沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.5 随机变量函数的分布

42.5随机变量函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布沈阳师范大学

一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 2.5 随机变量函数的分布

一、离散型随机变量的函数的分布设X是离散随机变量，X的分布列为Xx, x,X.:PPiP2Pn则Y也是离散随机变量，此时Y的分布列为Y...g(x,)..g(xi)g(x.PPiPz...Pn...注：若g(x)i=1,2,3,….中有某些值相等时,则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加沈阳师范大学

一、离散型随机变量的函数的分布 设X X 是离散随机变量, 的分布列为 ( ) 1,2,3, , : i 注 若g x i = 中有某些值相等时,则把那些 相等的值分别合并 并把对应的概率相加. X P x1 x2  xn  p1 p2  pn  则Y Y 也是离散随机变量, 此时 的分布列为 Y P ( ) ( ) ( ) 1 2 g n x g x g x p1 p2  pn 

例1已知随机变量X的分布列如下求Y=X2+X的分布列-1012-2XP10.2 0.1 0.1 0.3 0.3解： =2+X的分布列为2006Y2P10.2 0.1 0.1 0.3 0.3再对相等的值合并，得Y0260.20.50.3沈阳师范大学P

已知随机变量X的分布列如下, 求 的分布列. X P − − 2 1 0 1 2 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 例1 2 Y X X = + 的分布列为 Y P 2 0 0 2 6 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 解: 2 Y X X = + 再对相等的值合并, 得 Y P 0 2 6 0.2 0.5 0.3

中中12-1X练习设231P666求Y=X2-5的分布律。解Y的分布律为Y-4-111p22沈阳师范大学

Y 的分布律为 Y p − 4 − 1 2 1 2 1 X P − 1 1 2 6 1 6 2 6 3 练习 设 5 . 求Y = X 2 − 的分布律 解

二、连续型随机变量的函数的分布求连续随机变量X函数的分布分以下两种情况讨论Y=g的分布(一)当 g(为严格单调时g(为其他形式时(二)当沈阳师范大学

二、连续型随机变量的函数的分布 求连续随机变量X函数的分布,分以下两种情况 讨论 Y g X = 的分布 ( ) . (一)当 g X( 为严格单调时 ) (二)当 g X( 为其他形式时 )

E(一)当g(X)为严格单调时定理设X是连续随机变量，其概率密度为fx(x)Y=g(X)是另一个随机变量.若y=g(x)严格单调其反函数x=h(y)有连续导函数则Y=g(X)的概率密度为fx[h(y)]|h'(y)],a<y<b,fr(y) =-其他0,其中 a = min(g(-00), g(+0), b = max(g(-0),g(+0)沈阳师范大学

其中a g g b g g = − + = − + min( ( ), ( )), max( ( ), ( )). ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ), [ ( )] ( ) , , ( ) 0, . X X Y X f x Y g X y g x x h y Y g X f h y h y a y b f y = = = =     =   设 是连续随机变量 其概率密度为 是另一个随机变量.若 严格单调, 其反函数 有连续导函数. 则 的概率密度为 其 理 他 定 (一)当 g X( ) 为严格单调时

中证明：不妨设g(x)是严格单调增函数,这时它的反函数h(y)也是严格单调增函数,且 h(y)>0.记α=g(-oo),b= g(+),这意味着y=g(x) 仅在区间(a,b)取值,于是当Ka时,F,(y)= P(Y≤y)=0;当y>b时,F()= P(Y≤y)=1;当a≤y≤bF(y)= P(Y≤y)= P(g(X)≤y)时,= P(X ≤h(y)) =[m) fx(x)dx由此得Y的概率密度为：(0)=[[l0)W0),a<<b其他0,同理可证当g(x)是严格单调减函数时，结论也成立.此时h(y)<0,故要加绝对值符号,这时α=g(+),沈阳师范堂g(-00)

[ ( )] ( ), ( ) 0, X Y f h y h y a y b f y     =   其他 证明: ( ) ( ) 0; F y P Y y Y =  = 不妨设 是严格单调增函数, 这时它的反函数 也是严格单调增函数, 且 . 记 g x( ) h y( ) ( ) ' h y  0 b g = + ( ), a g = − ( ), 这意味着 y g x = ( ) 仅在区间 ( , ) a b 取值,于是 当yb时, F y P Y y Y =  = 当 时, a y b   F y P Y y P g X y Y ( ) =  =  ( ) ( ( ) ) =  P X h y ( ( )) ( ) h y( ) X f x dx − =  同理可证当 是严格单调减函数时, 结论也成 立. 此时 , 故要加绝对值符号, 这时 g x( ) ( ) ' h y  0 a g = + ( ), b g = − ( ). 由此得Y的概率密度为:

中-例2设连续随机变量X在区间[1.21上服从均匀分布求Y=e2X的概率密度函数y=e2x605040>30>>x=1:0.01:2:20>> y=exp(2. *x);>> plot(x,y)10f21.21.41.61.8x沈阳师范大学

例2 设连续随机变量X在区间[1,2]上服从均匀分布, 求 的概率密度函数. 2X Y e = 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 10 20 30 40 50 60 x y y=e2x >> x=1:0.01:2; >> y=exp(2.*x); >> plot(x,y)

国X-μ~ N(O,1)例3设随机变量X～N(u,α2).证明aX-μ证明：设Y=",Y是X的一次函数，且严格单调ax-u,x=oy+u, x,=oy:a(oy+μ-μ)?1202fy(y)= fx(oy+u) x,ae12元01218Λ±Λ+8e/2元:.Y ~ N(0,1)沈阳师范大学

2 ~ ( , ). ~ (0,1) X X N μ σ N   − 例3 设随机变量 证明： 证明: , X Y Y X   − 设 = 是 的一次函数,且严格单调. , , x y x y     − = = + ' y x =  ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 2 1 2 y Y X y f y f y x e          + − − = +  = 2 2 1 2 y e  − = −   + y Y N ~ (0,1)

-例4设随机变量X～N(u,α2),则当a≠O时有 Y=aX +b~ N(au+b,a)证明X的概率密度为(x-μ)?12g2fx(x)e,-8x<+8.2元0设 y = g(x) = ax + b,得x=h(y)=-b知h(y)==± 0.aa沈阳师范大学

证明 X 的概率密度为 e , . 2π 1 ( ) 2 2 2 ( ) = −   + − − x σ f x σ x μ X 设 y = g(x) = ax + b, ( ) , a y b x h y − 得 = = 0. 1 ( ) =  a 知 h y 2 2 2 ~ ( , ), 0 , ~ ( , ). X N μ σ a Y aX b N aμ b a σ  = + + 设随机变量 则当 时 有 例4