A是n维线性空间V的线性变换，则AV的一组基的原像及A一1(O)的一组基合起来就是V的一组基.由此还有A的秩+A的零度=n证明设AV的一组基为n1,n2,,nr，它们的原像为1,&2…,&r，A8; = ni,i = 1,2,.…,r。 又取A-1(0)的一组基&r+1,&r+2,",&s,现在来证ε1,E2,,&r，&r+1,&r+2,…,&s为V的基。如果有le1 + .. + lrer + lr+1er+1 + ...+lses = 0用A去变换它的两端的向量，则lA&1 + ...+ lrAr + lr+1Aer+1 + ...+ lsAes = A0 = 0因er+1,Er+2,,&,属于A-1(0)，故A&r+1=….=A8s=0又A&=ni=1,2,r。由上式即得lin1+l2n2+.+lrnr=0

定理11 设A是𝒏维线性空间𝑽的线性变换，则A𝑽的一组基的 原像及A－1 (0)的一组基合起来就是𝑉的一组基.由此还有 A的秩+A的零度=𝒏 第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 证明 设AV的一组基为𝜂1, 𝜂2, ⋯ , 𝜂𝑟，它们的原像为𝜀1, 𝜀2, ⋯ , 𝜀𝑟， A𝜺𝒊 = 𝜼𝒊 ,𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒓。又取A－1 (0)的一组基𝜀𝑟+1, 𝜀𝑟+2, ⋯ , 𝜀𝑠， 现在来证𝜀1, 𝜀2, ⋯ , 𝜀𝑟，𝜀𝑟+1, 𝜀𝑟+2, ⋯ , 𝜀𝑠为V的基。如果有 𝑙1𝜀1 + ⋯ + 𝑙𝑟𝜀𝑟 + 𝑙𝑟+1𝜀𝑟+1 + ⋯ + 𝑙𝑠𝜀𝑠 = 0 用A去变换它的两端的向量，则 𝑙1A𝜀1 + ⋯ + 𝑙𝑟A𝜀𝑟 + 𝑙𝑟+1A𝜀𝑟+1 + ⋯ + 𝑙𝑠A𝜀𝑠 = A0 = 0 因𝜀𝑟+1, 𝜀𝑟+2, ⋯ , 𝜀𝑠属于A－1 (0) ，故A𝜀𝑟+1 = ⋯ = A𝜀𝑠 = 0 又A 𝜀𝑖 = 𝜂𝑖 , 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑟。由上式即得 𝑙1𝜂1 + 𝑙2𝜂2 + ⋯ + 𝑙𝑟𝜂𝑟 = 0

S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换但n1,n2,…,nr是线性无关的，有l=l2=…=lr=0于是lr+1&r+1 + ... + ls&s = 0。&r+1,&r+2,…,&s又是A-1(0)的基也线性无关，就有lr+1=…=ls = 0。这证明了ε1,2,,&r，Er+1,&r+2,,&,是线性无关的。再证V的任一向量α是&1,&2,,r，Er+1,&r+2,…,es的线性组合，由n1=A1，…，nr=Ar是AV的基，就有一组数l，…，l使Aα = lA1 +... + lAer = A(le +..+ lrer)于是A(α - l11 -... - lrer) = 0, 即α - l1E1 - ... - lr&r E A-1(0)。Er+1,&r+2,,&s又是A-1的基

第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 但𝜂1, 𝜂2, ⋯ , 𝜂𝑟是线性无关的，有𝑙1 = 𝑙2 = ⋯ = 𝑙𝑟 = 0 于是𝑙𝑟+1𝜀𝑟+1 + ⋯ + 𝑙𝑠𝜀𝑠 = 0。 𝜀𝑟+1, 𝜀𝑟+2, ⋯ , 𝜀𝑠又是A－1 (0)的基也线性无关，就有𝑙𝑟+1 = ⋯ = 𝑙𝑠 = 0。 这证明了𝜀1, 𝜀2, ⋯ , 𝜀𝑟，𝜀𝑟+1, 𝜀𝑟+2, ⋯ , 𝜀𝑠是线性无关的。 再证V的任一向量𝛼是𝜀1, 𝜀2, ⋯ , 𝜀𝑟，𝜀𝑟+1, 𝜀𝑟+2, ⋯ , 𝜀𝑠的线性组 合， 由𝜂1 = A𝜀1， ⋯，𝜂𝑟 = A𝜀𝑟是A V的基，就有一组数𝑙1，⋯ ，𝑙𝑟 使A𝛼 = 𝑙1A𝜀1 + ⋯ + 𝑙𝑟A𝜀𝑟 = A 𝑙1𝜀1 + ⋯ + 𝑙𝑟𝜀𝑟 于是A 𝛼 − 𝑙1𝜀1 − ⋯ − 𝑙𝑟𝜀𝑟 = 0，即𝛼 − 𝑙1𝜀1 − ⋯ − 𝑙𝑟𝜀𝑟 ∈ A −1 0 。 𝜀𝑟+1, 𝜀𝑟+2, ⋯ , 𝜀𝑠又是A −1的基