沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 参数估计 7.1 点估计

4-7.1 点估计一、点估计问题的提法二、估计量的求法沈阳师范大学

7.1 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法

一、点估计问题设总体X的分布函数F(x;①)的形式为已知,θ是待估参数.X,X2,,X是X的一个样本,Xi,x2,…,x,为相应的一个样本值点估计问题就是要构造一个适当的统计量(X,X2,,X,),用它的观察值 0(x,X2,,x,)来估计未知参数?(X,Xz,,X,)称为的估计量(xi,X2,…,x,)称为0的估计值

, , , , . , . , , , ( ; ) 1 2 1 2 本 为相应的一个样本值 知 是待估参数 是 的一个样 设总体 的分布函数 的形式为已 n n x x x X X X X X F x     . ( , , , ) ˆ ( , , , ), ˆ 1 2 1 2    来估计未知参数 用它的观察值 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 X X  Xn x x  xn ( , , , ) . ˆ  X1 X2  Xn 称 为 的估计量 ( , , , ) . ˆ  x1 x2  xn 称 为 的估计值 一、点估计问题

二、估计量的求法常用构造估计量的方法：(两种)1、矩估计法2、极大似然估计法

二、估计量的求法 常用构造估计量的方法: (两种) 1、矩估计法 2、极大似然估计法

1.矩估计法的基本思想应用样本矩替换总体矩总体XXi,X2,,X,为来自X的样本样本阶原点矩总体阶原点矩12辛钦大数定律XE(X)n i=lPZXE(X')Pni-1k是未知参数的个数r=1,2,.., k

1. 矩估计法的基本思想 X1 , X2 ,  , Xn 为来自X 的样本 应用样本矩替换总体矩. 总体X 总体k阶原点矩 E X( ) 样本k阶原点矩 1 1 n i i X n =  P 辛钦大数定律 r =1,2,.,k k是未知参数的个数 = n i r Xi n 1 1 ( ) r E X P

矩估计法的计算步骤() E(X")=g,(01,02,,0k), r =1,2,...k(2) 0, = h. (EX,EX?,...,EX), r =1,2,...k用样本矩替换总体矩，得x,xx(3) , = h,n i=lr = 1,2,...k

( ) 1 2 1 ( ) ( , , , ), 1, 2, r E X g r k r k = =    ( ) ( ) 2 2 , , , , 1,2, k r r  = = h EX EX EX r k ( ) 2 1 1 1 1 1 1 ˆ 3 , , , , 1,2, n n n k r r i i i i i i h X X X n n n r k  = = =   =     =    矩估计法的计算步骤 用样本矩替换总体矩，得

例1设样本X,X2,,X,是来自总体U[0,0]求θ的矩估计0解 因为 E(X)即0=2E(X)2根据矩估计法，令 X=E(X)所以 ?=2X为所求9的估计量

. , , , [0, ], 1 2 求 的矩估计 设样本 是来自总体  X X  Xn U  解 ( ) , 2 E X  因为 = 根据矩估计法, 2 . 所以  ˆ = X 为所求的估计量 例1 令 X = E(X ), 即 2 ( )  = E X

例2 设X,,X,.,X,为来自总体X的一个样本不论总体X 服从什么分布，若 EX=μ,DX=α但都未知，求u与"的矩估计量，解由EX = μEX? = DX +(EX)? = α? +(EX)知U= EX2 = EX?-(EX)

EX =  2 2 2 2 EX DX EX EX = + = + ( ) ( )  2 2 2 ( ) EX EX EX    =   = − 解 由 知

分别用A=,A, =-x?代替 EX,EX2，，得ni=u与。的矩估计分别为u=X?--x? -(X) --(X,-X) =S,ni=l"=

 X  = ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) n n i i n i i X X X X S n n   = = = − = − =   得

例3设总体X在[a,bl上服从均匀分布,其中a.b未知,(X,X2,,X,）是来自总体X的样本,求a,b的矩估计量a+b解(b-a)EXDX212解得α= EX - V3DX, b= EX +3DX用X替换EX,S?替换DX,从而a,b的矩估计量为a= X- V3s.6 = X+/3S

. , ( , , , ) , , [ , ] , , 1 2 的矩估计量 未知 是来自总体 的样本 求 设总体 在 上服从均匀分布 其中 b b X X X X a X a b a  n 解 EX , 2 a + b = 2 ( ) 12 b a DX − = 例3 解得 a = EX − 3DX , b = EX + 3DX 2 , , , 用X EX S DX a b 替换 n 替换 从而 的矩估计量为 ˆ 3 , n a X S = − ˆ 3 n b X S = +

参数函数的矩估计设为 的矩估计量,g(の)为θ 的连续函数则 g(①)是g(0)的矩估计量例4设总体X～B(n,p),n已知,p未知Xi,X2,…X,为其样本,求(1)p的矩估计量一的矩估计量；(2)I-p

参数函数的矩估计 ( ) ( ) ˆ , , ˆ ( ) . g g g       设 为 的矩估计量 为 的连续函数 则 是 的矩估计量 ( ) 为其样本 求 设总体 已知 未知 , , , ~ , , , , X1 X2 Xn X B n p n p  例4 (1)p的矩估计量; ; 1 (2) 的矩估计量 p p −