沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程授课教案（讲义）第五章 大数定律与中心极限定理

第五章大数定律与中心极限定理本章切比雪夫不等式1.内容2.三个大数定律3.两个中心极限定理提要依概率收敛切比雪夫大数定律大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律大数定律与中心极限定理本章知识林德伯格一列维中心极限定理结构中心极限定理棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理体系用切比雪夫不等式估算概率概率计算用中心极限定理近似计算概率重点各大数定律、中心极限定理的内容和应用。1.2.正态分布在近似计算中的应用。分析难点大数定律，中心极限定理的条件和应用。分析

第五章 大数定律与中心极限定理 本章 内容 提要 1． 切比雪夫不等式 2． 三个大数定律 3． 两个中心极限定理 本 章 知 识 结 构 体系 重点 分析 1. 各大数定律、 中心极限定理的内容和应用。 2. 正态分布在近似计算中的应用。 难点 分析 大数定律, 中心极限定理的条件和应用。 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 理 大数定律 依概率收敛 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦大数定律 中心极限定理 林德伯格－列维中心极限定理 棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理 概率计算 用切比雪夫不等式估算概率 用中心极限定理近似计算概率

第十九讲5.1大数定律本节一、切比雪夫不等式内容二、三个大数定律一一切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律提要教学目的了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律要求重点大数定律的内容和应用难点大数定律的条件和应用学时2学时与主要切比雪夫不等式15分钟内容三个大数定律65分钟时间小结及练习10分钟分配教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验总结

第十九讲 5.1 大数定律 本节 内容 提要 一、切比雪夫不等式 二、三个大数定律——切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律 教学 目的 要求 了解切比雪夫不等式， 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律 重点 大数定律的内容和应用 难点 大数定律的条件和应用 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 切比雪夫不等式 15 分钟 三个大数定律 65 分钟 小结及练习 10 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结

教学过程附 注引入人们在长期的实践中发现，事件发生的频率具有稳定性，也就是说随着试验次数的增多，事件发生的频率将稳定于一个确定的常数；对某个随机变量X进行大量的重复观测，所得到的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性。由于这类稳定性都是在对随机现象进行大量重复试验的条件下呈现出来的，因而反映这方面规律的定理就统称为大数定律在引入大数定律之前，我们先介绍一个重要的不等式一一切比雪夫不等式讲授新课设随机变量X的期望和方差均存在，则对任意ε>0，一、切比雪夫不等式有P(X-EX)≥6)≤ DY(1. 1)6等价形式为P(X-EXI1-DX(1. 2)6证明（仅证明X是连续型随机变量的情形）设X的概率密度函数为f(x)，则对任意ε>0,有P(IX-EX|≥8)=[f(x)dx[x-EX|≥8≤ (μ-EX)?f(x)dx2Ix-EX|≥6DX(r-EX)f(x)dx = -2切比雪夫不等式在理论上具有重要意义.它不但使大数定律的证明变得十分简练，同时也阐明了方差DX的本质.由切比雪夫不等式可以看出：DX越小，随机变量X取值于开区间（EX-6EX+ε)的概率就越大，这说明方差是一个反映随机变量的取值对其分布中心EX的集中程度的数量指标含义：对离散的、连续的随机变量都成立，连续的场合两个尾部概率之和有一个上界，与8,DX有关应用：对于方差存在的随机变量X，在其分布未知的情况下，我们还可以利用切比雪夫不等式粗略地估算X在以数学期望为中心的对称区间上的概率P(IX-EXKs).例1设随机变量X的数学期望EX=10，方差DX=0.04,利用切比雪夫不等式估计P9.2<X<11)的大小。解

教学过程 附 注 引入 人们在长期的实践中发现，事件发生的频率具有稳定性，也就是说随着试验次 数的增多，事件发生的频率将稳定于一个确定的常数；对某个随机变量 X 进行大量 的重复观测，所得到的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性.由于这类稳定性 都是在对随机现象进行大量重复试验的条件下呈现出来的，因而反映这方面规律的 定理就统称为大数定律. 在引入大数定律之前，我们先介绍一个重要的不等式——切比雪夫不等式. 讲授新课 一、切比雪夫不等式 设随机变量 X 的期望和方差均存在,则对任意   0 , 有   2 DX P X EX   −   (1.1) 等价形式为   2 1 DX P X EX   −   − (1.2) 证明 (仅证明 X 是连续型随机变量的情形) 设 X 的概率密度函数为 f (x) ,则对任意   0 ,有 P X EX  −    =  x−EX  f (x)dx  −  −    x EX f x dx x EX ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) DX x EX f x dx   + −  − =  . 切比雪夫不等式在理论上具有重要意义.它不但使大数定律的证明变得十分简 练,同时也阐明了方差 DX 的本质.由切比雪夫不等式可以看出： DX 越小，随机变 量 X 取值于开区间 ( , ) EX EX − +   的概率就越大，这说明方差是一个反映随机变 量的取值对其分布中心 EX 的集中程度的数量指标. 含义：对离散的、连续的随机变量都成立，连续的场合两个尾部概率之和有一 个上界，与  , DX 有关. 应用：对于方差存在的随机变量 X ，在其分布未知的情况下，我们还可以利用 切比雪夫不等式粗略地估算 X 在以数学期望为中心的对称区间上的概率 P X EX {| | } −   . 例 1 设随机变量 X 的数学期望 EX =10 ，方差 DX = 0.04, 利用切比雪夫不 等式估计 P X  9.2 11    的大小。 解

附 注教学过程P[ 9.20，有注：依概率收敛与高数中的收敛不lim P([,-aa中的收敛。1.定理1（（切比雪夫大数定律）设X,X,，,X是一个两两不相关的随机变量序列.若每个X,的方差都存在，且有共同的上界，即存在某一常数c>O，使DX, ≤c (i=1,2,..)则对任意ε>0，都有[2x,-2Ex,0,有

教学过程 附 注       2 9.2 11 0.8 10 1 0.04 10 0.8 1 0.9375. (0.8) P X P X P X   = −  −   −   − = 因而 P X  9.2 11    不会小于 0.9375. 二、三个大数定律 定义 1 设 Y1 ,Y2 , Yn ,  是一个随机变量序列, a 为常数.若对任意   0 , 有 lim 1  n  n P Y a  → −  = 则称随机变量序列 Yn  依概率收敛于 a ,记作 Y a P n ⎯→ . 1.定理 1 (切比雪夫大数定律) 设 X1 , X 2 ,  , X n ,  是一个两两不相关的随 机变量序列.若每个 Xi 的方差都存在,且有共同的上界,即存在某一常数 c  0 ,使 DX c i  ( i =1,2, ) 则对任意   0 ,都有 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n  → = =     −  =     注 切比雪夫大数定律只要求 X n  两两不相关,并不要求它们是同分布的.如 果 X n  是独立同分布的随机变量序列且方差有限,则 X n  必定服从大数定律. 切比雪夫大数定律说明:在定理的条件下,当 n 充分大时, n 个随机变量的算 术平均 = n i Xi n 1 1 依概率收敛于其期望的算术平均值 = n i EXi n 1 1 . 意义：从理论上肯定了取均值的合理性，是对当 n → 时， = n i EXi n 1 1 具有稳 定性的解释。 应用：对于满足定理条件的随机变量序列,我们可以用它的算术平均作为对其 期望平均值的一种估计. 定理 2(伯努利大数定律) 设 nA 是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次 数, p (0 1)   p 是事件 A 在每次试验中发生的概率.则对任意   0 ,有 注：依概率收敛 与高数中的收敛不 同在于它具有某种 不确定性，弱于高数 中的收敛

教学过程附 注limP-伯努利大数定律，是1，在第i次试验中事件A发生证明令X，i=1,2,...,n.[0，在第次试验中事件A不发生最早的一个大数定律，由伯努利1713X,，其中X,X,,…X,相互独立,且都服从参数为p的(0-1)分显然，n=年证明的。i=l布..1DX= p(1-p)≤所以i=1,2,..,n.EX =p,X由切比雪夫大数定律，有17x-1EX0,有Zx,-μ<8=1limP1→00nil辛钦大数定律意义：（1）从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性，(2）（对随机变量X独立重复地观察n次，记第i次观察值为X，，则X,X,,X，是相互独立的，且均与X同分布.因此，在EX存在的条件下，按照

教学过程 附 注 lim 1 A n n P p n  →     −  =   证明 令    = ， 在第 次试验中事件 不发生 在第 次试验中事件 发生 i A i A Xi 0 1, i = 1,2,  ,n . 显然, = = n i nA Xi 1 ,其中 X X Xn , , 1 2 相互独立,且都服从参数为 p 的 (0 −1) 分 布. 所以 EXi = p , 4 1 DX i = p(1− p)  , i = 1,2,  ,n . 由切比雪夫大数定律,有 1 1 1 1 lim n n i i n i i P X EX n n  → = =     −      = lim 1 A n n P p n  →     −  =   . 伯努利大数定律表明:随着 n 的增大,事件 A 发生的频率 n nA 依概率收敛于事件 A 的概率 p .也就是说,当 n 很大时,事件 A 发生的频率与概率有较大偏差的可能性 很小。因此，当试验次数 n 很大时，就可以利用事件发生的频率来近似地代替事件 的概率. 我们已经知道,一个随机变量的方差存在,则其数学期望必定存在,但反之不成 立.上述两个大数定律均要求随机变量序列 X n  的方差存在.以下的辛钦大数定律 去掉了这一要求,仅设每个 Xi 的数学期望存在,但 X n  需是独立同分布的随机变 量序列. 定理 3(辛钦大数定律) 设 X1 , X 2 ,  , X n ,  是一个独立同分布的随机变量 序列.若数学期望 EX = (i = 1,2, ) i  存在, 则对任意   0 ,有 1 1 lim 1 n i n i P X n   → =     −  =    辛钦大数定律意义： （1）从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性. (2)（ 对 随机 变 量 X 独 立重 复 地观 察 n 次 ,记 第 i 次 观 察 值为 Xi , 则 X X X n , , , 1 2  是相互独立的,且均与 X 同分布.因此,在 EX 存在的条件下,按照 伯努利大数定律，是 最早的一个大数定 律，由伯努利 1713 年证明的

教学过程附注x,作为EX的辛钦大数定律，当n足够大时，可以把n次观察的算术平均值一n台近似值.）这就为在X的分布未知的情况下，估计EX提供了一条切实可行的途径，为参数估计提供了理论依据小结：（1）大数定律（Lawoflargenumbers）是在大数次重复试验下呈现的规律1x,的渐进性质—极限（2）LLN研究的是：n台结论是：依概率收敛到期望（常数）条件是：期望存在（最起码的）大数定律条件：(X,)结论XAX不相关，DX，≤c切比雪夫n=n."p伯努利id(0-1)分布n12x→μ辛钦iid EX, = μn思考题：作业：超星学习平台线上作业

教学过程 附 注 辛钦大数定律,当 n 足够大时,可以把 n 次观察的算术平均值 = n i X i n 1 1 作为 EX 的 近似值.）这就为在 X 的分布未知的情况下,估计 EX 提供了一条切实可行的途径, 为参数估计提供了理论依据. 小 结: （1）大数定律（Law of large numbers）是在大数次重复试验下呈现的规律 （2）LLN 研究的是： = n i X i n 1 1 的渐进性质——极限 结论是：依概率收敛到期望（常数） 条件是：期望存在（最起码的） 大数定律 条件：X n 结论 切比雪夫 不相关， DX c i  1 1 n i i X n =  P → = n i EXi n 1 1 伯努利 iid (0-1)分布 n nA P → p 辛钦 iid EXi =  1 1 n i i X n =  P →  思考题： 作业：超星学习平台线上作业

第二十讲5.2中心极限定理本节、林德伯格定理一列维中心极限定理内容二、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理提要教学目的理解两个中心极限定理的内容，会在实际问题中运用他们解决实际问题要求重点两个中心极限定理的内容和应用，正态分布在近似计算中的应用难点中心极限定理的条件和应用学时2学时与主要林德伯格定理一列维中心极限定理40分钟内容棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理40分钟时间小结及练习10分钟分配教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验总结

第二十讲 5.2 中心极限定理 本节 内容 提要 一、林德伯格定理—列维中心极限定理 二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 教学 目的 要求 理解两个中心极限定理的内容，会在实际问题中运用他们解决实际问题 重点 两个中心极限定理的内容和应用，正态分布在近似计算中的应用 难点 中心极限定理的条件和应用 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 林德伯格定理—列维中心极限定理 40 分钟 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 40 分钟 小结及练习 10 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结

教学过程附注引入在客观世界中，为什么会有大量的随机变量服从正态分布呢？人们在长期的实践中认识到，如果一个随机变量X是由大量相互独立的随机因素XX.,X..综合影响所形成的，即X=X+X,++X"，而其中每一个因素的出现都是随机的，时有时无，时大时小，且在总的影响中所起的作用都很微小，那么这个随机变量便近似服从正态分布这个现象并非是偶然的，中心极限定理揭示了其背后蕴藏的数学奥秘讲授新课概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理，是由棣莫弗在十八世纪首先提出的，是十八至十九世纪整整二百年间概率论研究的中心问题，因而称为中心极限定理，其内容十分丰富·我们这里只讨论其中比较特殊的情形一——独立同分布的随机变量的和>X的极限分布i=l定理1（林德伯格-列维中心极限定理）设X,X,，…,X,.·为独立同分布的注：无论服从什么分布随机变量序列，且EX,=μ，DX,=α2>0（i=1,2,）.则对任意实数xER，有ZX,-nμ?i=llimPe2dt=Φ(x)<IngV2元(2. 1)定理1表明，若随机变量序列(X，)独立同分布，且其期望与方差(非零)都存A在，则不论X,(i=1,2,）原来服从什么分布，当n充分大时,其部分和X,总是i=l近似地服从正态分布，记作Zx,~ N(n,no),i=l或X,-nμiel~N(0, 1)Ing这就是在客观世界中存在大量的正态随机变量的数学根源

教学过程 附 注 引入 在客观世界中,为什么会有大量的随机变量服从正态分布呢? 人们在长期的实践中认识到,如果一个随机变量 X 是由大量相互独立的随机因 素 X1 , X 2 ,  , X n ,  综合影响所形成的,即 X = X1 + X 2 ++X n+,而其中每 一个因素的出现都是随机的,时有时无,时大时小,且在总的影响中所起的作用都很 微小,那么这个随机变量便近似服从正态分布. 这个现象并非是偶然的,中心极限定理揭示了其背后蕴藏的数学奥秘. 讲授新课 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称 为中心极限定理,是由棣莫弗在十八世纪首先提出的,是十八至十九世纪整整二百 年间概率论研究的中心问题,因而称为中心极限定理,其内容十分丰富.我们这里只 讨论其中比较特殊的情形—-独立同分布的随机变量的和 = n i X i 1 的极限分布. 定理 1 (林德伯格-列维中心极限定理) 设 X1 , X 2 ,  , X n ,  为独立同分布 ．．．的 随机变量序列,且 2 , 0 ( 1, 2, ) EX DX i i i = =  =   .则对任意实数 x  R , 有 ( ) 2 1 lim 1 2 2 x e dt x n X n P x t n i i n = =                 −   − − = →    (2.1) 定理 1 表明,若随机变量序列 X n  独立同分布,且其期望与方差(非零)都存 在,则不论 X (i = 1,2, ) i 原来服从什么分布,当 n 充分大时,其部分和 1 n i i X =  总是 近似地服从正态分布, 记作 2 1 ( , ) n a i i X N n n   =  . 或 1 ( 0 , 1) n i a i X n N n   =  − 这就是在客观世界中存在大量的正态随机变量的数学根源. 注：无论服从什么分 布

附注教学过程定理1又称作独立同分布中心极限定理，在实际中有着广泛的应用.下面的定理是它的特例定理2（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）设X~B(n,p)(00.则由定理1可知(2.4)式成立.定理2表明，二项分布的极限分布是正态分布，即若X~B(n,p），则当n充分大时，有×~N(np,npg)于是a-npX-npb-npPla<X<b)=PnpqnpqVnpqb-np-o(a-np)(npqnpq一般来说，当n较大时，二项分布的概率计算起来非常复杂，这时我们就可以用正态分布来近似地计算二项分布。定理2是概率论中第一个中心极限定理，是专门针对二项分布的，因此称为“二项分布的正态近似”，小结二项分布计算的三种方法：（1）直接计算，当n不太大时（2）泊松逼近，当n较大，p较小，入=np适中时（3）正态近似，当n较大，p不太大时例1用机器包装白糖，每袋重量为随机变量，期望值为100克，标准差为10克.一箱内装100袋白糖，求一箱白糖重量大于10200克的概率。解设X表示第i袋白糖的重量，i=1,2,100100则一箱白糖的重量X=X,，其中X,相互独立，且台

教学过程 附 注 定理1又称作独立同分布中心极限定理,在实际中有着广泛的应用.下面的定理 是它的特例. 定理 2 (棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理) 设 X ~ B(n , p ) (0  p  1) , 则对任意实数 x  R ,有 ( ) 2 1 lim 2 2 x e dt x npq X np P x t n = =           − − − →  其中 q = 1− p , 0  q  1. 证明  X ~ B( n, p) 设    = ， 在第 次试验中事件 不发生 在第 次试验中事件 发生 i A i A Xi 0 1, , i =1,2 ,  , n 则 = = n i X Xi 1 ,其中 Xi 相互独立,且 EXi = p , DXi = pq  0 . 由定理 1 可知(2.4)式成立. 定理 2 表明，二项分布的极限分布是正态分布,即 若 X ~ B(n , p ) ，则当 n 充分大时，有 ( , ) a X N np npq 于是   ( ) ( ) a np X np b np P a X b P npq npq npq b np a np npq npq     − − −   =         − −   −  一般来说，当 n 较大时，二项分布的概率计算起来非常复杂，这时我们就可以 用正态分布来近似地计算二项分布。 定理 2 是概率论中第一个中心极限定理,是专门针对二项分布的,因此称为“二 项分布的正态近似”. 小结二项分布计算的三种方法： （1）直接计算，当 n 不太大时 （2）泊松逼近，当 n 较大, p 较小, = np 适中时 （3）正态近似，当 n 较大, p 不太大时 例 1 用机器包装白糖，每袋重量为随机变量，期望值为 100 克，标准差为 10 克.一箱内装 100 袋白糖，求一箱白糖重量大于 10200 克的概率。 解 设 Xi 表示第 i 袋白糖的重量， i =1,2, ,100 . 则一箱白糖的重量 X 100 1 i i X = =  ，其中 Xi 相互独立，且

附注教学过程EX,=100,DX,=102=100,所以1AEX =ESX,=100EX,=100001e100DX =DZX, =100DX, =10000i=l由林德伯格-列维中心极限定理可知：X～N(10000,10000)：于是P(X>10200=1-P(X≤10200[X-10000200]-1-P~1-Φ(2)100100=1-0.9772=0.0228例2设随机变量X~B(100,0.8)，求P(80≤X≤100)解因为X~B(100,0.8)，所以EX=np=100×0.8=80DX = npq=100×0.8×0.2 =16由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知：X~N(80,16).于是X-80P(80≤X≤100)=P)0≤≤5/~Φ(5)-Φ(0)=10.5=0.54例3设电站供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7。假设各灯的开关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。解设夜晚同时开着的灯数为X，则X～B(10000,0.7)，所以EX=np=10000×0.7=7000,DX=npq=10000×0.7×0.3=2100由莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知：X～N(7000,2100)于是(600200)008000V2100V2100200= 2(-1 = 2Φ(4.36)-1= 1.45.83

教学过程 附 注 2 100 , 10 100 EX DX i i = = = ,. 所以 100 1 100 1 100 10000, 100 10000. i i i i i i EX E X EX DX D X DX = = = = = = = =   由林德伯格-列维中心极限定理可知： (10000,10000) a X N . 于是 P X P X { 10200} 1 { 10200}  = −  10000 200 1 1 (2) 100 100 1 0.9772 0.0228. X P   − = −   −      = − = 例 2 设随机变量 X B(100,0.8) ，求 P{80  X  100}. 解 因为 X B(100,0.8), 所以 100 0.8 80, 100 0.8 0.2 16. EX np DX npq = =  = = =   = 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知： (80,16) a X N .于是 80 {80 100} 0 5 (5) (0) 1 0.5 0.5. 4 X P X P  −   =     −  = − =     例 3 设电站供电网内有 10000 盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为 0.7。假设各 灯的开关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯数在 6800 与 7200 之间的概率。 解 设夜晚同时开着的灯数为 X ，则 X B(10000, 0.7) ，所以 EX np DX npq = =  = = =   = 10000 0.7 7000, 10000 0.7 0.3 2100. 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知： (7000,2100) a X N .于是 7200 7000 6800 7000 {6800 7200} ( ) ( ) 2100 2100 P X − −     −  200 2 ( ) 1 2 (4.36) 1 1. 45.83 =  − =  − =